2022年高中数学经典50题 .pdf

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1、高中数学题库1.求以下函数的值域：解法 2 令tsinx，则f(t) t2t1， |sinx| 1, |t| 1. 问题转化为求关于t的二次函数f(t) 在闭区间 1,1 上的最值本例题 (2) 解法 2 通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题， 从而到达解决问题的目的，这就是转换的思想善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。2.设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m万千米

2、和m34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32和，求该慧星与地球的最近距离。解： 建立如以下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,( cF处， 椭圆的方程为12222byax图见教材P132 页例 1 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 48 页当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/xFAxFA或。作mFAFBOxAB3221B，则于故由椭圆第二定义可知得)32(34)(22mccaacmccaacm两式相减得,23)4(21.2,3231cccmca

3、macm代入第一式得.32.32mccamc答：彗星与地球的最近距离为m32万千米。说明： 1 在天体运行中， 彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点， 另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是ca，另一个是. ca2以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分表达了数形结合的思想。另外， 数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。3.A，B，C 是我方三个炮兵阵地，A 在 B 正东 6Km，C 在 B 正北偏西30，相距 4Km，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发

4、现敌炮阵地的某种信号，由于B，C 两地比 A 距 P地远，因此 4s后， B，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1sKm/，A 假设炮击P地，求炮击的方位角。 图见优化设计教师用书P249 例 2解 ： 如 图 ， 以 直 线BA为x轴 ， 线 段BA的 中 垂 线 为y轴 建 立 坐 标 系 ， 则)32 ,5(),0,3(),0 , 3(CAB，因为PCPB，所以点P在线段 BC 的垂直平分线上。因为3BCk， BC 中点)3,4(D， 所以直线 PD 的方程为)4(313xy 1又,4PAPB故 P 在以A，B 为焦点的双曲线右支上。设),(yxP，则双曲线方程为)0(15422

5、xyx2 。联立 1 2 ，得35,8 yx，所以).35 ,8(P因此33835PAk，故炮击的方位角北偏东30。说明： 此题的关键是确定P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。4.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 米时，水面宽度为8 米，一小船宽4 米，高2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 48 页米，载货后船露出水面的部分高0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为)0(22ppyx。将 B4,-5代入得 P=1.6 yx2 .32船两侧

6、与抛物线接触时不能通过则 A(2,yA)，由 22=-3.2 yA得 yA = - 1.25 因为船露出水面的部分高0.75 米所以 h=yA +0.75=2 米答：水面上涨到与抛物线拱顶距2 米时，小船开始不能通行思维点拔 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。5.如下图，直线1l和2l相交于点M，21ll，点1lN，以 A、B 为端点的曲线段C 上任一点到2l的距离与到点N 的距离相等。假设AMN为锐角三角形，6NB,3,17且ANAM，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程。解：以直线1l为 x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲

7、线段 C 是以点 N 为焦点，以2l为准线的抛物线的一段，其中A、B 分别为曲线段C 的端点。设曲线段 C 的方程为)0,)(0(22yxxxppxyBA，其中BAxx ,为 A、B 的横坐标，MNp，所以)0,2(),0 ,2(pNpM，由3,17 ANAM，得172)2(2AApxpx192)2(2AApxpx 2 ， 1 2联立解得pxA4，代入 1式，并由0p解得2214AAxpxp或，因为AMN为锐角三角形，所以Axp2，故舍去22Axp，所以14Axp由点 B 在曲线段 C 上，得42PBNxB，综上，曲线段C 的方程为)0,41(82yxxy思维点拔 此题表达了坐标法的基本思路，

8、考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 48 页综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。6.设抛物线)0(42aaxy的焦点为A,以 B(a+4,0) 点为圆心， AB为半径，在x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M，N。点 P 是 MN 的中点。1求 AM +AN 的值2是否存在实数a，恰使 AM AP AN成等差数列？假设存在，求出a，不存在，说明理由。解： (1)设 M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为M,N,P. AM + AN = MM + NN =xM+xN+2

9、a 又 圆 方 程16)4(22yax将axy42代入得08)4(222aaxaxaxxNM42得 AM +AN =8 (2)假设存在a 因为 AM + AN=MM +NN =2 PP所以 AP=PP，P 点在抛物线上，这与P点是 MN 的中点矛盾。故a 不存在。7.抛 物 线022ppxy上 有 两 动 点A ， B 及 一 个 定 点M ， F 为 焦 点 ， 假 设BFMFAF,成等差数列（1）求证线段AB 的垂直平分线过定点Q （2）假设6,4 OQMFO 为坐标原点 ，求抛物线的方程。（3）对于 2中的抛物线，求AQB 面积的最大值。解 ： 1 设002211,yxMyxByxA，

