2022年高中数学基础知识详解 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第一章集合与简易逻辑、推理证明：一、理解集合中的有关概念1、集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性。2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法、描述法）描述不同的具体问题。注意：区分集合中元素的形式。如：32|2xxyxA；32|2xxyyB；32|),(2xxyyxC3、常用数集的符号表示：自然数集N；正整数集N、N；整数集Z；有理数集Q；实数集R；复数集C4、集合与元素的关系用符号，表示。5、空集是指不含任何元素的集合。 (0、和的区别； 0 与三者间的关系 ) 二、集合间的关系及其运算（能利用数轴或韦恩图表表达集合的关系及运算。）1、符号“,”是表示元素与集合之间关系

2、的，在立体几何中的有来描述点与直线（面）的关系；符号“、”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的、体现面与直线 ( 面) 的关系。2、|BxAxxBA且；|BxAxxBA或；|AxUxxACU且3、 交换律：ABBA；ABBA； 结合律：)()(CBACBA；)()(CBACBA 分配律：)()()(CABACBA；)()()(CABACBA)(BAA；ABA)(；)()(BABA；BAABA；ABABA；BAUBACU)(；ABBACU)(；)()()(BACBCACUUU；)()()(BACBCACUUU三、集合中元素的个数的计算：1、若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为

3、n2，所有真子集的个数是12n，所有非空真子集的个数是22n2、BA中元素的个数的计算公式为：)()(BACardCardBCardABACard；例：50 名学生做物理、 化学实验， 已知物理实验做得正确的有40 人，化学实验做得正确的有31 人，两种实验都做得错误的有41 人，问这两种实验都做对的有几人。四、全称量词： “所有的”、 “任意一个”、 “一切”、 “每一个”、 “任给”（含有全称量词的命题叫做全称命题）存在量词： “存在一个”、 “至少一个”、 “有些”、 “有一个”、 “对某些”、 “有的”（含有存在量词的命题叫做特称命题）全称命题的否定p：)(,xPMx的否定p：)(,x

4、PMx特称命题的否定p：)(,xPMx的否定p：)(,xPMx五、原命题、逆否命题、否命题、逆命题的关系如图原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价否命题和命题的否定不是同一概念，如果原命题是“若p则q” ，那么命题的否定是“若p则q表示命题，即只否定结论。六、简单命题和复合命题逻辑连结词“或” 、 “且” 、 “非” （ “或” 、 “且” 、 “非”与集合的“并” 、 、 “交” 、 “补”有联系）对于“qp” 、 “qp” 、 “p”形式的复合命题用口诀： “有真或为真、两真且才真、真非假、假非真”七、充分条件、必要条件、充要条件的概念（判断步骤：“p能否推出q”以及“q能否推出p” 、

5、区分出p和q是条件还是结论）xxA|满足条件p，xxB|满足条件q，若pqqp且，则p是q的充分非必要条件（从集合与集合的关系上看BA） ；若qppq且，则p是q的必要非充分条件（从集合与集合的关系上看BA） ；若qppq且，则p是q的充要条件（从集合与集合的关系上看BA） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 49 页学习必备欢迎下载若qppq且，则p是q的既非充分又非必要条件（从集合与集合的关系上看ABBA且） 。八、合情推理与演绎推理1、归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理2、类比推理是由特殊到特殊的推理3、归纳

6、推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理。4、演绎推是由一般到特殊的推理（其模式是“三段论”）九、直接证明与间接证明1、综合法：执因索果2、分析法：执果索因（在使用分析法时，要注意表达“要证，只须证明”）3、在解决具问题时，分析法与综合法要结合起来使用，也就是说“两头凑”会使问题轻易解决。4、反证法：当证明“若p，则q”感到困难时，改证它的等价命题“若q则p”成立步骤：假设结论反面成立；从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：与原命题的条件矛盾；导出与假设相矛盾的命题；

