2016年度四川地区成都市高考数学一诊试卷(理科).doc

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1、_*2016年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）（2016成都模拟）已知集合A=xZ|（x+1）（x2）0，B=x|2x2，则AB=（）Ax|1x2B1，0，1C0，1，2D1，12（5分）（2016成都模拟）在ABC中，“A=”是“cosA=“的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）（2016成都模拟）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）A3：1B2：1C1：1D1：24（5分）（2016成

2、都模拟）设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（）AbacBcbaCcabDbca5（5分）（2016成都模拟）已知m，n为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，m，则B若m，mn，则nC若m，mn，则nD若m，m，则6（5分）（2016成都模拟）执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（）A4B5C6D77（5分）（2016成都模拟）已知菱形ABCD边长为2，B=，点P满足=，R，若=3，则的值为（）ABCD8（5分）（2016成都模拟）过双曲线=1（a0，b0）的左顶点A作斜率为1的直线，该直线与双

3、曲线的两条渐近线的交点分别为B，C若，则双曲线的离心率是（）ABCD9（5分）（2016成都模拟）设不等式组示的平面区域为D若指数函数y=ax（a0且a1）的图象经过区域D上的点，则a的取值范围是（）A，3B3，+）C（0，D，1）10（5分）（2016成都模拟）如果数列an中任意连续三项奇数项与连续三项偶数项均能构成一个三角形的边长，则称an为“亚三角形”数列；对于“亚三角形”数列an，如果函数使得y=f（x）仍为一个“亚三角形”数列，则称y=f（x）是数列an的一个“保亚三角形函数”（nN*）记数列an的前项和为Sn，c1=2016，且5Sn+14Sn=10080，若g（x）=lgx是数列

4、cn的“保亚三角形函数”，则数列cn的项数的最大值为（）（参考数据：lg20.30，lg20163.304A33B34C35D36二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。11（5分）（2016成都模拟）设复数z满足iz=（3+2i）（1i）（其中i为虚数单位），则z=12（5分）（2016成都模拟）（2）7的展开式中，x2的系数是13（5分）（2016成都模拟）甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污染，记甲、乙的平均成绩为，则的概率是14（5分）（2016成都模拟）如图，某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一

5、条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线y=1x2的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M，N则MON面积的最小值为15（5分）（2016成都模拟）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为1，1，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（12分）（2016成都模拟）已知等比数列an的公比q1，且2（an+an+2）=5an+1，nN*（）求q的值；（）若a52=a10，求数列的前n项和Sn17（12分）（2016成都模拟）某类题库中有9道题，其中5道甲类题，每题10分，4道乙类题，每题5分，现从中任意选取三道题组成问

6、卷，记随机变量X为此问卷的总分（）求X的分布列；（）求X的数学期望E（X）18（12分）（2016成都模拟）已知向量=（cos2x，sinx），=（1，），设函数f（x）=（）求函数f（x）取得最大值时x取值的集合；（）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=，求sinA的值19（12分）（2016成都模拟）如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD平面ABCD，且FD=（I）求证：EF平面ABCD；（）若CBA=60，求二面角AFBE的余弦值20（13分）（2016成都模拟）已知椭圆E：+=1的左右顶点分别为A、B，点P为椭圆上异于A

7、，B的任意一点（）求直线PA与PB的斜率乘积的值；（）设Q（t，0）（t），过点Q作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点，则是否存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由21（14分）（2016成都模拟）已知函数f（x）=ax2+（1+a）xlnx（aR）（）当a0时，求函数f（x）的单调递减区间；（）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）若存在区间m，n，+），使得函数g（x）在m，n上的值域为k（m+2）2，k（n+2）2，求实数k的取值范围2016年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分

8、，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）（2016成都模拟）已知集合A=xZ|（x+1）（x2）0，B=x|2x2，则AB=（）Ax|1x2B1，0，1C0，1，2D1，1【考点】交集及其运算菁优网版权所有【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】求出A中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A，求出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式解得：1x2，xZ，即A=1，0，1，2，B=x|2x2，AB=1，0，1，故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）（2016成都模拟）在ABC中，“A=”是“cosA=“的（

