最新大学文科数学13教学课件.ppt

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1、1.3 导数与微分主要教学内容：导数与微分的概念，计算导数与微分的概念，计算高阶导数高阶导数隐函数的导数与微分隐函数的导数与微分分段函数的导数分段函数的导数经济学函数的弹性经济学函数的弹性用微分作近似计算用微分作近似计算二元函数的导数与微分二元函数的导数与微分 1.3 导数与微分根据定义求已知函数y = f(x) 在给定点x0 的导数的步骤是：1.计算函数在自变量x0 +x 处的函数值 f(x0+x)；2.计算函数的对应改变量y=f(x0+x)f(x0)；3.写出函数的差商4.计算x xx x0 0（x 0 0）时的极限，即导数值 1.3 导数与微分 例1.3.1 求常数函数y = c 的导数

2、 解 因y = y(x+x)y(x)=c c =0， 差商 此处x 可为任意实数，即常数函数y在任意点 x 处的导数均为0. 1.3 导数与微分例1.3.2 设n是正整数，求幂函数y=xn在点x处的导数解因特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数均为1 1.3 导数与微分例1.3.31.3.3 求曲线yx3在点(2,8)处的切线方程解在上例中取n =3 可知函数y x3 在点x 处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y(2)=3 22 =12，故曲线yx3 在(2,8)处的切线方程是: y 8 = 12 (x 2) ，即 12x y 16 = 0 1.3 导数与微分注:(1

3、) 一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X 内每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y(x)，xX于是y(x)成为X 内有意义的一个新函数，它称为给定函数y = f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称为“f(x)的导数” 例如: 常数函数y = c 的导数是0，y = x 的导数是1，y =xn 的导数是nxn-1等等，分别记作c= 0，x=1，(xn)=nxn-1等，而不特别指明“在某点的导数”(2) 关于改变量的记号，应把它与其后面的变量x 或y 看作一个整体，绝不能把x 看成与x 的乘积，为避免误解，用 (x)2来表示x的平方 导数是局部（

4、点）概念，导函数是整体（定义域内）概念（本质上（本质上是点的概念）是点的概念） 。但是“导函数”往往又简称为“导数”。 1.3 导数与微分例1.3.4 y = sinx的导数是(sinx)= cosx， y =cosx 的导数是(cosx)= sinx 证同理可证， (cosx)= sinx 1.3 导数与微分例1.3.51.3.5y=logax (0a1)的导数是 (logax)= 特别，(lnx)= 1x 1lnxa 1.3 导数与微分例1.3.6.3.6 指数函数y=ax(0a1)的导数是 (ax)=axlna 证：(ax)=特别， 1.3 导数与微分1.3.2. 1.3.2. 变化率问

5、题变化率问题 1. 1. 运动速度问题 设一质点沿直线运动，经过的路程s 是时间t 的函数：s=s(t) 时刻t 到t+t 时间段内质点的平均速度为： 该瞬时速度v(t)就是极限： 即质点运动速度是路程s关于时间t的导数（本质上是点的概念）（本质上是点的概念）。 s tts tvt 1.3 导数与微分例1.3.71.3.7 已知自由落体的运动方程为s=（1/2）gt2，其中g 9.8(m/s2)是重力加速度常数，t与s分别以秒(s)和米(m)为单位求：(1)落体在t 到t+t 时间内的平均速度；(2) 落体在t=2，t=0. .1，0. .01，0. .001，0. .0001 这些时间段内的

6、平均速度;(3) 落体在t 及t=2 时刻的瞬时速度解 (1)落体在t 到t+t 时间内的行程是 s = - = ,因此平均速度 = .212g tt212gt2122gt tt 122gttv 1.3 导数与微分(2) 按照(1)所求出的平均速度表达式，我们用下表列出t = 2 开始的各个时间段内的平均速度：t 时刻的瞬时速度： 在t=2 时刻的瞬时速度是： v(2)=2g29. .8=19. .6(m/sm/s) 1.3 导数与微分2. 经济学函数的边际（不作为基本要求） 边际：导数在经济理论中的别名 设y=f(x)是某个经济学函数经济学把自变量在x0处变化一个单位所引起的函数变化称为函数