7、导出一个恒假命题。十、数学归纳法：1、数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种方法，若是起始值0n，则0n是使命题成立的最小正整数。0nn2、用数学归纳法证明题目时，其步骤如下： 归纳奠基：当0nn时，验证命题成立； 归纳递推：假设当kn（0nk*Nk）时，命题成立，推证1kn时，命题也成立，从而推出对于所有0nn的正整数命题均成立。 （在证明过程中，一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法例：数学归纳法证明贝努利不等式：nxxn1)1(（1x、0 x，n为大于 1 的正整数）第二章函数一、映射与函数：1、映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的元素，在集合B中都

8、有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做映射，记作BAf : 映射的三要素：集合A、B，以及从A到的对应法则f，三者缺一不可。 映射是一种特殊的对应，映射中的集合A、B可以是数集也可以是点集或其它集合，这两个集合有先后次序，从A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的。 只有“多对一”或“一对一”的对应，能够成映射，一对多对应不能构成映射。2、函数的概念：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。二、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。1、相同函数的判断方法：相同的定义域；相同的对应法则(两点必须同时具备) 2、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函

9、数通常叫做分段函数。3、函数的表示法：图象法、列表法、解析法4、函数解析式的求法： 定义法（拼凑） ； 换元法；待定系数法；赋值法；消去法；利用函数的性质例（ 1）已知xxxf21，求xf的解析式。（2）如果xf为一次函数且12xxff，求xf的解析式（3）设xf是R上的函数，满足10f，对任意实数x、y，有12yxyxfyxf，求xf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 49 页学习必备欢迎下载（4）设xf是定义在, 1上的一个函数，且有112xxfxf，求xf（5）已知函数xf是以 2 为周期的偶函数，当)1 ,0(x时，

10、1)(xxf，求xf在)2 , 1(的解析式。（6）已知函数xf是奇函数，且当0 x时，xxxf22，求当0 x时，xf的解析式。5、函数定义域的求法： 当函数xfy用解析式给出时， 函数的定义域是使解析式有意义的实数的集合：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零；指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 当函数xfy用图象给出时，函数的定义域是指图象在x轴投影所覆盖的实数的集合 当函数xfy用表格给出时，函数的定义哉是指表格中实数x的集合 对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定； 已知原函数的定义域求复合函数的定义域

11、； 已知复合函数的定义域求原函数的定义域； 已知一复合函数的定义域求另一复合函数的定义域； 已知函数定义域求参数的取值范围；例（ 1）已知函数)(xfy的定义域是4,0，求)1()1()(xfxfx的定义域。（2）已知6lg)3(222xxxf，求)(xf的定义域（3）已知函数)3(xfy的定义域是2, 1，求函数)(log2xfy的定义域（4）已知函数313)(23axaxxxf的定义域是R，求实数a的取值范围。6、函数值域的求法： 观察法：即通过观察函数式直接得出函数的值域，此时经常需要运用如下结论：02x0 x0 x0 xa（0a）aax20 xk(0k) 其本不等式法：转化成型如：)0

12、(kxkxy，利用平均值不等式abba2求值域；例：求函数1122xxxy的值域 利用函数的单调性：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。例：求函数4522xxy的值域例：)(xf是定义R在上的函数，且满足下列两个条件：（）对于任意的x、Ry，有)()()(yfxfyxf（）当0 x时，0)(xf，且2) 1(f，求函数)(xf在 3 ,3上的最大值和最小值。 分离常数法：对于形如baxdcxy的函数，我们常采用将其分离出一个常数，即函数式变形为：baxBAy（A、B为常数），故函数的值域为AyRyy且|例：求函数1212xxy的值域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

13、归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 49 页学习必备欢迎下载 配方法：对于含二次三项式的函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：cbxaxxf2)(),(nmx的形式来求值域。例： （1）求函数642xxy5 , 1x的值域；（2）求函数245xxy的值域 换元法： 对一些无理函数或超越函数，通过代换把它化成有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出。 （实质上是通过变量代换转化为能求值域的函数，采用化归思想）例：42xxy的值域 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；例：求函数1sincos3cos2xxxy的值域

