最新大一高数课件第七章7-3-1PPT课件.ppt

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1、一、向量在轴上的投影与投影定理.uABu上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uAB.ABABABuuABuABAB ，即即的的值值，记记作作上上有有向向线线段段叫叫做做轴轴那那末末数数是是负负的的，轴轴反反向向时时与与是是正正的的，当当向向时时轴轴同同与与，且且当当满满足足如如果果数数定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) (4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）.PrPr)(Pr2121a ja jaa

2、j AA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a二、向量在坐标轴上的分向量与向量二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标1M1P2M2P上上的的投投影影分分别别为为点点在在轴轴点点为为一一条条数数轴轴为为一一向向量量，设设212121P,PuM,MuMMa 上上的的坐坐标标依依次次为为在在轴轴又又设设2121u,uuP,Puo,Pr21uuaMMj 令令1221OPOPPP ,12uu .12uuau .)(12euu 由例由例1 1知知eaPPu 21xyzo 1MPNQR 2Mxyzo 1MPNQR 2Mijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的

3、投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y向量在向量在 轴上的投轴上的投影影z12xxax 12yyay 12zzaz k )zz(j )yy(i )xx(MM12121221 1M2M)(11xP)(22xP)(11yQ)(22yQ)(11zR)(22zRxyzixxPP)(1221 iyyQQ)(1221 izzRR)(1221 k)zz(j )yy(i )xx(MM12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa

4、 zz,yy,xxMM12121221 特殊地：特殊地：z,y,xOM 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,a,a,aazyx ,b,b,bbzyx ba,ba,babazzyyxx ba,ba,babazzyyxx a,a,aazyx ;k)ba(j )ba(i )ba(zzyyxx ;k)ba(j )ba(i )ba(zzyyxx .k)a(j )a(i )a(zyx 解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设)z ,y,x(M为直线上的点，为直线上的点，ABMxyzo由题意知：由题意知：MBAM zz,yy,xx11

5、1 ,zz, yy,xx 222 1xx )xx( 2 1yy )yy( 2 1zz )zz( 2 ,xxx 121,yyy 121,zzz 121,221xxx ,221yyy .221zzz 非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|a|ax cos|a|ay cos|a|az 向量的方向余弦向量的方向余弦PQR方向余弦通常用来表示向

6、量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式22122122121RRQQPPMM ,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式时，时，当当0222 zyxaaa1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,

7、116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 解解 、 、 ,3 ,4 ,21cos ,22cos .32,3 1cos x 21PP21 x21 , 2 x, 1coscoscos222 .21cos 0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理. .向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. .向

8、量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式. .四、小结（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）思考题思考题 设设jim ，kjn 2，求求以以向向量量nm,为为边边的的平平行行四四边边形形的的对对角角线线的的长长度度.思考题解答思考题解答对角线的长为对角线的长为|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平行四边形的对角线的长度各为平行四边形的对角线的长度各为11, 3.mn练练 习习 题题1M)1,2,4()2,0,3(2M 21MM21MM cos cos cos 角角 3、已知两点、已知两点和和,则

9、向量则向量 _，=_，方向余弦，方向余弦=_；=_；=_； _ ,_ ,_； 方向方向kjia kjib532 kjic22 0a则则4、 已知向量已知向量,及及 , ； 0b= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 0c= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；5 5、一一向向量量与与zoxyozxoy,三三个个坐坐标标平平面面的的夹夹角角 , 满满足足 2cos+ + 2cos+ + 2cos= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二 、一一向向量量的的终终点点在在点点)7,1,2( B，它它在在轴轴X，轴轴Y 和和轴轴Z上上的的投投影影依依次次为为74,4和和 ，求求这这向向量量的的 起起点点的的坐坐标标A . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、2 2； 2 2、 4 , 4 , 2,2, 2, 1 ； 3 3、 ;3,43,32,21,22,21, 2 ,1 , 2, 1 4 4、 32,31,32,385,383,382,31,31,31； 5 5、2 2. .二、二、 A(-2,3,0)(-2,3,0) . .三、三、 116,117,116116,117,116或或 . .37 结束语结束语