2015年度北京地区高考数学试卷(理科).doc

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1、,.2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题分，共分）1复数=（）ABCD 2若满足，则的最大值为（）ABCD3执行如图所示的程序框图输出的结果为（）ABCD4设是两个不同的平面，是直线且，“是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）ABCD6设是等差数列，下列结论中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则7如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）ABC D 8汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的

2、是（）A消耗升汽油，乙车最多可行驶千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油D某城市机动车最高限速千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题分，共分）9在的展开式中，的系数为（用数字作答）10已知双曲线的一条渐近线为，则= 11在极坐标系中，点到直线的距离为 12在中，则= 13在中，点满足，若,则= ，= 14设函数若，则的最小值为；若 恰有个零点，则实数的取值范围是三、解答题（共小题，共分）15已知函数（）求 的最小正周期；（）求 在区间上的最小值16两组各有位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）

3、记录如下：组：，B组；，假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙（）求甲的康复时间不少于天的概率；（）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（）当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面， ，为的中点（）求证：（）求二面角的余弦值；（）若平面，求的值18已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）求证，当时，；（）设实数使得对恒成立，求的最大值19已知椭圆的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点 的坐标（用表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点，问

4、：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由20已知数列an满足：a1N*，a136，且an+1=（n=1，2，），记集合M=an|nN*（）若a1=6，写出集合M的所有元素；（）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（）求集合M的元素个数的最大值2015年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1（2015北京）复数i（2i）=（）A1+2iB12iC1+2iD12i【分析】利用复数的运算法则解答【解答】解：原式=2ii2=2i（1）=1+2i；故选：A2（2015北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（

5、）A0B1CD2【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值z最大值=0+21=2故选：D3（2015北京）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A（2，2）B（4，0）C（4，4）D（0，8）【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x=1，y=1，k=0时，s=xy=0，t=x+y=2；x=s=0，y=t=2，k=1时，s=xy=2，t=x+y=2；x=s=2，y=t=2，k=2时，s=xy=4，

6、t=x+y=0；x=s=4，y=t=0，k=3时，循环终止，输出（x，y）是（4，0）故选：B4（2015北京）设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m“是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】m并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且m，显然能得到m，这样即可找出正确选项【解答】解：m，m得不到，因为，可能相交，只要m和，的交线平行即可得到m；，m，m和没有公共点，m，即能得到m；“m”是“”的必要不充分条件故选B5（2015北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+C2+2D5【分析

7、】根据三视图可判断直观图为：OA面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，可得AEBC，BCOA，运用直线平面的垂直得出：BC面AEO，AC=，OE=SABC=22=2，SOAC=SOAB=1=SBCO=2=故该三棱锥的表面积是2，故选：C6（2015北京）设an是等差数列，下列结论中正确的是（）A若a1+a20，则a2+a30B若a1+a30，则a1+a20C若0a1a2，则a

8、2D若a10，则（a2a1）（a2a3）0【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：若a1+a20，则2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0时，结论成立，即A不正确；若a1+a30，则a1+a2=2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0时，结论成立，即B不正确；an是等差数列，0a1a2，2a2=a1+a32，a2，即C正确；若a10，则（a2a1）（a2a3）=d20，即D不正确故选：C7（2015北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2【分析】在已知坐标系内作出y=

9、log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）log2（x+1）的x范围是1x1；所以不等式f（x）log2（x+1）的解集是x|1x1；故选C8（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用

10、丙车比用乙车更省油【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确二、填空题（每小题5分，共30分）9（2015北京）在（2+x）5的展开式

11、中，x3的系数为40（用数字作答）【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值【解答】解：（2+x）5的展开式的通项公式为：Tr+1=25rxr，所求x3的系数为：=40故答案为：4010（2015北京）已知双曲线y2=1（a0）的一条渐近线为x+y=0，则a=【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=，结合条件可得=，即可得到a的值【解答】解：双曲线y2=1的渐近线方程为y=，由题意可得=，解得a=故答案为：11（2015北京）在极坐标系中，点（2，）到直线（cos+sin）=6的距离为1【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出【解答】解

12、：点P（2，）化为P直线（cos+sin）=6化为点P到直线的距离d=1故答案为：112（2015北京）在ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论【解答】解：ABC中，a=4，b=5，c=6，cosC=，cosA=sinC=，sinA=，=1故答案为：113（2015北京）在ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值【解答】解：由已知得到=；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：14（2015北京）设函数f（x）=，若a=1，则f

13、（x）的最小值为1；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是a1或a2【分析】分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；分别设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围【解答】解：当a=1时，f（x）=，当x1时，f（x）=2x1为增函数，f（x）1，当x1时，f（x）=4（x1）（x2）=4（x23x+2）=4（x）21，当1x时，函数单调递减，当x时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=1，设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a）若在x1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a0，并且当x=1时，h（1）=2a0，所