9、）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【专题】函数思想；综合法；简易逻辑【分析】根据三角函数的性质结合充分必要条件判断即可【解答】解：在ABC中，0A，由“A=”“cosA=”，故选：C【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题3（5分）（2016成都模拟）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）A3：1B2：1C1：1D1：2【考点】简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；等体积法；立体几何【分析】V=V

10、半球V圆锥，由三视图可得球与圆锥内的长度【解答】解：球的半径为r，圆锥的半径为r，高为r；V圆锥=r3，V半球=r3=r3，V=V半球V圆锥=r3，剩余部分与挖去部分的体积之比为1：1，故选：C【点评】本题通过三视图考查几何体体积的运算，关键是掌握体积公式，属于基础题4（5分）（2016成都模拟）设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（）AbacBcbaCcabDbca【考点】对数值大小的比较菁优网版权所有【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用【分析】利用指数函数的单调性即可得出【解答】解：a=（）=b=（）1，c=log20，abc故选：B【点评】本题考查了指数函

11、数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（5分）（2016成都模拟）已知m，n为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，m，则B若m，mn，则nC若m，mn，则nD若m，m，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于A，若m，m，则或，相交，不正确；对于B，若m，mn，则n或n，不正确；对于C，若m，mn，则n或n，不正确；对于D，因为m，则一定存在直线n在内，使得mn，又m可得出n，由面面垂直的判定定理知，此命题正确，故选：

12、D【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，空间中两个平面的位置关系主要有相交与平行，相交中比较重要的位置关系是两面垂直，解答本题，有着较好的空间立体感知能力，能对所给的模型找到恰当的实物背景作出判断是正确解答本题的关键，本题考查了利用基础理论作出推理判断的能力，是立体几何中的基本6（5分）（2016成都模拟）执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（）A4B5C6D7【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】图表型；转化思想；试验法；算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足

13、退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，即可得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=0满足条，0k，S=3，n=1满足条件1k，S=7，n=2满足条件2k，S=13，n=3满足条件3k，S=23，n=4满足条件4k，S=41，n=5满足条件5k，S=75，n=6若使输出的结果S不大于50，则输入的整数k不满足条件5k，即k5，则输入的整数k的最大值为4故选：A【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运

14、算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模，本题属于基础知识的考查7（5分）（2016成都模拟）已知菱形ABCD边长为2，B=，点P满足=，R，若=3，则的值为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论【解答】解：由题意可得 =22cos60=2，=（+）（）=（+）（）=（+）（1）=（1）+（1）=（1）42+2（1）4=6=3，=，故选：A【点评】本题主要考查平面向量的基本定理的应用，两个向量的数量积的运

15、算，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题8（5分）（2016成都模拟）过双曲线=1（a0，b0）的左顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C若，则双曲线的离心率是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出直线l和两个渐近线的交点，进而根据，求得a和b的关系，根据c2a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得【解答】解：直线l：y=x+a与渐近线l1：bxay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），A（a，0），（a，）=（，），a=（）b=2a，c2a2=4a2，e2=5，e=，

16、故选：C【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用9（5分）（2016成都模拟）设不等式组示的平面区域为D若指数函数y=ax（a0且a1）的图象经过区域D上的点，则a的取值范围是（）A，3B3，+）C（0，D，1）【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】作图题；函数思想；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，画出指数函数在0a1时的图象，求出图象过A（1，3）时a的值，则a的范围可求【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），当函数y=ax（a0且a1）的图象经过区域D上的点A时