10、则21pxAF，22pxBF，20pxMF，由题意得2210 xxx，AB的中点坐标可设为tx ,0，其中0221yyt否则0pBFMFAF ，而222121212121yypyyxxyykABtpyyp212， 故AB的 垂 直 平 分 线 为0 xxptty，即00yppxxt，可知其过定点0,0pxQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 48 页2 由6, 4 OQMF， 得6,4200pxpx， 联立解得2,40 xpxy82。 3 直 线AB ：24xtty， 代 入xy82得0162222ttyy，22122122

11、14644tyyyyyy，221222116yytxx,16422tt221221yyxxAB22161621tt425621t，又点0, 6Q到AB的距离216td，dABSAQB21241625641tt64216256409641ttt令642162564096tttu，则53664512tttu，令0u即066451253ttt， 得0t或162t或3162t，3162t334t时6964AQBS。思维点拔 设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。8、已知直线)22tan(:xyl交椭圆9922yx于 A、B两点，假

12、设为l的倾斜角，且AB的长不小于短轴的长，求的取值范围。解：将l的方程与椭圆方程联立，消去y，得09tan72tan236)tan91(2222xx2222122tan916tan6)tan91(tan1tan1xxAB由33tan33,31tan,22得AB，的取值范围是,656,0思维点拔 对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。此题由于l的方程由tan给出，所以可以认定2，否则涉及弦长计算时，还要讨论2时的情况。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 48 页9、已知抛物线xy2与直线)1(xky相交于 A、B两点（1）

13、求证：OBOA（2）当OAB的面积等于10时，求k的值。（1）证明：图见教材 P127 页， 由方程组) 1(2xkyxy消去x后， 整理得02kyky。设),(),(2211yxByxA，由韦达定理得121yyBA,在抛物线xy2上，212221222121,xxyyxyxyOBOAyyxxyyxyxykkOBOA, 112121212211（2）解：设直线与x轴交于 N，又显然,0k令），（，即则01N1,0 xy2121212121yyONyONyONSSSOBNOANOAB4)1(214)(121221221kyyyySOAB61,412110,102kkSOAB解得思维点拔 此题考查

14、了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。10、在抛物线y2=4x 上恒有两点关于直线y=kx+3 对称，求k 的取值范围。解设B、C关于直线y=kx+3 对称，直线BC方程为 x=-ky+m 代入 y2=4x 得：y2+4ky-4m=0，设 Bx1，y1 、Cx2，y2 ，BC中点 M x0，y0 ，则y0=y1+y2/2=-2k 。x0=2k2+m ，点 M x0，y0在直线上。-2k 2k2+m +3， m=-kkk3223又 BC与抛物线交于不同两点， =16k2+16m0把 m代入化简得0323kkk即0)3)(1(2kkkk，解得 -

15、1k0 即 m2-k2-90，b0的值是最精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 48 页大值为 12，则23ab的最小值为A625B38C311D 4 答案： A 解析： 不等式表示的平面区域如下图阴影部分,当直线ax+by= z a0， b0过直线x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点 4,6时，目标函数z=ax+by a0，b0取得最大12，即 4a+6b=12，即 2a+3b=6, 而23ab=23 23()6abab13()6baab1325266，故选A点评： 此题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函

16、数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求23ab的最小值常用乘积进而用基本不等式解答13、本公司计划2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为03 万元和 02 万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是万元答案： 70解析 ：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟， 总收益为z元，

17、由题意得3005002009000000.xyxyxy， ， 目标函数为30002000zxy二元一次不等式组等价于3005290000.xyxyxy， ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线:300020000lxy，即320 xy0 100 200 300 100 200 300 400 500 y x l M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 48 页平移直线，从图中可知，当直线过M点时，目标函数取得最大值联立30052900.xyxy，解得100200 xy，点M的坐标为(100 200)，

18、max30002000700000zxy元点评 ： 此题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一14、设a为实数，函数2( )2()|f xxxaxa(1)假设(0)1f，求a的取值范围；(2)求( )f x的最小值；(3)设函数( )( ),( ,)h xf x xa，直接写出(不需给出演算步骤)不等式( )1h x的解集解析： 1假设(0)1f，则20| 111aa aaa；2当xa时，22(

