2016-2017年度学年浙江地区杭州市拱墅区八年级(上)期末数学试卷.doc

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1、2016-2017学年浙江省杭州市拱墅区八年级（上）期末数学试卷一、仔细选一选1在平面直角坐标系中，已知点P（2，3），则点P在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2不等式2x13的解集在数轴上表示为（）ABCD3在 RtABC中，C=90，AB=70，则A的度数为（）A80B70C60D504下列各点中，在直线y=2x3上的是（）A（0，3）B（1，1）C（2，1）D（1，5）5如图，在ABM和CDN中，A，C，B，D在同一条直线上，MB=ND，MA=NC，则下列条件中能判定ABMCDN的是（）AMAB=NCDBMBA=NDCCAC=BDDAMCN6如图，O为数轴原点，A，B两点分别

2、对应3，3，作腰长为4的等腰ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为（）A7B4C5D2.57关于x的不等式组&3x-14(x-1)&xa的解集为x3，那么a的取值范围为（）Aa3Ba3Ca3Da38如图，在ABC中，AB=AC，AD平分BAC，交BC于点D，DEAB于点E，DFAC于点F，对于下列结论：ADBC；AE=AF；AD上任意一点到AB，AC的距离相等；AD上任意一点到点B，点C的距离相等其中正确结论的个数是（）A1B2C3D49如图，直线y=23x+4与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，则PC

3、+PD的最小值为（）A2+13B5C213D610如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A95B125C165D185二、认真填一填11命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 ，该逆命题是一个 命题（填“真”或假”）12“5与m的2倍的和是正数”可以用不等式表示为 13若xy，且（a3）x（a3）y，则a的取值范围是 14若点M（k1，k+1）在第三象限内，则一次函数y=（k1）x+k的图象不经过第 象限15如图，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=

4、AK，若MKN=43，则P的度数为 度16如图放置的OAB1，B1A1B2，B2A2B3，都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，都在直线l上，则点A2的坐标是 ，点A2017的坐标是 三、全面答一答17如图，在AFD和CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下列四个判断：AD=CB；AE=CF；B=D；A=C请以其中三个为已知条件，剩下一个作为结论，编一道数学题（用序号的形式写出），并写出证明过程18已知长度分别为2，4，x的三条线段可以组成一个三角形，且x为正整数（1）用记号（2，4，x）表示一个符合条件的三角形，试求出所有符合条件的三角形；（2）用直尺和圆规作

5、出符合上述条件的等腰三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）19解下列一元一次不等式（组）：（1）4x+183x，并把解在数轴上表示出来（2）&3-5xx-2(2x-1)&3x-242.5-x220如图，ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）作出将ABC先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后的图形A1B1C1，并写出A1B1C1三个顶点的坐标；（2）作出ABC关于x轴对称的图形A2B2C2；（3）求ABC的面积，并求出AC边上高的长21甲仓库有水泥110吨，乙仓库有水泥70吨，现要将这些水泥全部运往A，B两工地，调运任务承包给某运输公司已知A工地需

6、水泥100吨，B工地需水泥80吨，从甲仓库运往A，B两工地的路程和每吨每千米的运费如表：路程（千米）运费（元/吨千米）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A地252010.8B地20151.21.2（1）设甲仓库运往A地水泥x吨，则甲仓库运往B地水泥 吨，乙仓库运往A地水泥 吨，乙仓库运往B地水泥 吨（用含x的代数式表示）；（2）求总运费W关于x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（3）当甲、乙两仓库各运往A，B两工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？22如图，在ABC中，BAC=90，AB=3 cm，BC=5 cm，点D在线段AC上，且CD=1 cm，动点P从BA的延长线上距A点5 cm的

7、E点出发，以每秒2 cm的速度沿射线EA的方向运动了t秒（1）直接用含有t的代数式表示PE= ；（2）在运动过程中，是否存在某个时刻，使ABC与以A、D、P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由（3）求CPB的面积S关于t的函数表达式，并画出图象23如图，在平面直角坐标系中，过点A的两条直线分别交y轴于B（0，3）、C（0，1）两点，且ABC=30，ACAB于A（1）求线段AO的长，及直线AC的解析式；（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点