14、以0a2，而函数g（x）=4（xa）（x2a）有一个交点，所以2a1，且a1，所以a1，若函数h（x）=2xa在x1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（xa）（x2a）有两个交点，当a0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2a0时，即a2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是a1，或a2三、解答题（共6小题，共80分）15（2015北京）已知函数f（x）=sincossin（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间，0上的最小值【分析】（）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦

15、函数的周期，即可得到所求；（）由x的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值【解答】解：（）f（x）=sincossin=sinx（1cosx）=sinxcos+cosxsin=sin（x+），则f（x）的最小正周期为2；（）由x0，可得x+，即有1，则当x=时，sin（x+）取得最小值1，则有f（x）在区间，0上的最小值为116（2015北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出

16、的人记为甲，B组选出的人记为乙（）求甲的康复时间不少于14天的概率；（）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【分析】设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，7（）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；（）由方差的公式可得【解答】解：设事件A

17、i为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，7（）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”甲的康复时间不少于14天的概率P（A5A6A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6，P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）

18、=10P（A4）P（B1）=（）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等17（2015北京）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O为EF的中点（）求证：AOBE（）求二面角FAEB的余弦值；（）若BE平面AOC，求a的值【分析】（）根据线面垂直的性质定理即可证明AOBE（）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角FAEB的余弦值；（）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值【解答】证明：（）AEF为等边三角形，O为EF的中点，AOEF，平面AEF平面EFCB，AO平面AEF，AO平面EFCBA

19、OBE（）取BC的中点G，连接OG，EFCB是等腰梯形，OGEF，由（）知AO平面EFCB，OG平面EFCB，OAOG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，（a2），BH=2a，EH=BHtan60=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，0），=（a，0，a），=（a2，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=1，即=（，1，1），平面AEF的法向量为，则cos=即二面角FAEB的余弦值为；（）若BE平面AOC，则BEOC，即=0，=（a2，0），=（2，0），=2（a2）3（a2）2=0，解得a=18（2015北京）已知函数f（

20、x）=ln，（）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求证，当x（0，1）时，f（x）；（）设实数k使得f（x）对x（0，1）恒成立，求k的最大值【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围【解答】解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）ln（1x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=2x（2）证明：令g（x）=f（x）2（x+），则g（x）=f（x）2（1+x2）=，因为g（x）0（0x1），所以g（x）在区间（0，1）上单

21、调递增所以g（x）g（0）=0，x（0，1），即当x（0，1）时，f（x）2（x+）（3）由（2）知，当k2时，f（x）对x（0，1）恒成立当k2时，令h（x）=f（x），则h（x）=f（x）k（1+x2）=，所以当时，h（x）0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减当时，h（x）h（0）=0，即f（x）所以当k2时，f（x）并非对x（0，1）恒成立综上所知，k的最大值为219（2015北京）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M（）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，

22、直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得OQM=ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由【分析】（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tanOQM=tanONQ，=，求解即可得出即yQ2=xMxN，+n2，根据m，m的关系整体求解【解答】解：（）由题意得出解得：a=，b=1，c=1+y2=1，P（0，1）和点A（m，n），1n1PA的方程为：y1=x，y=0时，xM=M（，0）（II）点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m0）点B（m，n）（m0）直线PB交x轴于点N，N（，0），存在点Q，使得OQM=ONQ，Q（0，yQ

23、），tanOQM=tanONQ，=，即yQ2=xMxN，+n2=1yQ2=2，yQ=，故y轴上存在点Q，使得OQM=ONQ，Q（0，）或Q（0，）20（2015北京）已知数列an满足：a1N*，a136，且an+1=（n=1，2，），记集合M=an|nN*（）若a1=6，写出集合M的所有元素；（）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（）求集合M的元素个数的最大值【分析】（）a1=6，利用an+1=可求得集合M的所有元素为6，12，24；（）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=（n=1，2，），可归纳证明对任意nk，an是3的倍数；

24、（）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值【解答】解：（）若a1=6，由于an+1=（n=1，2，），M=an|nN*故集合M的所有元素为6，12，24；（）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=（n=1，2，），可归纳证明对任意nk，an是3的倍数如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；如果k1，因为ak=2ak1，或ak=2ak136，所以2ak1是3的倍数；于是ak1是3的倍数；类似可得，ak2，a1都是3的倍数；从而对任意n1，an是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数（）对a1

25、36，an=（n=1，2，），可归纳证明对任意nk，an36（n=2，3，）因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数从而当n2时，an是2的倍数如果a1是3的倍数，由（）知，对所有正整数n，an是3的倍数因此当n3时，an12，24，36，这时M的元素个数不超过5如果a1不是3的倍数，由（）知，对所有正整数n，an不是3的倍数因此当n3时，an4，8，16，20，28，32，这时M的元素个数不超过8当a1=1时，M=1，2，4，8，16，20，28，32，有8个元素综上可知，集合M的元素个数的最大值为8参与本试卷答题和审题的老师有：changq；qiss；742048；wkl197822；sdpyqzh；刘长柏；whgcn；双曲线；沂蒙松；lincy；maths；雪狼王；wfy814（排名不分先后）菁优网2017年2月3日