2013年高考文科数学真命题及其规范标准答案全国卷.doc

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1、*-2013年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013课标全国，文1)已知集合A1,2,3,4，Bx|xn2，nA，则AB()A1,4 B2,3 C9,16 D1,2【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。【解析】Bx|xn2，nA1,4,9,16，AB1,42(2013课标全国，文2)()A. -1-12i B C1+12i D1-12i【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。【解析

2、】.3(2013课标全国，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A B C D【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为.4(2013课标全国，文4)已知双曲线C：(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()A y=14x By=13x C Dy=x【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。【解析】，即.c2a2b2，.双曲线的渐近线方程为，渐近线方程为.故选C.

3、5(2013课标全国，文5)已知命题p：xR,2x3x；命题q：xR，x31x2，则下列命题中为真命题的是()Apq Bpq Cpq Dpq【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。【解析】由2030知，p为假命题令h(x)x31x2，h(0)10，h(1)10，x31x20在(0,1)内有解xR，x31x2，即命题q为真命题由此可知只有pq为真命题故选B.6(2013课标全国，文6)设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则()A Sn=2an-1 BSn=3an-2 CSn=4-3an DSn=3-2an【答案】D【考点】本题主要考查等比数列前n项和公式。【解析】32

4、an，故选D.7(2013课标全国，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t1,3，则输出的s属于()A3,4 B5,2C4,3 D2,5【答案】A【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。【解析】当1t1时，s3t，则s3,3)当1t3时，s4tt2.该函数的对称轴为t2，该函数在1,2上单调递增，在2,3上单调递减smax4，smin3.s3,4综上知s3,4故选A.8(2013课标全国，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2的焦点，P为C上一点，若|PF|，则POF的面积为()A2 B C D4【答案】C【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。【

5、解析】利用|PF|，可得xP.yP.SPOF|OF|yP|.故选C.9(2013课标全国，文9)函数f(x)(1cos x)sin x在，的图像大致为()【答案】C【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。【解析】由f(x)(1cos x)sin x知其为奇函数可排除B当x时，f(x)0，排除A.当x(0，)时，f(x)sin2xcos x(1cos x)2cos2xcos x1.令f(x)0，得.故极值点为，可排除D，故选C.10(2013课标全国，文10)已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b()A10 B9 C8

6、 D5【答案】D【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。【解析】由23cos2Acos 2A0，得cos2A.A，cos A.cos A，b5或(舍)故选D.11(2013课标全国，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88C1616 D816【答案】A【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体V半圆柱2248，V长方体42216.所以所求体积为168.故选A.12(2013课标全国，文12)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2,

7、1 D2,0【答案】D【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。【解析】可画出|f(x)|的图象如图所示当a0时，yax与y|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C；当a0时，若x0，则|f(x)|ax恒成立若x0，则以yax与y|x22x|相切为界限，由得x2(a2)x0.(a2)20，a2.a2,0故选D.第卷（选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13(2013课标全国，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.【答案】2【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。【解析】bc0，|

8、a|b|1，a，b60，ab.bcta(1t)bb0，即tab(1t)b20.1t0.t2.14(2013课标全国，文14)设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_【答案】3【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。【解析】画出可行域如图所示画出直线2xy0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z2333.15(2013课标全国，文15)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_【答案】【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。【解析】如图，设球O的半径为R，则AH，OH.又EH2，EH1.在RtOEH中

9、，R2，R2.S球4R2.16(2013课标全国，文16)设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.【答案】【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。【解析】f(x)sin x2cos xsin(x)，其中sin ，cos .当x2k(kZ)时，f(x)取最大值即2k(kZ)，2k(kZ)cos sin .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013课标全国，文17)(本小题满分12分)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。【解析】

10、(1)设an的公差为d，则Sn.由已知可得3a1+3d=05a1+10d=-5解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，从而数列的前n项和为.18(2013课标全国，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均

11、增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。【解析】(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得(0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.42.52.62.72.72.82.93.03.13.23.5)2.3，(0.50.50.60.80.91.11.21.21.31.41.61.71.8

12、1.92.12.42.52.62.73.2)1.6.由以上计算结果可得，因此可看出A药的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好19(2013课标全国，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力。【解析】(1)取AB的中点O，连结OC，OA1

13、，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以 AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OCOA1.又A1C，则A1C2OC2，故OA1OC.因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积SABC，故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13.20(2013课标全国，文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(

14、1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。【解析】(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0得，xln 2或x2.从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)21(201

15、3课标全国，文21)(本小题满分12分)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。【解析】由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以

16、M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|.若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将代入，并整理得7x28x80，解得x1,2，所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|或|AB|.请考生在第(2

17、2)、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(2013课标全国，文22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.()证明：DB=DC;()设圆的半径为1，BC=3，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径。【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。【解析】 (1)连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，ABEBCE. 而ABECBE，故CBEBC

18、E，BECE.又因为DBBE，所以DE为直径，DCE90，由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，连结BO，则BOG60.从而ABEBCECBE30，所以CFBF，故RtBCF外接圆的半径等于.23(2013课标全国，文23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02)【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程

19、的互化。【解析】(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160得28cos 10sin 160.所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程为x2y22y0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.24(2013课标全国，文24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析、解决问题的能力。【解析】(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图像如图所示从图像可知，当且仅当x(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x都成立故a2，即a.从而a的取值范围是.