14、 方程法（判别式法） ：利用一元二次方程根的判别式求函数值域的方法。我们知道函数的值域是由函数的定义域与对应法则所确定的，根据这一道理，我们可将函数式看作关于x的方程，再由方程有解的条件求出y的范围；或解出x再由函数的定义对x的限制条件，建立关于y的不等式，从而可求出函数的值域，这种方法称之为方程法。例：求函数5438222xxxxy的值域 数形结合：根据函数的几何图形，利用数形结合的方法来求值域。例（ 1）求函数222222xxxxy的值域。（2）实数x、y满足，014222yxyx，求2xy及xy 导函数法：例：求函数241)1ln()(xxxf（2,0 x）的值域 已知函数值域求参数取值

15、范围例：已知函数322xxy在区间,0m上有最大值3，最小值 2，则m的取值范围例：已知函数 1)1() 1lg(22xaxay，（）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围。（）若函数的值域为R，求实数a的取值范围。三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性1、单调性：（注意定义是相对于某个具体的区间而言。） 定义：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个变量1x、2x，当21xx时，都有21xfxf，则称xf在这个区间上是增函数。如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个变量1x、2x，当21xx时，都有21xfxf，则称xf在这个区间上是减函数。 函数xf在区间,nm上是单调递增函数，且)

16、()(afbf，则nabm函数xf在区间,nm上是单调递减函数，且)()(afbf，则nbam 判定方法有：（）定义法（作差比较和作商比较）步骤：取值作差变形定号判断精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 49 页学习必备欢迎下载例：证明xxxf22在区间), 1(内是增函数（）导数法例：试讨论函数xbaxxf(0a、0b)的单调性（）复合函数法（同增异减）例：求函数)82lg()(2xxxf的单调减区间（）对于函数)()(xgxfxF的单调性：增 +增=增，减 +减=减（）图像法。例：如果奇函数)(xf在区间,ba（0ab）上

17、是增函数，且最小值为m，那么)(xf在区间,ab上是（）A. 增函数且最小值为mB. 增函数且最大值为mC. 减函数且最小值为mD. 减函数且最大值为m2、奇偶性：（注意先判别定义域是否关于原点对称，后再考察xf与)( xf的关系。） 定义：如果对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf，则函数xf就叫偶函数。（图象关于y轴对称）如果对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf，则函数xf就叫奇函数。 （图象关于原点对称）xf为偶函数，则0)( xfxf；函数xf为奇函数，则0)( xfxf 奇函数在关于原点对称的两区间),(ab和),(ba上的单调性相同， （图象关于原点对称）；偶函数

18、在关于原点对称的两区间),(ab和),(ba上的单调性相反（图象关于y轴对称） 如果奇函数在0 x处有定义，则00f 奇函数 +奇函数仍是奇函数，奇函数奇函数是偶函数，偶函数+偶函数是偶函数、偶函数偶函数是偶函数 构造奇（偶）函数的简单方法：设xf是定义域关于原点对称的函数，则)(21)(1xfxfxF是偶函数，而)(21)(2xfxfxF是奇函数。 判别方法：（）定义法：步骤：先考查定义域是否关于原点对称，后判断xfxf或xfxf是否成立。（）图像法（）复合函数法例：判断下列函数的奇偶性：（1）11xxeey（2）11lgxxy（3）)1lg(2xxy（4）2) 1ln(xeyx（5）221

19、1xxxf（6）)2lg()2lg()(xxxf（7）)21131(1)(xxxf（8）2|2|1)(2xxxf（9）)0()0()0(11011)(xxxxxxxxf3、周期性： 定义：若函数xf对定义域内的任意x满足：)()(xfTxf, 则T为函数xf的周期。 若函数xf对定义域内的任意x满足：)()(bxfaxf, 则ba为函数xf的周期。（区分：函数对定义域内的任意x满足)()(xbfaxf，则其图象关于直线2bax对称）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 49 页学习必备欢迎下载 若函数xf在定义域内对任意x满足

