最新大学微积分课件第六章PPT课件.ppt
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1、大学微积分课件第六章大学微积分课件第六章2abxo一、定积分概念和性质一、定积分概念和性质时,时,若当若当 n的的选选择择,则则称称此此极极限限限限不不依依赖赖于于和和式式极极限限存存在在,且且此此极极i ,)(上上定义在定义在设函数设函数baxf,等等分分区区间间用用分分点点,baxi,210bxxxxan ,1nabxxxiii 令令任取任取,1iiixx i,作和式作和式iniixf 1)( )(xf为为在区间在区间,ba上的上的定积分定积分,(简称(简称积分积分)1xix1ix baxxfd)(即即 baxxfd)(nabfxfniininiin 11)(lim)(lim 此时称此时称
2、 f ( x ) 在在 a , b 上上可积可积 .记作记作9 xadttfx)()(称称 为为变上限积分变上限积分 1 1、变上限积分函数及其导数、变上限积分函数及其导数 二、定积分的计算二、定积分的计算 函数函数或或积分上限函数积分上限函数变上限变上限积分积分函数的性质:函数的性质:10注注1.此定理表明连续函数取变上限定积分再对此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量上限自变量 x求导,其结果就等于被积求导,其结果就等于被积函数在上限自变量函数在上限自变量x处的函数值。处的函数值。2. bxttfxd)(dd)(xf d)(dd xbttfx xbttfxd)(dd3. )()()
3、(d)(ddxaaxaxafttfx )()(d)(ddxbxattfx )()()()(xaxafxbxbf d)(d)(dd)(0)(0 xaxbttfttfxd)(d)(dd0)()(0ttfttfxxaxb 4.5.0d)(dd baxxfx112 2、定理、定理(微积分基本公式)(微积分基本公式)注意注意当当ba 时,时,)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.12定理定理6.5 设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续,作代换上连续,作代换 满足下列条件:满足下列条件:,ba )(,)( )(tx 上述公式称为定积分的上述公式称为定积分的换元积分公式换元积分公式,简称,
4、简称换元公式换元公式.(2)当当t在在与与之间变化时,之间变化时, 单调变化,且单调变化,且 .d)()(d)( tttfxxfba)(t;上有连续导数上有连续导数在某一闭区间在某一闭区间)()(,)(1tt 则:则:3、 定积分的换元法定积分的换元法13说明说明:(1)定积分的换元法在换元后,积分上,下限也要作定积分的换元法在换元后,积分上,下限也要作相应的变换,即相应的变换,即“换元必换限换元必换限”.(2)在换元之后,按新的积分变量进行定积分运算,不在换元之后,按新的积分变量进行定积分运算,不必再还原为原变量必再还原为原变量.(3)新变元的积分限可能新变元的积分限可能,也可能,也可能,但
5、一定要,但一定要求满足求满足,ba )(,)( t即即;对应于对应于ax t. bx 对对应应于于 .d)()(d)( tttfxxfba(4)换元积分法常用来证明定积分的等式)换元积分法常用来证明定积分的等式144、 定积分的分部积分法定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 bababauvuvvud|d151.1.求平面图形的面积求平面图形的面积三三. .定积分的应用定积分的应用(1 1). .以以x轴为底边的曲边梯形的面积轴为底边的曲边梯形的面积16ab)( xfxy0; baxxfAxfd)(,0)(ab)(xfxy0; baxxfAxfd)(,0)(17若若f (x)
6、有正有负有正有负,则曲边梯形面积为则曲边梯形面积为.d)( baxxfA)(xfy xyoab18; bayyAyd)(,0)( ab)(yx xy0; bayyAyd)(,0)( .d)(A bayy (2 2). .以以y轴为底边的曲边梯形的面积轴为底边的曲边梯形的面积b)(yx xy0a)(yx yxb a 19特别,特别, 时时,)()(xgxf xyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(20围成的平面图形的面积,围成的平面图形的面积,, )()(yy 如如果果.d)()( dcyyyA dcxyo)(yx )(yx 21abox y)(xfy 旋转体的体积为旋转体的
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