17、，有a1=3，即a=由指数函数图象的特点可知，当a，1）时，指数函数y=ax（a0且a1）的图象经过区域D上的点故选：D【点评】本题考查基地的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了指数函数的性质，是中档题10（5分）（2016成都模拟）如果数列an中任意连续三项奇数项与连续三项偶数项均能构成一个三角形的边长，则称an为“亚三角形”数列；对于“亚三角形”数列an，如果函数使得y=f（x）仍为一个“亚三角形”数列，则称y=f（x）是数列an的一个“保亚三角形函数”（nN*）记数列an的前项和为Sn，c1=2016，且5Sn+14Sn=10080，若g（x）=lgx是数列cn的“保亚三角形函

18、数”，则数列cn的项数的最大值为（）（参考数据：lg20.30，lg20163.304A33B34C35D36【考点】数列的应用菁优网版权所有【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法【分析】先利用条件求出数列cn的通项公式，证明其满足“亚三角形”数列然后利用对数型复合函数的单调性得到g（cn）是单调递减函数，再由lgcn+4+lgcn+2lgcn求解对数不等式得答案【解答】解：由5Sn+14Sn=10080，得5Sn4Sn1=10080（n2），两式作差得：5cn+14cn=0（n2）（n2）又c1=2016，且5Sn+14Sn=10080，5（c1+c2

19、）4c1=10080，解得，则数列cn是等比数列由上可知，数列cn是递减数列=数列cn是“亚三角形”数列；函数g（x）=lgx是增函数，则lgcn是减函数由lgcn+4+lgcn+2lgcn得，整理得：解得：n33.04则数列cn的项数的最大值为33故选：A【点评】本题是在新定义下对数列的综合考查，考查了对数函数的单调性关于新定义的题型，在作题过程中一定要理解定义，并会用定义来解题，是中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。11（5分）（2016成都模拟）设复数z满足iz=（3+2i）（1i）（其中i为虚数单位），则z=1+5i【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专

20、题】转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：复数z满足iz=（3+2i）（1i）（其中i为虚数单位），iz=5i，iiz=（5i）i，化为z=5i+1故答案为：1+5i【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题12（5分）（2016成都模拟）（2）7的展开式中，x2的系数是280【考点】二项式系数的性质菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；数学模型法；二项式定理【分析】写出二项展开式的通项，由x得指数为2求得r值，则x2的系数可求【解答】解：（2）7的展开式的通项为=由，得r=3x2的系数是故答案为：280【点评】本题考查二项式定

21、理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础的计算题13（5分）（2016成都模拟）甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污染，记甲、乙的平均成绩为，则的概率是【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】由茎叶图求出，由，得9089+，xN，由此能过河卒子 同的概率【解答】解：由已知中的茎叶图可得乙的5次综合测评中的成绩分别为87，86，92，94，91，则乙的平均成绩：=（87+86+92+94+91）=90设污损数字为x则甲的5次综合测评中的成绩分别为85，87，84，99，90+X甲的平均成绩：=

22、（85+87+84+99+90+x）=89+，9089+，xN，解得x的可能取值为6，7，8，9，的概率是p=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶力的性质的合理运用14（5分）（2016成都模拟）如图，某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线y=1x2的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M，N则MON面积的最小值为【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法菁优网版权所有【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】设MN为曲线y=

23、1x2的切线，切点为（m，n），由抛物线的方程，求出导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0可得M，N的坐标，求得MNO的面积，再由导数求得单调区间和极小值，也为最小值，即可得到所求值【解答】解：设MN为曲线y=1x2的切线，切点为（m，n），可得n=1m2，y=1x2的导数为y=x，即有直线MN的方程为y（1m2）=m（xm），令x=0，可得y=1+m2，再令y=0，可得x=（m0），即有MON面积为S=（1+m2）=，由S=（+48m2+24）=0，解得m=，当m时，S0，函数S递增；当0m时，S0，函数S递减即有m=处取得最小值，且为故答案为：【点评】本题