19、 )32,fxxaxa22min( ),02,0( )2( ),0,033f a aaaf xaafaa，当xa时，22( )2,f xxaxa2min2(),02,0( )( ),02,0fa aaaf xf a aaa，综上22min2,0( )2,03aaf xaa；3( ,)xa时，( )1h x得223210 xaxa，222412(1)128aaa当6622aa或时，0,( ,)xa；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 48 页当6622a时， 0，得：223232()()033aaaaxxxa；讨论得：当26(

20、,)22a时，解集为( ,)a；当62(,)22a时，解集为223232( ,)33aaaaa；当22,22a时，解集为232,)3aa点评： 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力15、知函数321( )23f xxx 设na是正数组成的数列， 前 n 项和为nS， 其中13a 假设点211(,2)nnna aa(nN*) 在函数( )yfx的图象上，求证：点( ,)nn S也在( )yfx的图象上；求函数( )f x在区间(1, )aa内的极值解析： ( ) 证明：因为321( )2,3f

21、 xxx所以2( )2fxxx，由点211(,2)(N )nnnaaan在函数( )yfx的图象上 ,221122nnnnaaaa111()()2()nnnnnnaaaaaa，又0(N )nan，所以12nnaa，na是13,2ad的等差数列，所以2(1)32=22nn nSnnn, 又因为2( )2fnnn, 所以( )nSfn, 故点( ,)nn S也在函数( )yfx的图象上( ) 解:2( )2(2)fxxxx x, 令( )0,fx得02xx或当x变化时 ,( )fx( )f x的变化情况如下表: x(- ,-2)-2(-2,0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

22、归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 48 页f(x)+0-f(x)极大值注意到(1)12aa, 从而当212,21, ( )( 2)3aaafxf即时的极大值为, 此时( )f x无极小值；当10,01, ( )aaaf x即时的极小值为(0)2f, 此时( )f x无极大值；当2101, ( )aaaf x或或时既无极大值又无极小值点评： 本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力16、设0,0.ab假设3是3a与3b的等比中项，则11ab的最小值为A8 B 4 C1 D14答案 ：B 解析： 因为33

23、3ba，所以1ba，11ab11()()abab2baab224b aa b，当且仅当baab即21ba时“ =”成立，故选择B点评： 本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力17、设数列na满足3*010,1,nnaacac cNc其中为实数证明：0,1na对任意*nN成立的充分必要条件是0,1c；设103c，证明：1*1(3 ),nnacnN；设103c，证明：222*1221,13naaannNc解析：(1) 必要性：120,1aac，又20,1,011ac，即0,1c充分性：设0,1c，对*nN用数学归纳法证明0,1na，精选学习资料 - - - -

24、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 48 页当1n时，100,1a假设0,1(1)kak，则31111kkacaccc，且31110kkacacc，10,1ka，由数学归纳法知0,1na对所有*nN成立(2) 设103c，当1n时，10a，结论成立当2n时，3211111,1(1)(1)nnnnnnacacacaaa，103C,由 1知10,1na，所以21113nnaa且110na，113 (1)nnaca，21112113 (1)(3 ) (1)(3 )(1)(3 )nnnnnacacacac，1*1(3 )()nnacnN(3) 设103c，当1

25、n时，2120213ac，结论成立，当2n时，由 2知11(3 )0nnac，21212(1)1(1(3 )12(3 )(3 )12(3 )nnnnnacccc，2222221122123(3 )(3 )nnnaaaaanccc2(1(3 ) )2111 31 3ncnncc点评： 该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高18、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为解析： 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：1公差为 0 的有 6 个；2公差为 1 或-1 的有 8

26、个；3公差为 2 或-2 的有 4 个，共有 18 个，成等差数列的概率为，选 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 48 页点评 ：此题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复19、 等差数列 an 和bn 的前 n 项和分别用Sn和 Tn表示，假设534nnTSnn，则nnab的值为( ) A 4231nnB 8362nnC 6382nnD 6283nn答案 ：A 解析 ： 12121(21)(21)2nnnaaSnna；21(21)nnTnb2121nnnnaSbT4(