7、f(x)在x0 处的边际变化边际变化自变量单位的大小可能引起大小不同的误差比如成本函数C=C(x)，自变量x 是产量，用吨作单位与千克作单位，引起的成本变化就相差很大为减小这种误差，应取尽可能小的单位但不管取多小的单位，自变量的取值还是非负整数为了运用科学的微积分工具，我们假定成本等经济学函数的自变量x可取连续的非负实数值 1.3 导数与微分下面仍以成本函数C=C(x)为例 自变量(产量)x0 x0 + x 变化x ( 个单位 ) 函数(成本) C(x0) C(x0+x)变化C=C(x0+x) C(x0) 差商是x 个产量的平均成本，即从x0 到x0 +x 时1 个单位的自变量变化引起函数的平

8、均变化如果x=1，得C(x0)C=C(x0+1)C(x0) 由此可见，C(x0)近似地表示产量从x0 增加1 个单位时的添加成本， 或近似地表示第x0 + 1个单位产量的成但经济学中常略去“近似”二字，把C(x0)称为边际成本， 并解释为在产量x0 的水平上，再增加1个单位产量所增加的成本定义 设经济学函数y=f(x)在x0可导，则称导数f(x0)为函数f(x)在x0 处的边际值； 若f(x)是可导函数，则导数f(x)称为f(x)的边际函数 1.3 导数与微分例1.3.81.3.8 设某产品的总成本函数为C(x)=1100+ ，其中x 为产量数求(1) 生产900 个单位时的总成本与平均成本;

9、(2) 生产900 个单位到1000 个单位时总成本的平均变化率;(3) 生产900 个单位时的边际成本，并解释其实际经济意义解 (1)生产900 个单位时的总成本为C(900) = 1100 + = 1775, 此时的平均成本为21200 x29001200 1.3 导数与微分(2) 生产900 个单位到1000 个单位时总成本的平均变化率为 (3) 生产x 个单位时的边际成本为 ，因此生产900 个单位时的边际成本为 . 其经济意义是：当产量在900的水平上，若生产增加(或减少)1个单位，成本将增加(或减少)1. .5注: 此处C(900)=1. .5，指的是近似于1. .5，即生产第90

10、1 个产品的成本近似于1. .5，生产第900 个产品的成本也近似于1. .5 实际上，经计算C(901)C(900)1. .5008,C(900)C(899)1. .4992教材第51页上 （应该熟记） 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 。xxaxxnxxeeaaaxxxxcannxxxx1)(ln,ln1)(log,)(,)( ,ln)(,sin)(cos,cos)(sin; 0)(11.3 导数与微分已得基本初等函数导数（导函数）公式如下：1.3 导数与微分 1 1.3.3.3.3微分概念微分概念 在学习了导数之后，我们来学习与导数相伴的微分概念让我们回到导数定义的图，并放大

11、P 点邻近的图形:在光滑曲线y=f(x)上点P(x0,f(x0)的邻近，曲线看起来像直线(就是过P 的切线)，其斜率是导数f(x0)由于一次函数的计算比绝大多数别的函数简单， 因此我们可以期望在P的邻近近似地用切线PT 来代替曲线，即用一次函数（直线）y=f(x0)+f(x0)(xx0)来代替y=f(x). 设函数y=f(x)可导，其图象是光滑曲线，取定点P(x0，f(x0)，如下图 所示1.3 导数与微分1.3 导数与微分000000000000,()(),()()(),(),limlim()0, limlim()0.xxxxPBxBQyf xxf xBQyPBxBTfxBTfx PBfxx

12、PBuTQBQBTyBQBTTQfxxuuyuyfxxfxxx 自变量的改变量：函数改变量：差商：导数：差数：极限如下：1.3 导数与微分可以忽略不计。误差为：。主要部分的是称因更高阶的无穷小量是比称快，的速度比趋于因此的乘积，与为两个无穷小量即又均为无穷小量，时，故当xxfyuyxxfuxxfyxuxuxuxuxxuuxuuxx)()(,)(.0,00001.3 导数与微分1.3 导数与微分定义：定义：设函数y=f(x)在x0 可导，则x的线性倍数 f(x0)x称为y =f(x)在x0 对应于自变量改变量x 的微分微分，记作 d y = f(xd y = f(x0 0) ) x .x .注注

