2012年湖北高考数学理科试卷(带详解).doc

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1、-/2012湖北高考理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1方程的一个根是 （ ）A B C D【测量目标】复数的一元二次方程求根.【考查方式】给出一元二次方程，由求根公式求出它的根.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】根据复数求根公式：，所以方程的一个根为，答案为A.2命题“”的否定是 （ ）A BC D【测量目标】常用逻辑用语，含有一个量词的命题的否定.【考查方式】给出了存在性命题，根据逻辑用语写出命题的否定.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定因此选D

2、.3已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为 （ ） 第4题图 A B. C D【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】给出了二次函数的图象，求出函数解析式，由定积分的几何意义可求得面积.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】根据图像可得：，再由定积分的几何意义，可求得面积为.4已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A B C D 第4题图 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出了几何体的的三视图，确定其为圆柱，根据体积公式求出体积.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一

3、个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为.选B.5设，且，若能被13整除，则 （ ）A0 B1 C11 D12【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，根据其展开式的系数求解.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】由于51=521，又由于13|52,所以只需13|1+a，0a13,所以a=12选D.6设是正数，且，则 （ ）A B C D 【测量目标】不等式的基本性质.【考查方式】给出含未知量的3个方程，根据柯西不等式的使用及其去等条件可得出答案.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】由于 等号成立当且仅当，则，（步骤1）所以由题知又

4、（步骤2）,所以，答案选C.（步骤3）7定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数： ； ； ； .则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （ ）A B C D 【测量目标】等比数列性质及函数计算.【考查方式】给出了保等比数列的定义，判断所给4个函数是否为保等比数列.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】等比数列性质， （步骤1）（步骤2）（步骤3）选C.（步骤4）8如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A BC D第8题 【测量目标

5、】几何概型及平面图形面积公式.【考查方式】给出扇形根据面积公式求出扇形面积以及阴影部分的面积，算出他们的比值即为概率. 【难易程度】中等【参考答案】A 【试题解析】令，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为，围成OC为，作对称轴OD，则过C点.即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，（步骤1） .在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和，扇形OAB面积，选A.（步骤2） 第8题图 9函数在区间上的零点个数为 （ ）A4 B5 C6 D7【测量目标】三角函数的周期性以及函数零点的判断.【考查方式】给出复合函数，根据函数周期性确定其在区间类的零点个数.【难易程度】容易【参考答案】

6、C【试题解析】，则或，又，所以共有6个解.选C.10我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是 （ ）A B C D 【测量目标】球的体积公式以及估算.【考查方式】根据球的体积估算圆周率.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】由，得，设选项中常数为，则（步骤1）；A中代人得，B中代入得，C中代入得，D 中代人得由于D中值最接近的真实值，故选D.（步骤2）二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，

7、每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（1114题）11设的内角所对的边分别为 若，则角= 【测量目标】余弦定理，解三角形.【考查方式】给出三角形的各边关系，利用余弦定理求出角C.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】由，得根据余弦定理故. 12阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 . 第12题图 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图，通过输入、赋值、输出语句，得出满足条件的s.【难易程度】容易【参考答案】9【试题解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示： 第一圈循环：当n=1时，得

8、s=1，a=3.（步骤1） 第二圈循环: 当n=2时，得s=4，a=5 （步骤2）第三圈循环：当n=3时，得s=9，a=7 （步骤3） 此时n=3，不再循环，所以解s=9 . （步骤4） 13回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如22，121，3443，94249等显然2位回文数有9个：11，22，33，993位回文数有90个：101，111，121，191，202，999则（）4位回文数有 个；（）位回文数有 个【测量目标】排列、组合及其应用.【考查方式】根据回文数的定义求出4位回文数以及回文数的个数.【难易程度】较难【参考答案】（I）90；（II）【试题解析】（）4位回文数只用排

9、列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（19）种情况，第二位有10（09）种情况，所以4位回文数有种，答案：90. （）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为. 法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,99”，因此四位数的回文数有90个,按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加09这十个数，因,