27、21)3(21)5nn84426231nnnn点评：考查等差数列的前n 项和的变形。20、已知 x0，y0，x，a，b，y 成等差数列， x，c，d，y 成等比数列，则(a b)2cd的最小值是 _答案 ：4 解析 ：(a b)2cd(x y)2xy(2xy)2xy4点评：考查等差等比数列的基本知识，均值不等式。21、命题:p实数x满足22430 xaxa，其中0a，命题:q实数x满足260 xx或2280 xx，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围解析 ：设22|430(0)Ax xaxaa|3xaxa，22|60280Bx xxxx或22|60|280 x xxx xx| 23|42x

28、xx xx或=|42x xx或因为p是q的必要不充分条件，所以qp，且p推不出q而| 42RC Bxx，|3 ,RC Ax xaxa或所以| 42|3xxx xaxa或，则320aa或40aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 48 页即203a或4a点评： 考查逻辑用语，一元二次方程及其含参数的解集。22、已知二次函数( )f x的二次项系数为a ，且不等式( )2f xx的解集为 1 , 3 l假设方程( )60f xa有两个相等的根，求( )f x的解析式；2假设( )f x的最大值为正数，求a 的取值范围解析 ：

29、1因为( )20f xx的解集为 1，3 ，所以( )2(1)(3)f xxa xx且0a因而2( )(1)(3)2(24 )3f xa xxxaxa xa 1由方程( )60f xa得：2(24 )90axa xa2因为方程 2有两个相等的根所以2 (24 )490aaa，即25410aa解得：1a舍去或15a，将15a代入 1得( )f x的解析式为：2163( )555f xxx，22( )2(12 )3f xaxa xa221241()aaaa xaa，有 a 0，且 a 0，求证： PAPB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、 直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识

30、，考查运算求解能力和推理论证能力，总分值16 分. 解： 1由题设知，),2,0(),0,2(,2,2NMba故所以线段MN中点的坐标为)22, 1(，由于直线PA平分线段MN ，故直线 PA 过线段 MN 的中点， 又直线 PA过坐标原点，所以.22122k2直线 PA 的方程2221,42xyyx代入椭圆方程得解得).34,32(),34,32(,32APx因此于是),0,32(C直线 AC 的斜率为. 032, 13232340yxAB的方程为故直线.32211|323432|,21d因此3解法一：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

31、第 20 页，共 48 页将直线 PA 的方程kxy代入2222221,421212xyxkk解得记则)0 ,(),(),(CkAkP于是故直线 AB 的斜率为,20kk其方程为, 0)23(2)2(),(222222kxkxkxky代入椭圆方程得解得223222(32)(32)(,)222kkkxxBkkk或因此. 于是直线 PB 的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231kkkkkkkkkkkk因此., 11PBPAkk所以解法二：设)0,(),(,0, 0),(),(11121212211xCyxAxxxxyxByxP则. 设直线 PB， AB 的斜率分别为21,kk因为

32、C 在直线 AB 上， 所以.22)()(0111112kxyxxyk从而1)()(212112121212211xxyyxxyykkkk.044)2(12221222122222221222122xxxxyxxxyy因此., 11PBPAkk所以30、 安徽理21设，点A的坐标为 1,1 ，点B在抛物线yx上运动，点Q满足QABQ，经过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足MPQM,求点P的轨迹方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 48 页此题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念， 性质与运算， 动点的轨迹

33、方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养. 解：由MPQM知 Q，M，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设.)1 (),(),(),(),(2020220yxyxyyxxxMyxQyxP则则再设),1 ,1 ().(,),(010111yxyyxxQABQyxB即由解得.)1(,)1(011yyxx将式代入式，消去0y，得.)1()1(,)1(2211yxyxx又点 B 在抛物线2xy上，所以211xy，再将式代入211xy，得.012),1(,0.0)1()1()1(2,)1 (2)1 ()1()1 (,)1()1()1 (22222222yxy

34、xxxyxxyx得两边同除以因故所求点 P 的轨迹方程为.12xy31、 北京理19已知椭圆22:14xGy.过点 m,0作圆221xy的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点 . I求椭圆G 的焦点坐标和离心率；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 48 页II将AB表示为 m 的函数，并求AB的最大值 . 19 共 14 分解： 由已知得,1,2 ba所以.322bac所以椭圆 G 的焦点坐标为)0 ,3(),0 ,3(离心率为.23ace由题意知，1| m. 当1m时，切线l 的方程1x，点 A、B 的坐标分别为),2