20、：)(1)(xfaxf,则xf是周期函数，且a2为函数xf的周期 若函数xf)(Rx满足)()(xfaxf)0(a，则xf是周期函数，且a2是它的一个周期 若函数xf)(Rx的图象关于直线ax、bx都对称，则xf是周期函数，且|2ab是它的一个周期特例：偶函数xf)(Rx的图象关于直线ax对称，则xf是周期函数，且a2是它的一个周期 若函数xf)(Rx的图象既关于ax，又关于点),(cb对称，则xf是周期函数，且|4ba是它的一个周期特例：奇函数xf)(Rx的图象关于直线ax对称，则xf是周期函数，且a4是它的一个周期 若函数xf)(Rx满足)()()(axfaxfxf)0(a，则xf是周期函

21、数，且a6是它的一个周期4、抽象函数的单调性和奇偶性、周期性问题。例：定义在R上的函数xf，对任意的a、Rb，有)()()(bfafbaf，且00f，当0 x时，1)(xf，（）证明：1)0(f（）证明：对任意的Rx，恒有0)(xf（）证明：xfy是R上的增函数（）若1)2()(2xxfxf，求x的取值范围。例：定义在实数集上的函数xf，对任意a、Rb，有)()(2)()(bfafbafbaf，且0)0(f。（1）求证：1)0(f；（2）求证：)(xfy是偶函数例：设xf是定义在R上的偶函数，其图象关于直线1x对称，对任意21,021xx 、都有)()()(2121xfxfxxf，且0)1(a

22、f，（1）求)21(f、)41(f； （2）证明xf是周期函数，并求出它的一个周期。四、图形变换：对函数图像变换要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律；注意平移变化能够用向量的语言解释。1、平移变换： 将)(xfy的图象沿x轴向左平移a个单位（0a）得到函数)(axfy的图象（用ax代替x） 将)(xfy的图象沿x轴向右平移a个单位（0a）得到函数)(axfy的图象（用ax代替x） 将)(xfy的图象沿y轴向上平移b个单位（0b）得到函数bxfy)(的图象（用by代替y） 将)(xfy的图象沿y轴向下平移b个单位（0b）得到函数bxfy)(的图象（用by代替y）注意：（）有系数

23、，要先提取系数。如：把函数)2( xfy经过_得到函数)42( xfy的图象。（）会结合向量的平移，理解按照向量),(kha平移的意义。 udg2、对称变换： 函数)(xfy的图象关于y轴对称的图象是函数)(xfy（用x代替x） 函数)(xfy的图象关于x轴对称的图象是函数)(xfy（用y代替y） 函数)(xfy的图象关于原点轴对称的图象是函数)( xfy（用x代替x、用y代替y） 函数)(xfy的图象关于直线xy对称的图象是函数)(1xfy（交换x、y，反解） 涉及反函数，了解即可 函数)(xfy的图象关于直线mx对称的图象是函数)2(xmfy（用xm2代替x） 函数)(xfy的图象关于点)

24、,(ba对称的图象是函数)2(2xafyb（用xa2代替x、yb2代替y） 若函数)(xfy满足bxafxf)()(，则)(xfy的图象关于点)2,2(ba对称3、翻折变换精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 49 页学习必备欢迎下载 函数|)(|xfy的图象是将函数)(xfy的图象x轴及x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称 函数|)(| xfy的图象是将函数)(xfy的图象y轴及y轴右边的图象保留，并且将y轴右边部分关于y轴对称4、伸缩变换： 将)(xfy的图象上各点的纵坐标变为原来的a（0a）倍，而横坐标不变，