24、考查三角形的面积的最值的求法，注意运用函数的导数，求得切线方程，再由单调性求最值，考查运算能力，属于中档题15（5分）（2016成都模拟）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为1，1，则实数a的取值范围是2，1+【考点】函数的值域菁优网版权所有【专题】作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】由于y=log2（2x）在0，k）上是递减函数，再由函数f（x）的值域是1，1，得到k的范围，再由y=x33x2+3的图象，结合函数的值域1，1，从而得到a的取值范围【解答】解：由于y=log2（2x）在0，k）上是递减函数，且x=0时，y=1，x=时，y=1，故0k，画出函

25、数f（x）的图象，令x33x2+3=1，解得x=1，1+，1（舍去），令g（x）=x33x2+3，则g（x）=3x26x，由g（x）=0，得x=0或x=2当x=2时，函数g（x）有极小值1由于存在k使得函数f（x）的值域是1，1，故a的取值范围是2，1+故答案为2，1+【点评】本题考查分段函数的图象和应用，考查函数的单调性和值域，考查数形结合的能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（12分）（2016成都模拟）已知等比数列an的公比q1，且2（an+an+2）=5an+1，nN*（）求q的值；（）若a52=a10，求数列的前n项和Sn

26、【考点】数列的求和；等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出；（II）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：（I）2（an+an+2）=5an+1，nN*，=5anq，化为2（1+q2）=5q，又q1，解得q=2（II）a52=a10，=a129，解得a1=2an=2n=数列的前n项和Sn=【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（12分）（2016成都模拟）某类题库中有9道题，其中5道甲类题，每题10分，4道乙类题，每题5分，现从中任意选

27、取三道题组成问卷，记随机变量X为此问卷的总分（）求X的分布列；（）求X的数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（）由已知得X的可能取值为15，20，25，30，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列（）由X的分布列能求出X的数学期望E（X）【解答】解：（）由已知得X的可能取值为15，20，25，30，P（X=15）=，P（X=20）=P（X=25）=，P（X=30）=X的分布列为： X 15 20 25 30 P（）X的数学期望E（X）=【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布

28、列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用18（12分）（2016成都模拟）已知向量=（cos2x，sinx），=（1，），设函数f（x）=（）求函数f（x）取得最大值时x取值的集合；（）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=，求sinA的值【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数的最值菁优网版权所有【专题】函数思想；综合法；解三角形；平面向量及应用【分析】（）由向量和三角函数公式可得f（x）=cos（2x+）+，易得最值和x集合；（）由题意和同角三角函数基本关系可得sinB，再由前面所求可得C=，代入sinA=sin（B）=

29、cosB+sinB，计算可得【解答】解：（）向量=（cos2x，sinx），=（1，），函数f（x）=cos2x+（sinx）2=cos2x+sin2x+cos2xsinxcosx=cos2xsin2x+=cos（2x+）+故当cos（2x+）=1时，函数f（x）取得最大值，此时2x+=2k，解得x=k，kZ，故x取值的集合为x|x=k，kZ；（）A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，且cosB=，sinB=，又f（C）=cos（2C+）+=，cos（2C+）=，2C+=，解得C=，sinA=sin（B）=cosB+sinB=【点评】本题考查解三角形，涉及三角函数的化简和同角三角函数基本关系

30、以及向量的知识，属中档题19（12分）（2016成都模拟）如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD平面ABCD，且FD=（I）求证：EF平面ABCD；（）若CBA=60，求二面角AFBE的余弦值【考点】二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】数形结合；空间位置关系与距离；立体几何【分析】（I）根据线面平行的判定定理即可证明EF平面ABCD；（），建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角AFBE的余弦值【解答】解：（）如图，过点E 作 EHBC于H，连接HD，EH=平面ABCD平面BCE，EH平面BCE，平面ABD平面BCE=BC，EH平面ABCD，又FD平面A

31、BCD，FD=，FDEHFD=EH四边形EHDF 为平行四边形EFHD EF平面ABCD，HD平面ABCD，EF平面ABCD（）连接HA 由（），得H 为BC 中点，又CBA=60，ABC 为等边三角形，AHBC，分别以HB，HA，HE 为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz则 B（1，0，0），F（2，），E（0，0，），A（0，0）=（3，），=（1，0），=（1，0，），设平面EBF 的法向量为=（x，y，z）由 得 令z=1，得=（，2，1）设平面ABF的法向量为=（x，y，z）由 得令y=1，得=（，1，2）cos，=故二面角AFBE的余弦值是【点评】本题综合考查空间中

