导数知识点归纳及其应用.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -导数学问点归纳及其应用 学问点归纳一、相关概念1导数的概念函数 y=fx,假如自变量x 在 x 0 处有增量x ，那么函数y 相应的有增量y =f （ x 0 +x ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f （ x0 ）， 比 值y 叫 做 函 数y=f （ x ） 在xx0 到x0 +x 之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y = f x0 xxfx x0 。假如当x0 时，y 有极限， 我们

2、就说函数y=fx在点 x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点 x 0 处的导数，记作f （ x 0 ）或 y|x x 。0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 f （ x） = limy = limf x0xf x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0x0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：（ 1） 函数f （ x ）在点x0 处可导，是指x0 时，y 有极限。假如xy 不存在极限，x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就说函数在点x 0 处不行导，或说无导数。可编辑资

3、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）x 是自变量x 在 x 0 处的转变量，x0 时，而y 是函数值的转变量，可以是零。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由导数的定义可知，求函数y=f （ x ）在点 x 0 处的导数的步骤：求函数的增量y =f （ x 0 +x ） f （ x 0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求平均变化率y = f x0 xxfx x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取极限，得导数f x0 =limy 。x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

4、例： 设 fx= x|x|,就 f 0=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 ： limf 0xf0limf xlim |x |xlim |x |0 f 0=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2导数的几何意义函数 y=f （ x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （ x）在点 p（ x 0 ，f （ x 0 ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （ x ）在点 p（ x 0 ， f （ x 0 ）处的切线的斜率是f （ x 0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

5、总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -/相应的，切线方程为y y 0 =f （ x 0 ）（ xx 0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 在函数 yx 38x 的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是A 3B 2C 1D0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/ 解析 ： 切线的斜率为ky

6、3x 28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又切线的倾斜角小于，即 0k14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 03x 281x3x388解得：或33故没有坐标为整数的点3. 导数的物理意义假如物体运动的规律是s=s（ t），那么该物体在时刻t 的瞬时速度v= s （ t）。假如物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（ t），就该物体在时刻t 的加速度a=v（ t ）。例。 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，如把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（）ssssOtOtOtOtA B CD 可编辑资料 - - - 欢迎

7、下载精品名师归纳总结答： A。练习： 已知质点M按规律 s2t 23 做直线运动（位移单位：cm，时间单位： s ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 当 t=2 ，t（2） 当 t=2 ，t0.01 时，求s 。t0.001 时，求s 。t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 求质点 M在 t=2 时的瞬时速度。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：（ 1） 8.02二、导数的运算cm（ 2） 8.002scm。（ 3） 8 cm ss可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1基本

8、函数的导数公式: C0; （ C为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xnnxn 1;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - sin xcos x; cos xsin x ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x ex ex ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

9、纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a x aln a ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln xl o g a x1;x1log a e .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1：以下求导运算正确选项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11A x+12xx1B log 2x =x ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3C 3 x =3x log eD x 2cosx =-2xsinx11 解析 ： A 错， x+12xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

10、师归纳总结B正确， log 2x =C 错， 3 x =3xln32xln 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D 错， xcosx =2xcosx+ x-sinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2：设 f 0 x sinx ，f 1 x f 0 x ，f 2 x f 1 x ， f n 1 x f n x ，n N，就 f 2005 x A sinxB sinxC cos xD cosx 解析 ： f 0 x sinx ，f 1 x f 0 x= cosx， f 2 x f 1 x= -sinx ，f 3 x f 2 x= -cosx， f 4 x f 3

11、 x= sinx ，循环了就 f 2005 x f 1 x cosx2导数的运算法就法就 1：两个函数的和 或差 的导数 , 等于这两个函数的导数的和 或差 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ： uv u v .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法就 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以其次个函数, 加上第一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数乘以其次个函数的导数，即：uv u vuv .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 C 为常数 , 就 CuC uCu 0Cu

12、 Cu . 即常数与函数的积的导数等于常数乘可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以函数的导数：Cu Cu .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法就 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料

13、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结再除以分母的平方：uvu vv 2uv （ v0）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：设 fx、gx 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数, 当 x 0 时,fx g xf x gx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0. 且 g3=0.就不等式fxgx 0 的解集是A -3,0 3,+ B -3,0 0, 3C - ,- 3 3,+ D - ,- 3 0, 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 ： 当 x 0 时, f x g xf xg x 0，即 fxg x