13、1 1. 微分依赖于两个因素： (1)函数的导数f(x0)； (2)自变量的改变量x 一旦x0 取定，导数f(x0)也就取定，此时微分仅与x 成正比，比例系数即 f(x0)1.3 导数与微分 .0lim)(limlim20000 xuxxxfyxdyyxxx：微分的另一特征为：注1.3 导数与微分定理1.3.1 若函数y=f(x)在x0可导,则f(x)在x0 连续000000000000( )( )()()limlim()0,lim ( )()0,lim( )(),( )xxxxxxxxyf xxf xf xfxxxxxf xf xf xf xyf xx证：因函数在 可导即存在，又因故有从而即

14、函数在点 连续。思考：定理的逆命题是否成立？1.3 导数与微分 现在 y ydydy，得计算函数值的近似公式 f f( (x x0 0+ +x x) )f f( (x x0 0)+)+f f( (x x0 0) ) x x 例例1.3.91.3.9 求函数y=x 在x 处对应于自变量改变量x 的微分 解 因x= 1 ，故微分为 dy=y(x) x=1 x=x 另一方面， y= x ， dy = dx 由此得 dx = dx = x x 这表明自变量的微分等于自变量的改变量1.3 导数与微分 于是又可把微分dy=f(x x0 0 )x 写成dy=f(x x0 0 )dx 注意dx =x 是自变量

15、x 的改变量，恒不为0，又可得到 综上所述，对每一函数y = f(x)，有导数(可导)与有微分(可微)是同一件事， 求导数与求微分的运算规律就完全统一在下述公式中： dy=fdy=f( (x x) )dx.dx.,)(0fydxdfdxdyxdxdyxf有：或对任意可导的点1.3 导数与微分从前面得到的导数公式有如下微分公式： 1sincos,cossin,ln, ,1, log,ln1ln,xxxxnnadxxdx dxxdxdaa a dxdee dxdxnxdxdxdxxadxdxx 等等。1.3 导数与微分 函数y=f(x)在点x0 导数的概念和记法为 函数y=f(x)的微分为： dy

16、=f(x)dx 00|lim)()(lim)()(lim)(0000000 xxxxxxdxdyxyxxxfxfxxfxxfxy1.3 导数与微分 。xxaxxnxxeeaaaxxxxcannxxxx1)(ln,ln1)(log,)(,)( ,ln)(,sin)(cos,cos)(sin; 0)(11.3 导数与微分已得基本初等函数导数公式如下：1.3.4 导数与微分的计算1.1.导数与微分的四则运算导数与微分的四则运算 设u=u(x),v=v(x)为可导函数，c为常数，则 公式1.(uv)=u v,d(uv)= dudv. 证 u(x)+v(x) ).()()()(lim)()(lim)()

17、()()(lim000 xvxuxxvxxvxxuxxuxxvxuxxxxxuxxx1.3 导数与微分公式公式2 2.(uv) .(uv) =u=u v+uvv+uv , d(uv)=vdu+udv, d(uv)=vdu+udv证：.)()()()()()()()()(lim)(lim)(lim)()(lim)()()()()()()()(lim)()()()(lim)()(000000udvvdudxuvvudxuvuvdxvxuxvxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxxvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxxvxuxxvxxuxvxuxxxxxx2.3 导数与微分 公式3. (cu)

18、 =cu, d(cu)=cdu证： .)()(,0)(cdudxcudxcucudcucucuuccu2.3 导数与微分 )0()(,).(422vvudvvduvudvuvvuvu公式)()()()()()()()()()(lim)()()()()()()()()()(lim)()()()()()(lim)()()()(lim)(lim)(00000 xvxxvxxuxvxxvxuxxuxvxvxxuxxvxxvxvxuxuxxvxvxuxvxxuxxvxxvxuxxvxvxxuxxvxuxxvxxuxvuvuxxxxx证：2.3 导数与微分 .)()(,)()()()()()(lim)()

19、()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(lim)()()(lim2222000000vudvvduvdxuvdxvudxvuvvudxvuvudxvxvxuxuxvxxvxvxxvxxvxuxxuxxuxvxxvxvxxvxxvxuxxuxxuxvxxxxxx1.3 导数与微分.cscsin1sincoscos)sin(sinsin)(sincossin)(cos)sincos()(cot,seccos1cos)sin(sincoscoscos)(cossincos)(sin)cossin()(tan22222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

20、x解：1.3 导数与微分例12 求y=tanx,y=cotx的导数。.cotcscsincossin)(cos10sin)(sin1sin1)sin1()(csc,tanseccossincos)sin(10cos)(cos1cos1)cos1()(sec222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：1.3 导数与微分例13 求y=secx,y=cscx的导数.481541245322,1252.48154361694128)94)(41 ()32(4)32)(41 ()32()41 (323243232322322323232xxxxxxyxxxyxxxxxxxxxxxxxxx