10、则答案为.14如图，双曲线的两顶点为虚轴两端点为两焦点为. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则 第14题图 （）双曲线的离心率 ；（）菱形的面积与矩形的面积的比值 .【测量目标】双曲线的标准方程、定义、离心率，以及一般平面几何图形的面积计算.【考查方式】给出了双曲线和平面几何图形的位置关系求出离心率，根据面积公式求出面积比.【难易程度】较难【参考答案】（I），（II）【试题解析】（）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，（步骤1），又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出.（步骤2）（II）菱形的面积，设矩形，

11、（步骤3），(步骤4)面积，（步骤5）（步骤6）.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）15（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D在的弦AB上移动，连接OD，过点D 作的垂线交于点C，则CD的最大值为 . 第15题图 【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线与圆的位置关系，判断点D的位置从而求出线段最大值.【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】（由于,因此,线段OC长为定值，即需求解线段OD长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时D为AB的中点，点C与点B

12、重合，因此16（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为 .【测量目标】平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.【考查方式】给出了两曲线的极坐标方程，将它们化为一般方程并求出交点.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】在直角坐标系下的一般方程为，将参数方程（t为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛物线（步骤1），联立上面两个方程消去有，设两点及其中点的横坐标分别为（步骤2），则有韦达定理,又由于点点在直线上，因此的中点.（步骤3）三、解答题：本大题共

13、6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. （）求函数的最小正周期； （）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的变换及化简.【考查方式】求出函数解析式，根据三角变换求得最小正周期和在特定区间类函数的取值范围.【难易程度】容易【试题解析】（I）因为 （步骤1）.由直线是图象的一条对称轴，可，所以，即又所以k=1，故，所以的最小正周期为. （步骤2） （II）由的图象过点，得，（步骤3） 即即. 故（步骤4） 由有 所以，得 故函数在上的取值范围为.（步骤

14、5）18（本小题满分12分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（）求等差数列的通项公式；（）若，成等比数列，求数列的前项和.【测量目标】等差数列的通项，前n项和.【考查方式】由等差数列的前三项和以及积的大小求出通项，由前三项成等比关系求出新数列的前n和.【难易程度】容易【试题解析】（I）设等差数列的公差为d，则，. 有题意得解得或（步骤1） 所以由等差数列通项公式可得 或 故或（步骤2） （II）当时，分别为,不成等比数列. 当时，分别为成等比数列，满足条件. 故（步骤3） 记数列的前n项和为. 当n=1时，当n=2时， 当n， =当时， 综上，.（步骤4）19（本小题满分12分）如图1

15、，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将折起，使（如图2所示） （）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小 图1 图2 第19题图【测量目标】三棱锥的体积公式，均值不等式求最值，利用导数求函数的最值，空间直角坐标系的建立，平行与垂直关系的综合应用.【考查方式】给出了空间几何体的边、角等，通过均值不等式或者导数求出体积的最大值，利用空间向量或者垂直与平行关系求得线面角的大小.【难易程度】中等【试题解析】（I）解法1：在如图1所示的ABC中，设BD=x，则.由知，ADC为等腰直角三角形，所

16、以AD=CD=3.（步骤1）由折起前平面BCD.又,所以于是 当且仅当即当x=1时，等号成立，故当x=1，即BD=1时，三棱锥的体积最大.（步骤2）解法2：同解法1，得（步骤1）令由，解得x=1.当时，当时，.所以当x=1，取1得最大值.故当BD=1时，三棱锥的体积最大.（步骤2） (II)解法1：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系.由（I）知，当三棱锥的体积最大时，.于是可得且（步骤3）设.因为等价于,即，故（步骤4）所以当DN=（即N是CD的靠近点D的一个四等分点）时，.设平面的一个法向量为由，及得可取.（步骤5）即EN与平面BMN所成角的大小.（步骤6）第19题图a 解法2：由（