25、得到函数)(xfay的图象 （用ay代替y） 将)(xfy的图象上各点的横坐标变原来的b（0b）倍，而纵坐标不变，得到函数)(bxfy的图象（用bx代替x）)(xfAy的图象可由)(xfy经伸缩及平移得到，具体参照三角函数的图象变换。五、反函数： （了解即可）指数函数xay（0a且1a）与对数函数xyalog（0a且1a）互为反函数；它们的图象关于直线xy对称；具有相同的单调性；指数函数xay的定义域与值域分别是对数函数xyalog的值域与定义域。六、常用的初等函数：1、一元一次函数：baxxf)(0a)，当0a时，是增函数；当0a时，是减函数。为使baxxf)(在区间,nm上的值恒为正，则只

26、要保证0)(mf和0)(nf同时成立即可2、一元二次函数：一般式：cbxaxxf2)(0a)；对称轴方程是abx2、顶点为)44,2(2abacab；顶点式：khxaxf2)()(；对称轴方程是hx、顶点为),(kh；两点式：)()(21xxxxaxf；对称轴方程是221xxx；与x轴的交点为)0,(1x、)0,(2x； 一元二次函数的单调性：cbxaxxf2)(0a) 当0a时，)2,(ab为减区间、),2(ab为增区间；当0a时，)2,(ab为增区间、),2(ab为减区间 求二次函数cbxaxxf2)(在区间,nm的最值问题：先采用配方法，化为abacabxay44)2(22的形式、若顶点

27、的横坐标在给定的区间上，即,2nmab，则当0a时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当0a时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；、若顶点的横坐标不在给定的区间上，即,2nmab，则当0a时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当0a时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；有三个类型题型：(1) 顶点固定，区间也固定。例：求12xxy 1 , 1x的最值(2) 顶点含参数 (即顶点变动 )，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。例：已知函数3)12(2)(

28、2xaxxf在区间2,23上的最大值为1，求实数a的值。(3) 顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数。例：求12xxy 1,aax的最值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 49 页学习必备欢迎下载 对形如：cxbfxfy)()(2，求最值，应想到二次函数给定区间求最值 二次方程实数根的分布问题：设实系数一元二次方程0)(2cbxaxxf（0a）的两根为1x、2x；则：根的情况1x、),(2mnx1x、),(2mx1x、),(2mx图象x2x1yxmnx2x1yxmx2x1yxm充要条件0(0)(0422nfmfacbm

29、abn0)(0422mfacbmab0)(0422mfacbmab根的情况),(1nx、),(2mx),(1pnx、),(2mpx),(1mx、),(2mx图象x2x1yxmnx2x1yxmnpx2x1yxm充要条件0)(0)(mfnf0)(0)(0)(mfpfnf0)(mf根的情况),(1mnx或),(2mnx图象x2x1yxmnx2x1yxmn充要条件0)()(mfnf从三个方面考虑： （1）判别式的正负； （2）区间端点函数值的正负；（3）对称轴abx2与区间端点的位置关系。若在闭区间,nm讨论方程0)(xf有实数解的情况， 可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况，得出结果， 再令n

30、x和mx检查端点的情况。3、反比例函数：)0()(xxaxf，当0a时，在区间)0,(和),0(上是减函数；当0a时，区间)0,(和),0(是增函数。（注意：切不能说在区间),0()0,(上是增 (减)函数） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 49 页学习必备欢迎下载对于函数dcxbaxy可能通过分离常数，结合平移知识得到其图象4、 指数函数：xay（0a且1a）指数运算法则及根式与指数式的互化：nmnmaaanmnmaaa（nma,0）mnnmaannnbaabnnnbaba（0b）) 1*,0(nNnmaaanmnm

31、且)1*, 0(1nNnmaaanmnm且aann 当n为偶数时：aaaann00aa；当n为奇数时：aann指数函数：xay（0a且1a）1a10a图像性质1、定义域是R2、值域,03、过点），（ 10，即0 x时，1y4、在R上是增函数当0 x时，1y；当0 x时，10y4、在R上是减函数当0 x时，10y；当0 x时，1y5、对数函数：)1,0(logaaxya对数运算法则及换底公式：NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglogMnManaloglog（Rn）NaNalog（0a且1a）01loga1logaa 换底公式：aNNmmalogloglog以71828.2