21、xxxxxy故解二：因解一：1.3 导数与微分例14 求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数.)sin1cos(ln1)sin()cos(ln1)sin()sin(ln)(ln)sin()sin(lndydxxxxxdxxxxxdxdxxdxxxxxddxxxdxxxxxd解1.3 导数与微分例15 求函数y=(x+sinx)lnx的微分。2.2.复合函数的导数与微分复合函数的导数与微分定理定理1.3.21.3.2（链锁法则）（链锁法则） 设z=f(y),y=g(x)分别在点y0=g(x0)与 x0可导，则复合函数z=f( g(x)在x0可导，且求导。才表示整个函数对的求导，而表示对变量注

22、：证明略或xxgfxgxgfxgyfxgfdxdydydzdxdzxxyyxx000)()()().()()()(|0001.3 导数与微分 链锁法则的几点说明链锁法则的几点说明1.略去法则中的x=x0与y=y0,法则成为公式2.计算复合函数值的过程为： 而复合函数求导的过程为：dxdydydzdxdzzyx. xyzyydzdz dydzddxdy dxddx是两个导数与相乘。1.3 导数与微分.5cos55cosy,sin,5xudxdududyuyxu于是则解令1.3 导数与微分例16 求y=sin5x的导数.tancossin)sin(1yln,cosu:xxxxudxdududyuy

23、x，于是则令解1.3 导数与微分例17 求y=lncosx的导数.1.,lnu,1lnlnlnmmxmuuxmxmxxxmexmxmedxdududyyeyxmeeym则令解：因1.3 导数与微分例18 求幂函数y=xm的导数,m为任意实数.注3.链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数。( (板书板书; ;分层脱衣分层脱衣) )注4.在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v,u,z等可不必写出，只要心中有数心中有数即可。注5.链锁法则的微分形式为：.)()()()()(dxxgxgfxdgxgfxgdf1.3 导数与微分 )1ln(2xxy例19 求 的导数.1112211111)1

24、()1(211)1(111)1(11y2222212122222xxxxxxxxxxxxxxxx解：1.3 导数与微分例1.3.19 求函数 的微分.xey2sin.2sincossin2sinsin2sin2222sinsinsin2sinxdxexdxxexxdexdedyxxxx解：1.3 导数与微分基本初等函数的导数与微分公式基本初等函数的导数与微分公式 例2.3.20求 的微分 ( (符号函数符号函数sign x)sign x)21arcsinxy.12)1(21|1)1()1(21111(11dy2212221222)2xdxxdxxxxdxxxdx解：1.3 导数与微分 .112

25、)(11)4(3)()(11)(3y.arctan322525244xxxxxxxeexeexeexexy解：的导数求例1.3 导数与微分导数的导数导数的导数二阶导数二阶导数 定义：若函数y=f(x)的导数y=f(x)可导，则称y= f(x)的导数：( y)=f(x)为y=f(x)的二阶导数，记作：y= f(x). 递推地，若函数y=f(x)的n-1阶导数存在且可导，则函数y=f(x)的n阶导数为： 统称为函数y=f(x)的高阶导数。. )() 1()(nnyy1.3 导数与微分 ).2sin(sin.cossin.cos.sin.cossin.cossin.cosy.sin1)n()24()

26、14()4()14()6()5()4()3( nxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxnxykkkk通式为：解：显然有阶导数的：求例1.3 导数与微分).2(cosycos.sinycos.siny.cos.sinycos.siny.cos2(n)24(1)(4k)4(1)-(4k)4(3) nxxyxxyxxyxxyxnxykk通式为：解：显然有阶导数的：求例1.3 导数与微分隐函数的导数与微分隐函数的导数与微分 定义：由方程F(x,y)=0,其中x为自变量，y为因变量，确定的函数y=f(x)称之为隐函数。 例如： 有的可以从方程中解出y，表示为显函数y=f(x)，有的不能。等等。椭圆的

