《导数与微分》PPT课件.ppt

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1、一、导数的定义一、导数的定义问题的提出问题的提出000000()( )( )limlimlimtttS ttS tSttt 、变速直线运动的速度、变速直线运动的速度已知物体的运动方程已知物体的运动方程S=S(t),求求t时刻的瞬时时刻的瞬时速度。速度。、 质量非均匀分布的细杆线密度质量非均匀分布的细杆线密度已知质量已知质量m=m(x),求某点的线密度。求某点的线密度。000()limlimxxmxx抽象为数学概念：抽象为数学概念：平均变化率：平均变化率：当当时的极限称为时的极限称为x0处的导数。处的导数。xy0 xxxfxxfxyxx)()(limlim00000 xxy)(0 xf0 xxd

2、xdy变化率：变化率：函数在点函数在点的变化速度。的变化速度。定义定义2：导函数的概念：导函数的概念：如果函数如果函数f(x)在区间在区间(a,b)内都可导，则区间内都可导，则区间(a,b)内每一点内每一点x，都有一个导数值与之对应，就定义了一个新的函数，即函，都有一个导数值与之对应，就定义了一个新的函数，即函数数f(x)在区间在区间(a,b)内对内对x的导函数的导函数derivedfunction。 0 x0()y x左导数和右导数左导数和右导数)()()(lim)()()(lim00000000 xfxxfxxfxfxxfxxfxxf(x0)存在的充分必要条件是左右导数存在存在的充分必要条

3、件是左右导数存在并相等。并相等。几何意义几何意义：是曲线在点是曲线在点的切线斜率。的切线斜率。物理意义物理意义：各种物理量的变化率。如：速度、加：各种物理量的变化率。如：速度、加速度、电流、角加速度、感应电动势等。速度、电流、角加速度、感应电动势等。)(0 xf),(00yx求求导方法：求导方法：（1）求出函数的增量）求出函数的增量)()(00 xfxxfy、作出比值：、作出比值： xy、求出时的极限。、求出时的极限。 0 xxy二、可导与连续的关系二、可导与连续的关系函数在点函数在点连续，指连续，指,可导是可导是存在。存在。0 x0lim0yxxyx0lim定理：定理：如果如果y=f(x)在

4、点在点x0处可导，则它在点处可导，则它在点x0处一定连续。处一定连续。00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx逆命题不成立。逆命题不成立。 例：例例：例3p24结论：连续是可导的必要条件，但不是充分条结论：连续是可导的必要条件，但不是充分条件。即可导一定连续，连续不一定可导。件。即可导一定连续，连续不一定可导。三、导数的基本公式三、导数的基本公式：例例4：常数函数的导数常数函数的导数 设自变量增量设自变量增量，恒有，恒有 则则 因此因此 Cy x0CCy0 xy00limlim00 xxxy0 Cy 例例5：幂函数幂函数（n为正整数）为正整数）的导数的导数nxy

5、122(1)()()() 2!nnnnnnnn nyxxxxnxxxxxx L121(1)()2!nnnyn nnxxxxx 10limnxnxxyy1)(nnnxx对于对于n为任意实数时，上式也成立。为任意实数时，上式也成立。 例例7：正弦函数正弦函数的导数的导数 xysin2sin)2cos(2sin)sin(xxxxxxyxxxxxy2sin)2cos(2xxyxyxcoslim)(sin0 xxsin)(cos 例例6：对数函数对数函数 的导数的导数 ) 1, 0(logaaxya)1 (logxxyaxxaxxxxy)1(log1axexxyaaln1log1)(log特别地，当特别

6、地，当时，有时，有 ea xx1)(ln20000000000000022000000(),1()l()()()lim()()(,)()()()limimi22l m()xxxxfxxxxxxfxa xb a bxfxxxxaxxxba xbfxa xfxAfxxfxAxfxxfxAfxxx 用 导 数 定 义 求 导 数 。解 ：设存 在 ，表 示 什 么 。解 ：是 常 数，解例 ：2002000023 _ _0,_ _ _ _ _ _0(,)(,0 ) (0,),()0lim()lim()(0 )3lim()lim (23)3lim()lim ()(0 )30 xxxxxxxxxa ba