32、e为底的对数记为：xln，称为自然对数；以10 为底的对数记为：xlg，称为常用对数对数函数：xyalog（0a且1a）1a10a132-14321-3-2-1yx132-14321-3-2-1yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 49 页学习必备欢迎下载图像性质1、定义域：, 02、值域：R3、当1x时，0y，即过定点），（ 014、当1x时，0y；当10 x时，0y5、在, 0上是增函数4、当1x时，0y；当10 x时，0y5、在,0上是减函数比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时

33、转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与 0 比较。6、幂函数：xy（R）性质：所有的幂函在)0(都有意义，并且图象都通过点（1，1） 幂函数的图象： “正抛负双、大坚小横” 若0，则幂函数的图象过点（0，0） ，并且在区间), 0上为增函数， 若0，幂函数在区间),0上为减函数，并且其图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交。练习： （1） 求函数xxy22)21(的递增区间。（2） 求函数)2)(1(log)(2 .0 xxxf的递增区间。（3） 求函数176log)(221xxxf的值域。（4） 求函数232xxaaxf（0a且1a）的最小值。（5） 若20 x，求函数523421xx

34、y的最大值和最小值。（6） 已知关于x的方程aax53231有实根，求的a的取值范围。（7） 判断函数xxy11lg的奇偶性和单调性。7、函数xbaxxf(0a、0b) 定义域：),0()0,(； 值域：),22,(abab；奇偶性：奇函数；单调性：增区间为),(ab、),(ab；减区间为：)0 ,(ab、),0(ab；渐近线：axy、0 x8、三次函数：dcxbxaxxf23（0a）求导得：cbxaxxf232；计算)3(412422acbacb0a0a0)3(42acb0)3(42acb0)3(42acb0)3(42acb-34-2O1xy-1123-123-34-2O1xy-1123-1

35、23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 49 页学习必备欢迎下载xf)(xf9、三角函数参见第五章三角函数七、函数与方程的关系1、结合二次函数的图象，知道函数的零点和方程根的联系。2、根的存在性定理：如果函数)(xfy在区间,ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么函数)(xfy在区间),(ba内有零点，即存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程0)(xf的根。3、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解八、函数模型及其应用1、要知道指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直

36、线上升，指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2、了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。九、凹凸函数：通常我们把图向下凸的函数称为凸函数，把图形向上凸的函数称为凹函数。1、设线段21MM所对应的函数为)(xgy（,21xxx） ，若当,210 xxx时，总有)()(00 xgxf，则称函数)(xf为凸函数；若当,210 xxx时，总有)()(00 xgxf，则称函数)(xf为凸函数。2、凹凸是与函数定义域密切相关的，例如3xy在0,(上为凹函数，在),0上为凸函数。3、定义在集合A上的函数)(xf满足：对任意的1x、Ax2，都有)

37、(21)(21)2(2121xfxfxxf，则我们称)(xf是A上的凸函数；对任意的1x、Ax2，都有)(21)(21)2(2121xfxfxxf，则我们称)(xf是A上的凹函数。十、其它补充内容：抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：)()()(2121xfxfxxf正比例函数：)0()(kkxxf)()()(2121xfxfxxf；)()()(2121xfxfxxf指数函数：xay（0a且1a）)()()(2121xfxfxxf；)()()(2121xfxfxxf对数函数：)1,0(logaaxya)2()2(2)()(212121xxfxxfxfxf余弦函数：xycos第三章导数及

38、其应用一、导数定义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 49 页学习必备欢迎下载二、常用函数的导数公式：0C这里C是常数。即常数的导数值为0。1)(nnnxx特别地：2211)()1(xxxxxxxx2121)()(2121xxcos)(sinxsin)(cosxx1)(lnaxexxaaln11log1)(logxxee )(aaaxxln)(三、求导数的四则运算法则及复合函数的求导法则vuvu)(vuvuu v )(uCCu)(vvuvuvu)(xuxuyy四、导数的意义：几何意义：)(0 xfk表示经过曲线)(xfy上