27、方程：圆的方程：. 0; 1;)()(2222222xyebyaxrbyaxy1.3 导数与微分隐函数求导的方法隐函数求导的方法 方法1.在方程F(x,y)=0中，把y看成x的函数：y=y(x),于是方程可看成关于x的恒等式F(x,y(x)=0.其两端对x求导，即可求出隐函数的导数。 .10)()() 1 ()() 1 (xy11yyyyyyyyexeyyexeexexxeyxey从而求导，得解：将方程两边对的导数。所确定的隐函数：求由方程例1.3 导数与微分方法2：对方程两边求微分，再导出导数。.01|1)0(, 1)0(10.1,)1 (,)(0)(1).0(,11101eexeeyyxe

28、yxxeedxdyydxexedydyxedxeexddxexedddyyxeyyxyyyyyyyyyyyyy于是可得时，由方程当可得从而：解：对方程两边求微分并求所确定隐函数的导数求方程例1.3 导数与微分例1.3.26 一飞机在离地面1200m 的高空以速率150(m s)向探照灯L 沿水平直线飞行(见右图)探照灯强光照在机身试问：当飞机在地面上的正投影A 离探照灯600m 时，为使灯光不离开机身， 探照灯应以怎样的速度逆时针旋转?1.3 导数与微分解 记时间变量为t ，探照灯光线的仰角(由地平线逆时针转向光线的角)为=(t) ，飞机在地面上的正投影A 离探照灯L 的距离LA 为x= x(

29、t) ，它们都是t 的函数按题意, 首先建立变量与x 的联系方程： tan = 1200 x-1 , 对此方程两边求微分：.|,150600 xdtdvdtdx现在要求已知1.3 导数与微分代入，得及对应的，现将51)6001200(11)tan1 (cos150600,cos12001200sec)1200(tan212222221dtdxxdtdxxdtddxxdxdd1.3 导数与微分例1.3.27 求曲线 x2+ xy +y2 = 4 在点(2, 2)处的切线方程 . 解过点(2, 2)的切线由其斜率确定. 为此先求该方程确定的函数y = y( x)在x = 2 处的导数. 对方程x2

30、+ xy +y2 = 4的两边求微分得： 2x d x + x d y+ y dx + 2 y d y = 0 ( x +2 y) dy = ( y+2 x) dx, 由此解出 ,再将x = 2 , y = 2 代入即得)./( 1 . 0)150(600511200|2600sdtdx弧度yxxydxdy221.3 导数与微分.4,2)2()2,2(.1)2(22222|2,2xyxydxdyyx即处的切线方程为：于是该曲线上点1.3 导数与微分分段函数的导数分段函数的导数主要研究分段函数在分段点的可导性 (以x表示自变量的改变量，符号非本质)200200000000,1.( )x001,l

31、im( )lim1,lim( )lim(1)1,lim( )1.(0)1.lim( )1(0),( )0.( )(0)(0)lim,( )(0)limlxxxxxxxxxxxef xxxf xef xxf xfef xff xxf xffxf xfx例 讨论函数在点的连续性与可导性。解：因为故又因由此即在连续因22000(1) 1imlimlim0.xxxxxxxx1.3 导数与微分处不可导。在即不存在，故，从而0)()0()(lim)0()(lim)0()(lim. 11lim)0()(lim00000 xxfxfxfxfxfxfxfxexfxfxxxxxx1.3 导数与微分（右导数、左导数

32、的概念）（右导数、左导数的概念）从图中看到, 在函数y = f(x)的图象上点(0,1)处没有切线, 因为在其左边有一条“半切线”, 斜率是1, 但在其右边有一条“半切线” , 斜率是0.1.3 导数与微分左，右导数的定义 .)()(lim)()(.)()(lim)()()()(lim),(),()(00000000000000 xxfxxfxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfbaxbaxfyxxx的左导数是：在点类似的，记作的右导数，在点存在，则称此极限为如果极限内，定义在区间定义：设函数1.3 导数与微分00000002.3.3 :( )( ,)( ,). () ()()()()().fxa bxa bfxfxfxfxfxfx定 理设 函 数在 区 间内有 定 义 ，则存 在与都 存 在 且 相 等 。即1.3 导数与微分.1)0(0)(, 121sinlim2)1ln(lim0sin2)1ln(lim)0()(lim)0(; 10)(lim)0()(lim)0(000,sin2)1ln(,)(29.3.2000000fxxfxxxxxxxxfxffxxxfxffxxxxxxxfxxxxxx可导，且在故解：因的可导性。在讨论函数例1.3 导数与微分 本节结束本节结束 谢谢！谢谢！1.3 导数与微分