32、线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及二面角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，难度中等20（13分）（2016成都模拟）已知椭圆E：+=1的左右顶点分别为A、B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点（）求直线PA与PB的斜率乘积的值；（）设Q（t，0）（t），过点Q作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点，则是否存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由题意知设点P（x，y）（y0），从而可得，从而解得（）假设存在实数t，使

33、得以MN为直径的圆恒过点A；再设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x=ay+t，（aR），联立化简可得（2a2+3）y2+4aty+2t26=0，从而利用韦达定理可得y1+y2=，y1y2=；化简=（x1+，y1）（x2+，y2）=a2y1y2+（+t）a（y1+y2）+（+t）2+y1y2，代入化简可得5t2+6t+3=0，从而解得【解答】解：（）设点P（x，y）（y0），则有，即，=（）假设存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A；设M（x1，y1），N（x2，y2），MN与x轴不重合，设直线MN的方程为x=ay+t，（aR），由化简得，（2a2+3）y2+4aty+2t

34、26=0，由题意可知0成立，且y1+y2=，y1y2=；=（x1+，y1）（x2+，y2）=（ay1+t+，y1）（ay2+t+，y2）=（ay1+t+）（ay2+t+）+y1y2=a2y1y2+（+t）a（y1+y2）+（+t）2+y1y2将y1+y2=，y1y2=代入上式可得，=a2（+t）a+（+t）2+=0，即=0，即a2（2t264t4t2+2t2+4t+6）+2t26+3（+t）2=0，即5t2+6t+3=0，解得，t=（舍去）或t=故t=【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系的判断与应用，同时考查了平面向量的应用，同时考查了学生的化简运算的能力21（14分）（2016成都模拟）已

35、知函数f（x）=ax2+（1+a）xlnx（aR）（）当a0时，求函数f（x）的单调递减区间；（）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）若存在区间m，n，+），使得函数g（x）在m，n上的值域为k（m+2）2，k（n+2）2，求实数k的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用【分析】（）对f（x）进行求导，讨论a=1，a1.0a1，利用导数为负，求函数的减区间；（）要求存在区间，使f（x）在m，n上的值域是k（m+2）2，k（n+2）2，将其转化为g（x）=k（x+2）2在，+）上至少有两个不同的正根，再利用导

36、数求出k的取值范围【解答】解：（）当a0时，函数f（x）=ax2+（1+a）xlnx的导数为f（x）=ax+1+a=，（x0），当a=1时，f（x）0，f（x）递减；当a1时，1，f（x）0，可得x1或0x；当0a1时，1，f（x）0，可得0x1或x综上可得，a=1时，f（x）的减区间为（0，+）；a1时，f（x）的减区间为（1，+），（0，）；0a1时，f（x）的减区间为（，+），（0，1）；（）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）=x2xlnx，令g（x）=2xlnx+1（x0），则g（x）=2=，（x0），当x时，g（x）0，g（x）为增函数；g（x）在区间m，n，+）递增，g（x）在

37、m，n上的值域是k（m+2）2，k（n+2）2，所以g（m）=k（m+2）2，g（n）=k（n+2）2，mn，则g（x）=k（x+2）2在，+）上至少有两个不同的正根，k=，令F（x）=，求导得，F（x）=（x），令G（x）=x2+3x2lnx4（x）则G（x）=2x+3=，所以G（x）在，+）递增，G（）0，G（1）=0，当x，1时，G（x）0，F（x）0，当x1，+时，G（x）0，F（x）0，所以F（x）在，1）上递减，在（1，+）上递增，F（1）kF（），k（1，【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，利用了分类讨论和转化的思想，此题是一道中档题