39、的切点)(,00 xfx的切线的斜率。物理意义：)(tsv表示即时速度。)(tva表示加速度。五、导数的应用：1、求切线的方程。已知切点时求切线的步骤：求出函数)(xfy在点0 xx的导数， 即曲线)(xfy在切点)(,00 xfx的切线的斜率； 再利用点斜式方程为：)(000 xxxfyy的可得切线的方程。若未知切点，根据需要，可先设切点坐标为00,yx，再根据具体问题用待定系数法求解例：求过点)2 ,1(P且与曲线2432xxy在点) 1 , 1(M处的切线平行的直线方程2、导数与函数的单调性的关系0)(xf在区间D上恒成立)(xf区间D上为增函数)(xf区间D上为增函数0)(xf区间D上

40、恒在成立单调区间的求解过程：已知)(xfy，先分析)(xfy的定义域；再求导数)(xfy；最后解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间（解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间）。例：设0t，点)0,(tP是函数axxxf3)(与cbxxg2)(的图象的一个公共点，两函数的图象在P处有相同的切线，（1）用t表示a、b、c； （2）若函数)()(xgxfy在)3 , 1(上单调递减，求t的取值范围。3、求极值、求最值。 注意：极值最值。 函数)(xf在区间,ba上的最大值是)(af、)(bf和极大值中最大的一个。最小值是)(af、)(bf和极小值中最小的一个。 由0)(0 xf还

41、不能得到确定当0 x为)(xf极值点，还需结合函数的单调性才能作出判断。如0不是3)(xxf的极值点； 极值点的可能除了使0)(0 xf外，还有可能在不可导点处，如322)4()(xxf 若0 x为)(xf极值点则可到0)(0 xf 已知)(xfy，求函数)(xf极值的步骤： 先求导数)(xfy；再由方程0)(xf求出得可疑点 （还应包括不可导点） ；最后检查)(xf在可疑点处左右的值的符号，从而确函数)(xf的在方程根左右的区间的单调性，如果左增右减，那么)(xf在这个可疑点处取得极大值，如果左减右增，那么)(xf在这个可疑点处取得极小值。例：已知函数dcxaxx3)(（0a）是R上的奇函数

42、，当1x时，)(xf取得极值 2，（1）求)(xf的单调区间和极大值；（2）证明：对任意)1 , 1(21xx 、，不等式4| )()(|21xfxf恒成立。4、利用导数证明不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 49 页学习必备欢迎下载例：已知1x，求证：)1ln( xx5、刻画函数（比初等方法精确细微）可与方程结合起来例：已知函数16126)(23xxxxf，试证明方程3166)(xxf在区间)34, 1 (内有且仅有一根例：已知函数22)1ln()1 ()(xaxxf在区间)1,2(上是增函数，在区间)2,(上为减

43、函数（1） 求)(xf的表达式；（2）若当 1, 11eex时，求使不等式mxf)(恒成立的最小自然数（3）是否存在实数b使得关于x的方程bxxxf2)(在区间2, 0上恰好有两个相异的实根，求实数b的取值范围6、导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向。第四章定积分一、曲边梯形的面积1、设曲边梯形是由连续曲线)(xfy、x轴，与直线ax、bx所围成，如图，计算时可分为四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限。二、定积分1、如果函数)(xfy在区间,ba上连续， 用分点bxxxxan210将区间等 分 为 个n小 区 间 ， 在 每 个 小 区 间,1i

44、ixx上 任 取 一 点i（ni3 ,2, 1）， 作 和 式niiniifnabfx11)()(，当n时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数)(xf在区间上的,ba定积分，记作badxxf)(，即niibafnabdxxf1)()( 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关。即bababadfdttfdxxf)()()( 定义中区间的分法和的取法都是任意的。 在定积分的定义badxxf)(中，限定下限小于限，即ba，为了方便计算，可以把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：abbadxxfdxxf)()(、aadxxf0)(2、定积分的性质：babadxx