35、3, 1(),23, 1(此时3| AB当 m=1 时，同理可得3| AB当1| m时，设切线l 的方程为),(mxky由0448)41(. 14),(2222222mkmxkxkyxmxky得设 A、B 两点的坐标分别为),)(,(2211yxyx，则2222122214144,418kmkxxkmkxx又由 l 与圆.1, 11|,1222222kkmkkmyx即得相切所以212212)()(|yyxxAB41)44(4)41(64)1(2222242kmkkmkk.3|342mm由于当3m时，,3| AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

36、- -第 23 页，共 48 页所以), 1 1,(,3|34|2mmmAB. 因为,2|3|343|34|2mmmmAB且当3m时， |AB|=2，所以 |AB|的最大值为2. 32、 福建理17已知直线l： y=x+m，mR。I假设以点M2,0为圆心的圆与直线l 相切与点P，且点 P在 y 轴上，求该圆的方程；II 假设直线l 关于 x 轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C：x2=4y 是否相切？说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。总分值13 分。解法一：I依题意，点P 的坐标为 0，m因为

37、MPl，所以01120m，解得 m=2，即点 P 的坐标为 0，2从而圆的半径22|(20)(02)22,rMP故所求圆的方程为22(2)8.xyII 因为直线l的方程为,yxm所以直线 l的方程为.yxm由22,4404yxmxxmxy得244416(1)mm1当1,0m即时，直线 l与抛物线C 相切2当1m，那0时，直线 l与抛物线C 不相切。综上，当m=1 时，直线 l与抛物线C 相切；当1m时，直线 l与抛物线C 不相切。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 48 页解法二：I设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为22

38、(2).xyr依题意，所求圆与直线:0lxym相切于点P0，m ，则224,|20|,2mrmr解得2,2 2.mr所以所求圆的方程为22(2)8.xyII 同解法一。33、 广东理19设圆 C 与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切。1求 C 的圆心轨迹L 的方程 ; 2已知点 M3 54 5(,),( 5,0)55F，且 P 为 L 上动点，求MPFP的最大值及此时点 P 的坐标1解：设C 的圆心的坐标为( , )x y，由题设条件知2222|(5)(5)| 4,xyxy化简得 L 的方程为221.4xy2解：过M，F 的直线l方程为2(5)yx，将其代入L 的方

39、程得215325840.xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 48 页解得12126 514 56 52 514 52 5,(,),(,).515551515xxlLTT故 与 交点为因 T1 在线段 MF 外， T2 在线段 MF 内，故11| 2,MTFTMF22| 2.MTFTMF，假设 P 不在直线MF 上，在MFP中有| 2.MPFPMF故|MPFP只在 T1 点取得最大值2。34、 湖北理20平面内与两定点1(,0)Aa，2( ,0)Aa(0)a连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上1A、2A两点所成的

40、曲线C可以是圆、椭圆成双曲线求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；当1m时，对应的曲线为1C；对给定的( 1,0)(0,)mU，对应的曲线为2C，设1F、2F是2C的两个焦点。试问：在1C撒谎个，是否存在点N，使得1FN2F的面积2|Sm a。假设存在，求tan1FN2F的值；假设不存在，请说明理由。本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。总分值14 分解： I设动点为M，其坐标为( ,)x y，当xa时，由条件可得12222,MAMAyyykkmxa xaxa即222()mxymaxa，又12(,0),( ,0)AaAA的坐

41、标满足222,mxyma故依题意，曲线C 的方程为222.mxyma当1 ,m时曲线 C 的方程为22221,xyCama是焦点在y 轴上的椭圆；当1m时，曲线C 的方程为222xya，C 是圆心在原点的圆；当10m时，曲线C 的方程为22221xyama，C 是焦点在x 轴上的椭圆；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 48 页当0m时，曲线C 的方程为22221,xyamaC 是焦点在x 轴上的双曲线。II 由 I知，当m=-1 时， C1 的方程为222;xya当( 1,0)(0,)m时，C2 的两个焦点分别为12(1

42、,0),(1,0).FamF am对于给定的( 1,0)(0,)m，C1 上存在点000(,)(0)N xyy使得2|Sm a的充要条件是22200020,0,121| |.2xyayam ym a由得00 |,ya由得0|.1m aym当|150,0,21m aamm即或1502m时，存在点 N，使 S=|m|a2；当|15,21m aam即-1m或152m时，不存在满足条件的点N，当1515,00,22m时，由100200(1),(1,)NFamxyNFamxy，可得22221200(1),NF NFxm ayma令112212|,|,NFrNFrF NF，精选学习资料 - - - - -