17、I）知，当三棱锥的体积最大时，（步骤3）如图b,取CD的中点F，连接,EF,则AD.由（I）知平面BCD，所以MF平面BCD.（步骤4）如图c，延长FE至P点使得FP=DB，连接BP,DP，则四边形DBPF为正方形，所以取DF得中点N，连接EN，又E为FP的中点，则DP，所以因为平面BCD，又EN面BCD，所以.又因为面BMF，所以ENBM.因为当且仅当而点F是唯一的，所以点N是唯一的.即当(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)，.连接MN，ME，由计算得NB=NM=EB=EM=，所以NMB与EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，（步骤5）如图在平面EGN中，过点E作EH于H,则EH平面BMN

18、.故是EN与平面BMN所成的角.在EGN中，易得EG=GN=NE=，所以EGN是正三角形，故即EN与平面BMN所成角的大小为.（步骤6） 图b 图c 图d 第19题图20（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（）工期延误天数的均值与方差； （）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率. 【测量目标】概率的加法公式与方差，条件概率.【考查方式】给出了降水量与工期延误的关系，根据概率的加法公式以

19、及方差公式求出延误天数的均值与方差、条件概率.【难易程度】中等【试题解析】（I）由已知条件和概率的加法公式有:（步骤1）所以Y的分布列为：026100.30.40.20.1于是，故工期延误天数Y的均值为3，方差9.8.（步骤2）（II）由概率的加法公式，又.由条件概率，得.故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.（步骤3）21（本小题满分13分）设是单位圆上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x 轴的交点，点M在直线l上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C（）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为的

20、直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的k0，都有？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由. 【测量目标】双曲线的标准方程，直线的方程，直线与双曲线的位置关系，双曲线中的定点问题.【考查方式】给出了圆的方程以及直线与圆的位置关系，从而判断轨迹为何种曲线，根据直线与方程的联立求出满足条件的点.【难易程度】较难【试题解析】（I）如图1，设则由 可得所以 因为A点在单位圆上运动，所以 将式代入式即得所求曲线C的方程为，（步骤1）因为所以当0m1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为；（步骤2）当m1时，曲线C

21、是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为.（步骤3）（II）解法1：如图2、3设则直线QN的方程为，将其代入椭圆C的方程并整理可得依题意可知此方程的两根为于是由韦达定理可得，即（步骤4）因为点H在直线QN上，所以于是.而等价于=即，又m0，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.（步骤5）第21题图1 解法2：如图2、3，设则因为P,H两点在椭圆C上，所以，两式相减可得（步骤3）依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P,H不重合，故，于是由式可得.（步骤4）又Q,N,H三点共线，所以，即于是由式可得（步骤5）而等价于=,即=，又m0，得m=.故存在m=，使得在其对应的椭圆上

22、，对任意的k0，都有.（步骤6） 图2 图3 （0m1） （m1） 第21题图22（本小题满分14分）（）已知函数其中r为有理数，且. 求的最小值；（）试用（）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式.【测量目标】利用导数求函数的单调区间及最值、解不等式问题，数学归纳法.【考查方式】给出函数解析式，求其导数从而求出函数的最值.给出了参数的范围，利用问题（I）的结论以及导数解决不等式的证明.在利用（II）的命题根据数学归纳法得到命题的一般形式进行推广.【难易程度】较难【试题解析】（I）令，解得

23、x=1.当0x1时，所以f(x)在（0，1）内是减函数；当x1时，0，所以f(x)在（0，1）内是增函数.故函数在x=1处取得最小值（步骤1）（II）由（I）知，当时，有，即若中有一个不为0，则成立（步骤2）；若均不为0，又，可得，于是在中令可得即，亦即.（步骤3）综上，对为正有理数且，总有.（步骤3）(III) （II）中命题的推广形式为：设为非负实数，为正有理数.若则.（步骤4）用数学归纳法证明如下:（1）当时，有成立.（步骤5）（2）假设当时成立，即若，非负实数，为正有理数.且则.当时，已知，非负实数，为正有理数且此时，即，（步骤6）于是，由归纳假设可得从而（步骤7）又因由得 =+，从而.（步骤7）故当时，成立.由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立.说明：（III）中如果推广形式中指出式对成立，则后续证明不需要讨论的情况（步骤8）