45、fkdxxfk)()(bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(bccabadxxfdxxfdxxf)()()(（bca）3、定积分的几何意义：在区间,ba上，若)(xf既可取正值又可取负值时，曲线)(xfy的某些部分在x轴上方，而其他部分在x轴下方，如果我们将在x轴上方的面积赋予正值，在x轴上方的面积赋予负值，那么在一般情形下，定积分badxxf)(的几何意义是曲线)(xfy以及直线ax、bx与x轴所围成的曲边梯形的面积的代数和；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 49 页学习必备欢迎下载例：计算下列定积分

46、： （1）2224dxx（2）322616dxxx4、微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）：一般地，如果)(xf是区间上的,ba的连续函数并且函数)()(xfxF，那么：)()()()(aFbFxFdxxfbaba。5、基本积分公式：00babaCdxabxdxbaba1111111111nnbabannanbnxndxxabxdxxbabalnlnln1abbabaxxeeedxeabxxdxbabacoscoscossinabxxdxbabasinsinsincos6、定积的应用： 平面图形的面积：如果平面图形由连续曲线)(xfy、)(xgy，与直线ax、bx所围成，那么这块图形的面积为：b

47、adxxgxfS|)()(| 由曲线)(xfy以及两条直线ax、bx和x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周面成的旋转体的体积分式为：dxxfVba2)( 变速直线运动的路程：作变速直线运动物体所经过的路程S等于其速度函数)(tv（0)(tv）在时间区间,ba上的定积分，即：dxtvSba)( 变力作功：一物体沿变力)(xF相同方向从ax移动到bx时，变力所作的功为：dxxFWba)(第四章数列一、基本概念：数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；常数列、递增（减）数列、摆动数列、循环数列；通项公式na；前n项和公式nS；等差数列；等差中项；等比数列；等比中项二、基本公式：1、一

48、般数列的通项na与前n项和nS的关系：)2() 1(11nSSnSannn，若1a满足由1nnnSSa推出的na，则需要统一 “合写” ；若不满足，则数列的通项应分段表示。2、等差数列的通项公式：dnaan)1(1、dknaakn)(其中1a为首项、ka为已知的第k项) 当0d时，na是关于n的一次式；当0d时，na是一个常数。3、等差数列的前n项和公式：2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1dnnnaSnn2)1(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 49 页学习必备欢迎下载当0d时，nS是关于n的二次式且常数项为0

49、；当0d时（01a） ，1naSn是关于n的正比例式。4、等比数列的通项公式：11nnqaaknknqaa(其中1a为首项、ka为已知的第k项，0na) 5、等比数列的前n项和公式：当1q时，1naSn(是关于n的正比例式 )；当1q时，qqaSnn1)1(1qqaaSnn11三、有关等差数列的结论1、等差数列na中，若qpnm，则qpnmaaaa2、等差数列na的任意连续m项的和构成的数列mS、mmSS2、mmSS23、mmSS34、仍为等差数列。3、mS、mS2、mS3分别是等差数列na的前m项和、前m2项和、前m3项和，则mSm、mSm22、mSm33也成等差数列。4、两个等差数列na与

50、nb的和差的数列nnba、nnba仍为等差数列。5、等差数列na的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。6、na为等差数列，则nac(0c)是等比数列。7. 在等差数列na中： 若项数为n2，则ndSS奇偶nnaaSS1奇偶 若项数为12n则，1naSS偶奇nnSS1偶奇，) 12(112naSnn8、两个等差数列na与nb的前n项和分别为nS、nT，则1212nnnnTSba9 、 看 到 形 如 ：daann1、daann212、daann1、dSSnn1、dSSnn1、dSSnn212、daann111、dSSnn111、211nnnaaa、211nnnSSS应能从中找出相应的等差数列。