43、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 48 页则由22121 21 2cos,cosmaNFNFr rmar r可得，从而221 21sin1sintan22cos2maSr rma，于是由2|Sm a，可得2212 |tan|,tan.2mmam am即综上可得：当15,02m时，在C1 上，存在点N，使得212|,tan2;Sm aF NF且当150,2m时，在C1 上，存在点N，使得212|,tan2;Sm aF NF且当1515( 1,)(,)22m时，在 C1 上，不存在满足条件的点N。35、 湖南理21如图7，椭圆22122:1(0)xyCab

44、ab的离心率为32，x 轴被曲线22:Cyxb截得的线段长等于C1 的长半轴长。求 C1，C2 的方程；设C2 与 y 轴的焦点为M，过坐标原点O 的直线l与 C2 相交于点A,B, 直线 MA,MB分别与 C1 相交与 D,Ei证明： MD ME; ii 记 MAB, MDE 的面积分别是12,S S问：是否存在直线l,使得121732SS?请说明理由。解 ： 由题意知.1,2,2,2,23baabbaace解得又从而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 48 页故 C1，C2 的方程分别为.1,14222xyyx i由题

45、意知，直线l 的斜率存在，设为k，则直线l 的方程为kxy. 由12xykxy得012kxx. 设212211,),(),(xxyxByxA则是上述方程的两个实根，于是.1,2121xxkxx又点 M 的坐标为 0，1 ，所以2121212212122111)() 1)(1(11xxxxkxxkxxkxkxxyxykkMBMA.11122kk故 MA MB ，即 MD ME. ii 设直线MA 的斜率为k1，则直线MA 的方程为1, 1, 1211xyxkyxky由解得1,1021kykxyx或则点 A 的坐标为)1,(211kk. 又直线 MB 的斜率为11k，同理可得点B 的坐标为).11

46、,1(211kk于是221111111111111| |1|1|222|kSMAMBkkkkk由044, 1221yxxky得.08)41(1221xkxk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 48 页解得12121218,140,14114kxkxykyk或则点 D 的坐标为2112211841(,).141 4kkkk又直线 ME 的斜率为k1，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211kkkk于是)4)(1 (|)1(32|2121211212kkkkMEMDS. 因此21122114(417).64SkSk

47、由题意知，2221112114171(417),4,.64324kkkk解得或又由点 A、B 的坐标可知，21211111113,.12kkkkkkkk所以故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323xyxy和36、 辽宁理20如图，已知椭圆C1 的中心在原点O，长轴左、右端点M，N 在 x 轴上，椭圆C2 的短轴为MN ，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线 lMN ，l 与 C1 交于两点，与C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A， B，C，DI设12e，求BC与AD的比值；II当 e 变化时，是否存在直线l，使得BO AN ，并说明理由解： I因为 C1，C2 的

48、离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xyb yxCCababaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 48 页设直线:(|)lxtta，分别与C1，C2 的方程联立，求得2222( ,),( ,).abA tatB tatba4分当13,22ABebayy时分别用表示 A，B 的纵坐标，可知222|3|:|.2|4BAybBCADya6 分IIt=0 时的 l 不符合题意 .0t时， BO/AN当且仅当BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率kAN 相等，即2222,baatatabtta解得222

49、221.abetaabe因为2212| |,01,1,1.2etaeee又所以解得所以当202e时，不存在直线l，使得 BO/AN ；当212e时，存在直线l 使得 BO/AN. 12 分37、 全国大纲理21已知 O 为坐标原点， F为椭圆22:12yCx在 y 轴正半轴上的焦点，过 F且斜率为- 2的直线l与 C 交于 A、B 两点，点P 满足0.OAOBOP证明：点P在 C 上；设点P 关于点 O 的对称点为Q，证明： A、 P、B、Q 四点在同一圆上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 48 页解：IF0，1 ，l的

50、方程为21yx，代入2212yx并化简得242 210.xx 2 分设112233(,),(,),(,),A xyB xyP xy则122626,44xx1212122,2()21,2xxyyxx由题意得3123122(),()1.2xxxyyy所以点 P的坐标为2(, 1).2经验证，点P 的坐标为2(,1)2满足方程221,2yx故点 P在椭圆 C 上。 6 分II由2(, 1)2P和题设知，2(,1)2QPQ 的垂直平分线1l的方程为2.2yx设 AB 的中点为 M ，则2 1(,)42M，AB 的垂直平分线为2l的方程为21.24yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名