7、 xbxfxxfxfxffxxxfxa xbbfxf 求的 值 ， 使 函 数在内 连 续 、 可 导 。解 ： 在、为 多 项 式 ， 连 续 、 可 导 。在处 ， 要 求在处 可 导 ， 必 须20000(0 )(0 )()(0 )233(0 )limlim2003(0 )limlim20 xxxxffxfxxfxxa xba xfaaxx2-2导数的运算法则导数的运算法则一、导数的四则运算一、导数的四则运算 定理定理1如果如果u、v都是都是x的可导函数，则函数的可导函数，则函数也是也是x的可导函数，的可导函数，vuy)(vuvuy可以推广到有限多个函数的代数和。可以推广到有限多个函数的

8、代数和。 定理定理2如果如果u、v都是都是x的可导函数，则的可导函数，则y=uv也也是是x的可导函数，的可导函数，)(uvvuuvy特别地，当特别地，当u=c(c为常数时为常数时)， )(cvcvy可以推广到有限多个函数的乘积的情况。可以推广到有限多个函数的乘积的情况。 0vvuy 2)(vuvvuvuy证明证明2设设当自变量有增量当自变量有增量时，函时，函数数对应增量对应增量uvy xyvu,yvu,vuuvvuuvvvuuy)(vxuxuvxvuxyvuuvuvy)(例例:例例1、2、3、4p26 222)sincos()sincos()sincos)(cossin()sincos()co

9、ssin(sincoscossinxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxxxxxxy的导数例：求二、复合函数求导法则二、复合函数求导法则定理定理4如果函数如果函数在点在点x可导，可导，在与在与x对应的对应的u点可导，则复合函数点可导，则复合函数在点在点x也也可导，且可导，且( )ug x)(ufy ( )yf g xdxdududydxdy( )( )( )_xuxf g xfugxyyu或或证明：自变量增量证明：自变量增量 yux)()(limlim00 xufdxdududyxuuyxu000000lim0( )00limlim limlimlimuxxxuxydydyyuuuudud

10、uug xxxuydyuudyuuxdxxxduxxdydududx Q时，0在 处可导当时，结论：结论：复合函数的导数等于因变量对中间变量的复合函数的导数等于因变量对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。（链锁法则）导数乘以中间变量对自变量的导数。（链锁法则）可以推广到有限次复合函数的求导可以推广到有限次复合函数的求导 yvuxv),(),()(uf)(xfydxdvdvdududydxdy)()()(xvuf例题例题p28例例594242552)321)(31 (10)62(5321_)321 (xxxxuuyyxxuuyyxxyxu设求3_)(lnyxtgy求 xxxtgxtgxtg

11、xtgy1)(lncos1)ln(3)ln()ln(3)ln(2223sin_yxyx求s i nlnxxyesinlnsinsin(sinln )(cosln)xxxxyexxxxxx_sinln2sinyxxy求2222221lnsin ()11ln1ln1ln2sin()cos()ln1(arcsin)11111(arcsin)()(arcsin21lnsin 2()1)11yfxyffxyxxxxxxxxxxxyxxxxxxxx 求导数解：求导数解例：例：21221,3,(1,1),(3,9)914 _2_312yxxxyxABkkxx在上取作这两点的割线，抛物线上哪点的切线平行与割线

12、。？解：上两点割线切线两者相等例：0002000095(,),4(5)911_5251_25x xxyxxyykxkyxxkxkkxyxyx 求经过原点，与曲线相切的切线方程。解：设切点切线方程切线方程例：2( )( )3,( )( )32 _0(0)3/03201.5t ss tttv ts tttvm svtts一球在斜面上向上滚动，已知在时球与起始位置的距离是求初速度、何时开始下滚？解：当时开始下滚，例：xyAB6m10m222262210,6,2/( )( )10( )100( )( )( )( )1.5/100( )AABBAAAxBxAmmm sxtytytxtxtxtytm sx

13、t 梯长当梯下端位于离墙以速度离开时，求上端沿墙下降速例度。解：显函数：显函数：函数可表示为函数可表示为其中其中f(x)由由x的解析式表示。的解析式表示。隐函数：隐函数：自变量自变量x与因变量与因变量y的对应关系由的对应关系由F(x,y)=0来确定来确定。)(xfy 例如：例如：y不能显化为不能显化为x的函数的函数43303432xyyx0yxeexy方法：方法：将方程两边对将方程两边对x求导，在求导过程中，将求导，在求导过程中，将y看做中间变量（因为看做中间变量（因为y是是x的函数），对含有的函数），对含有y的函数的项按复合函数的求导法则求导。的函数的项按复合函数的求导法则求导。然后解出然后