14、 /0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 x 0 时， fxgx为增函数，又 gx 是偶函数且g3=0 ， g-3=0， f-3g-3=0故当 x3 时， fxgx0，又 fxgx是奇函数，当 x0 时， fxgx为减函数，且f3g3=0故当 0x3 时， fxgx 0应选 D3. 复合函数的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如 y=fx 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分解 求导 回代。法就： y | X = y | U u | X 或者f xf * x

15、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习： 求以下各函数的导数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） yxx 5x2sin x ;（ 2） y x1 x2 x3;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） yxsin122 x2 cos;411（ 4） y.1x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12解： 1 yxx5sin x32x2x3sin xxx2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

16、下载精品名师归纳总结 y3 x 2 x32 x 2 sin x53 x 22323x 22 x 3 sin xx 2 cos x.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） y= （ x+3x+2）（ x+3） =x+6x+11x+6， y =3x+12x+11.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） y=sin x2cos x21 sin x,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 y1 sin x 21 sin x21 cos x.2可编辑资料 -

17、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） y111x1x2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x1x1x 1x 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 y21x211xx22.1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -三、导数的应用1. 函数的单调性与导数可编辑资料

18、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）设函数yf x 在某个区间（a， b）可导， 假如f x0 ，就f x 在此区间上为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结增函数。假如f x0 ，就f x 在此区间上为减函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）假如在某区间内恒有f x0 ，就f x 为常数 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 函数f xx 33x 21是减函数的区间为可编辑资料 - - - 欢迎

19、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2,B ,2C ,0D（ 0，2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析 ： 由f / x3x 26x 0，得 0x0，当1x1 时，f / x 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 f x 的微小值、极大值分别为f 13、f11 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3而 f 317、 f 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故函数f xx3x1 在 -3 ， 0

20、上的最大值、最小值分别是3、-17 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结经典例题选讲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1. 已知函数yxf x 的图象如下列图 （其中f x是函数f x的导函数），下面四可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个图象中yf x 的图象大致是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 设f xax3x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范畴，并求其单调区间。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3.已知函数f xx 3bx2axd 的图象过点P（ 0

21、,2 ）, 且在点M1, f 1 处的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结切线方程为6 xy70 .（）求函数yf x 的解析式。（）求函数yf x 的单调区间 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4.设函数fxx3bx2cxxR ，已知g xf xf x 是奇函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求 b 、 c 的值。（）求g x 的单调区间与极值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎

22、下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5.已知 f （ x） = x 3（1）求 a、b 的值。ax 2bxc 在 x=1， x=2时，都取得极值。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）如对 x1,2 ，都有f x1恒成立，求c 的取值范畴。c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例6.已 知 x1 是 函 数f xmx33m1x2nx1的 一 个 极 值 点 ， 其 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

23、纳总结m, nR, m0 ，（I ）求 m 与 n 的关系式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II ）求f x 的单调区间。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（III）当 x1,1时，函数yf x 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3 m ，求 m 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取值范畴 .例 7：（ 2021 天津理 20） 已知函数f x x2ax2a23aex xR, 其中 aR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

24、 - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）当 a0 时，求曲线yf x在点1,f 1处的切线的斜率。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当 a2时，求函数3f x 的单调区间与极值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、 利用导数争论函数的单调性与极值等基础学问，考查运算才能及分类争论的思想方法。满分12 分。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ I ） 当a0时， f xx e ，f xx 22x ex，故f13e.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

25、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以曲线 yf x在点1, f1处的切线的斜率为3e.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（II ）f xx 2a2x2a 24a ex .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令f x0，解得 x2 a，或 xa2.由a知， 2 a3a2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以下分两种情形争论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 如a 2 ，就32 a a2 . 当 x 变化时，f x， fx 的变化情形如下表：可编辑资料 - - -

26、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x， 2a2a2a， a2a2a2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结+00+极大值微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以f x在， 2a，a2，内是增函数，在 2a，a2内是减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数f x在x2a处取得极大值 f 2a，且f 2a3ae2 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数f x在xa2处取得微小值f a2，且f

27、a2 43aea 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 如a 2 ，就32 a a2 ，当 x 变化时，f x， f x 的变化情形如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x，a2a2a2， 2a2a2a，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结+00+极大值微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以f x在，a2，2a，内是增函数，在 a2， 2a内是减函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品