最新大学微积分6-2课件ppt课件.ppt

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1、大学微积分大学微积分6-26-2课件课件向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：或或或或或或一、向量的概念一、向量的概念证证充分性显然；充分性显然；0000/ |abababababaabb 必要性：设，则必有或者即：或者 |bbbaaa 取或者 例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的

2、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC ADBC 结论得证结论得证.ABCDMab空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 四、向量的投影空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u

3、AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 0 uu 设为轴的单位向量0 A Bu ,使得 ()uAB 即：注：投影的结果是一个数量值，可正可负。注：投影的结果是一个数量值，可正可负。关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向量向量AB在轴在轴u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：证证uABA B B ()|cosuABAB u 定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为

4、零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .AA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a1212()()()uuuaaaa设设a是是以以),(1111zyxM为为起起点点、),(2222zyxM为为终终点点的的向向量量，过过21, MM各作垂直于三个坐标轴的平面各作垂直于三个坐标轴的平面 ,这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段2

5、1MM为为对对角角线线的的长长方方体体.五、向量的坐标表示五、向量的坐标表示xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐标

6、坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx /abba如何用向量的坐标来表示上述定理?111222212121111222 ,;/, ax y zbxyzabxx yy zz

7、xyzxyz或者：（注：若分母为零，分子也为零）解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，ABMxyzo由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为为中中点点时时，,221xxx ,221yyy .221zzz 非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、

8、,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 三、向量的方向角与方向余弦三、向量的方向角与方向余弦xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余

9、弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为0,|cos, cos, cos .aaa aa 即，成立：1212(1, 2,3),(0,2, 1), MMM M例：已知求 的模和方向余弦12222120 1,2( 2), 1 3144 |( 1)4( 4)33M MijkM M 解：121cos,|33xM M124cos,|33yM M124cos,|33xM M 5 , 60 .ax yza例：已知向量的模为 ， 它与轴正方向的夹角都是度，与轴正方向的夹角为钝角，求向量 |cos , cos,cos .aa分析：1co

10、scoscos222 解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限） 21221221221zzyyxxMM 小结向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘

11、后的方向）向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）思考题思考题已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线AC,a BDb 试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba,思考题解答思考题解答BCAD AM MD).(21ba DC AB AM MB).(21ba ABCDMab思考题思考题 设设jim ，kjn 2，求求以以向向量量nm,为为边边的的

12、平平行行四四边边形形的的对对角角线线的的长长度度.思考题解答思考题解答对角线的长为对角线的长为|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平行四边形的对角线的长度各为平行四边形的对角线的长度各为11, 3.mn 在初等数学中，几何与代数是彼此独立的两个分支；在方法上，它们也基本是互不相关的。解析几何的建立，不仅由于在内容上引入了变量的研究而开创了变量数学，而且在方法上也使几何方法与代数方法结合起来。 1637年，笛卡儿发表了方法论及其三个附录，他对解析几何的贡献，就在第三个附录几何学中，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。在平面和立体轨迹导论中

13、，费尔马解析地定义了许多新的曲线。在很大程度上，笛卡儿从轨迹开始，然后求它的方程；费尔马则从方程出发，然后来研究轨迹。这正是解析几何基本原则的两个相反的方面，“解析几何(analytical geometry )”的名称是以后才定下来的。 阅读材料阅读材料 analytical geometry 这门课程达到现在课本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天这样使用坐标、横坐标、纵坐标这几个术语，是莱布尼兹于1692年提出的。1733年，年仅18岁的克雷洛出版了关于双重曲率曲线的研究一书，这是最早的一部空间解析几何著作。1748年，欧拉写的无穷分析概要，可以说是符合现代意义的第一部解析几何学教

14、程。1788年，拉格朗日开始研究有向线段的理论。1844年，格拉斯曼提出了多维空间的概念，并引入向量的记号。于是多维解析几何出现了。 解析几何在近代的发展，产生了无穷维解析几何和代数几何等一些分支。普通解析几何只不过是代数几何的一部分，而代数几何的发展同抽象代数有着密切的联系。 1619年，笛卡尔在多瑙河的诺伊堡军营里，终日沉迷在数学的思考之中：“几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组数联系起来，突然，他看见屋顶上一只蜘蛛拉着丝垂下来了，一会儿，蜘蛛 又顺着丝爬上去，在上面左右拉丝。蜘蛛的表演使笛卡尔的思路豁然开朗，于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。 阅读材料阅读材料 analytical geometry作业第3页：2, 6第9页：3,7,8,9,10, 11,13,14