14、解出y.例题：例题：p29例例1013四、取对数求导方法四、取对数求导方法幂指函数幂指函数底数与指数都含有自变量的函数。底数与指数都含有自变量的函数。()( )v xyu x方法：方法：两边取对数，用隐函数求导方法求导。两边取对数，用隐函数求导方法求导。例：例：例例14、15、16p30五、基本初等函数的导数公式五、基本初等函数的导数公式p30一阶导数：一阶导数：，一般仍是，一般仍是x的函数。的函数。二阶导数：二阶导数：如果如果仍可导，则把仍可导，则把的导数的导数称为称为f(x)的二阶导数。记为的二阶导数。记为)(,xfdxdy)(xf)(xf22 ),(,dxydxfy一般，一般，n-1阶导

15、数的导数叫做阶导数的导数叫做f(x)的的n阶导数阶导数，记，记为为nnndxydxf),()(高阶导数：高阶导数：二阶或二阶以上的导数。二阶或二阶以上的导数。例：例：p31例例1719方法：方法：按求导法则逐阶求导，有些函数按求导法则逐阶求导，有些函数n阶导数阶导数有规律。有规律。(1)cos()sin()sin() (1)1 sin()(2)(1)x yx yx yx yyxydydydyxyxydxdxdxxyxyeyxyeyeyyxe 求隐函数的导数。解：解：例：22323/1(32 )()() /(1)ttttxteyedydydtedxdxdttdyddyddydxetd xdxdx

16、dtdxdtt求 二 阶 导 数例 ：解 ：3223(1,)2331(1,)4322204331422402 cos33 sin3 cos12 sin2ttxyPxyyxkyyxyxttyttkyt 求 椭 圆上 一 点处 的 切 线 方 程 。解 一 ： 两 边 求 导切 线 方 程 ：解 二 ： 看 成 参 数 方 程例 ：23变化率模型变化率模型一、独立变化率模型一、独立变化率模型例例1、2、3p32直接计算因变量对自变量的导数。直接计算因变量对自变量的导数。二、相关变化率模型二、相关变化率模型例例4、5、p33建立相关变量等式，分别计算各变量对建立相关变量等式，分别计算各变量对时间的变

17、化率。时间的变化率。hr24例例5p332322132421248( /min)49rhhVr hrVhtdVdhdhdVhmdtdtdthdt 两边对求导三、边际函数三、边际函数0( ),1( )lim/1xMLL qqyf xxyxxyyxy 经济函数对自变量的导数，自变量 增加1单位时，经济函数的变化。利润函数的导数即数量 增加 单边际利润位 时，利润函数变化的近似值。函数在 处的=自变量增加 时，经济函数：变边际函化的数：弹性百分数。1( )qq ppqq例如，价格增加时，需求量变化的百分数需求弹性。 =例：例例：例6、7p34一、微分的概念一、微分的概念例例1：边长为边长为x正方形，

18、正方形，面积面积S=x2,边长增加边长增加x,面面积增量：积增量：202020)(2)(xxxxxxSx0 xx第一部分是第一部分是x的线性函数的线性函数第二部分比第二部分比x更高阶无穷更高阶无穷小量。小量。xxS02xxxfyxfxyxfxyxxfxxfyx)()()(lim)()(0000000可导，即若在点有定义，则一般：若函数在某区域定义定义1：如果函数在点如果函数在点x可导，则称可导，则称f(x)在点在点x处处的导数的导数与自变量增量与自变量增量的乘积的乘积为函为函数数y=f(x)在点在点x的的微分微分记为记为dy=df(x)=)(xfxxxf)(xxf)(通常自变量的增量称为自变量

19、的微分，通常自变量的增量称为自变量的微分， dxx dxxfdy)()(xfdxdy函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，商，导数也称微商导数也称微商differentialquotient。（可导又称可微）（可导又称可微）以前将以前将dy/dx看成导数的整体记号，现在它像看成导数的整体记号，现在它像普通分式一样可运算变形。普通分式一样可运算变形。例：例：p35例例2例：例：正圆锥容器如图。装有正圆锥容器如图。装有1000ml水，如再加水，如再加10ml水，水，水面升高多少？水面升高多少？hr31323223331VtghhtghrVtghr解：水

20、面半径3210100032329101331tgdVVtgdhdVV二、微分的几何意义：二、微分的几何意义：微分微分dy就是点就是点P切线纵切线纵坐标的增量代替曲线坐标的增量代替曲线y=f(x)在点在点P的割线纵坐的割线纵坐标的增量。标的增量。p36图图2-511( )( )dxxfyydydydxyf xx表示对 的导数，等于函数对 导数的倒数反函数求导法则。22arcsinsin(,)cos02 2arcsin( 1,1)1111cos1 sin1yxyyxxyxyyxyxyyx 求反正弦函数的导数解：在内例单调可导，且在内可导：三、微分的计算三、微分的计算1、基本初等函数的微分公式、基本

21、初等函数的微分公式p362、微分四则运算法则、微分四则运算法则设设u、v、w都是可微函数，则都是可微函数，则(1) d(u+v-w)=du+dv-dw(2)d(cu)=cdu(3)d(uv)=vdu+udv( )( )( )( )( )( )( )( )xx tyy tdxxt dtdyyt dtdyyt dtytdxxt dtxt 参 数 方 程 求 导 法 则 ： 参 数 方 程例例3p36( )0()(2vvudvvduvud(4)一)(xfy)(),(xuufy)()(xufdxdududydxdyduufxdufdxxufdy)()()()()(设设是是的复合函数。的复合函数。由复合

22、函数的求导法则，有由复合函数的求导法则，有则：则：一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性这与这与u是自变量，函数是自变量，函数y=f(u)的微分的微分在形式上是一样的。在形式上是一样的。例：例：p36例例4、5duufdy)(例：例：的微分求xxxylnxdxdxxxdxdxxxxddylnlnln)ln(解：例：例：sinaxyebx求的 微 分sin()cos( cossin)axaxaxdybxa edxebx bdxbbxabx edx解：增量与微分关系：增量与微分关系：当当很小时，很小时，有有0()()()yfxxxdyx x000()()()yf xxf xdyfxx 000()()

23、()f xxf xfxx 充分小时时，且当)(00 xxxxxffxf)0()0()(几个近似公式：几个近似公式：例：例：p38例例6、7、8、9xx sin)1(xtgx )2(xx111) 3 (xex1)4(例：例：的近似值求98.0arctg0201( )_( )_1,0.0211()(1)45 _(1)211800.98( 0.02)450.0144 2642f xarctgxfxxxxf xffarctg ooo解：取令0211111( )( )01(1)1(0)1(0)111xxxfxfxxxxffxx 当较 小 时 ，：例 ：证 明证0000cos 29cos 29cos(30

24、1 )cos()6180cossin()0.874866180例 ： 计 算解 ：2210 .0 1,1 012 4 .8 220 .0 10 .0 0 0 20 .0 0 0 20 .0 0 0 26 06 02 41 7 .3 26 06 02 41 01 0lTTsgc msTgTlc mTd TTlllc mg lTsssTg ll 单 摆 周 期。 求时 的 摆 长 ， 如 果在 冬 季 摆 长 缩 短问 每 天 时 钟 快 多 少 ， 如 果规 定 时 钟 每 天 不 能 快， 问 摆 长 的 缩 短 应 限 制在 什 么 范 围 。解 ：每 秒 快， 一 天 快按 要 求例 ：0

25、 .0 0 5 86 06 02 40 .0 0 5 8c mc m即 摆 长 缩 短 不 能 超 过。偶然误差偶然误差由于诸多无法控制的属于测量者自由于诸多无法控制的属于测量者自身或外界环境干扰等因素所引起的误差。身或外界环境干扰等因素所引起的误差。系统误差系统误差由于测量仪器设备的缺陷、测量方由于测量仪器设备的缺陷、测量方法的不尽完善或测量者自身习惯等产生的误差法的不尽完善或测量者自身习惯等产生的误差绝对误差：绝对误差：M精确值，精确值，m测量值，则测量值，则称为绝对误差。称为绝对误差。mM 相对误差：相对误差：%100mmM函数函数y=f(x),测量测量x时绝对误差时绝对误差x,当当x很很小时，函数的绝对、相对误差为：小时，函数的绝对、相对误差为：_ _ _ _ _ _ _yd yyd yyy例例10、11p39例：测量一立方体边长，其准确度任何，才能例：测量一立方体边长，其准确度任何，才能使求得的体积相对误差不超过使求得的体积相对误差不超过1%。3001100131001_3323xdxxdxVdVxdxVdVdxxdVxV要求解：63 结束语结束语