8、的坐标；若不存在，请说明理由2016-2017学年浙江省杭州市拱墅区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选1在平面直角坐标系中，已知点P（2，3），则点P在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据各象限内点的坐标特征解答【解答】解：点P（2，3）位于第二象限故选B【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（，+）；第三象限（，）；第四象限（+，）2不等式2x13的解集在数轴上表示为（）ABCD【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案【解答】解：由题意，得x2，故

9、选：D【点评】本条查了不等式的解集，每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示3在 RtABC中，C=90，AB=70，则A的度数为（）A80B70C60D50【分析】根据直角三角形两锐角互余可得A+B=90，然后与AB=70联合求解即可【解答】解：C=90，A+B=90，又AB=70，A=12（90+70）=80故选A【点评】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余4下列各点中，在直线y=2x3上的是（）A（0，3）B（1，1）C（2，1）D（1，5）【分析】分别把各点代入一次函数的解析式进行检

10、验即可【解答】解：A、当x=0时，y=33，故不合题意；B、当x=1时，y=23=11，故不合题意；C、当x=2时，y=43=1，故符合题意；D、当x=1时，y=23=53，故不合题意故选C【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键5如图，在ABM和CDN中，A，C，B，D在同一条直线上，MB=ND，MA=NC，则下列条件中能判定ABMCDN的是（）AMAB=NCDBMBA=NDCCAC=BDDAMCN【分析】根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种逐条验证【解答】解：A、MB=ND，MA=NC和

11、MAB=NCD，不能判定ABMCDN，故A选项不符合题意；B、MB=ND，MA=NC和MBA=NDC，不能判定ABMCDN，故B选项不符合题意；C、由AC=BD可得AB=CD，利用SSS能判定ABMCDN，故C选项符合题意；D、AMCN，得出MAB=NCD，结合MB=ND，MA=NC不能判定ABMCDN，故D选项不符合题意故选：C【点评】本题考查了全等三角形的判定；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件6如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应3，3，作腰

12、长为4的等腰ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为（）A7B4C5D2.5【分析】先利用等腰三角形的性质得到OCAB，则利用勾股定理可计算出OC=7，然后利用画法可得到OM=OC=7，于是可确定点M对应的数【解答】解：ABC为等腰三角形，OA=OB=3，OCAB，在RtOBC中，OC=BC2-OB2=42-32=7，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，OM=OC=7，点M对应的数为7故选：A【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b

13、2=c2也考查了等腰三角形的性质7关于x的不等式组&3x-14(x-1)&xa的解集为x3，那么a的取值范围为（）Aa3Ba3Ca3Da3【分析】先解第一个不等式得到x3，由于不等式组的解集为x3，则利用同大取大可得到a的范围【解答】解：&3x-14(x-1)&xa解得x3，而不等式组的解集为x3，所以a3故选B【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到8如图，在ABC中，AB=AC，AD平分BAC，交BC于点D，DEAB于

14、点E，DFAC于点F，对于下列结论：ADBC；AE=AF；AD上任意一点到AB，AC的距离相等；AD上任意一点到点B，点C的距离相等其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【分析】首先根据角平分线的性质可得AD上任意一点到AB，AC的距离相等，根据等腰三角形的性质得到ADBC，根据全等三角形的性质得到AE=AF，根据线段垂直平分线的性质得到AD上任意一点到点B，点C的距离相等【解答】解：AB=AC，AD平分BAC，ADBC，AD上任意一点到AB，AC的距离相等，故正确；DEAB于点E，DFAC于点F，DE=DF，在RtADE与RtAFD中&DE=DF&AD=AD，RtADERtAFD，AE=A

15、F；故正确；AB=AC，AD平分BAC，AD垂直平分BD，AD上任意一点到点B，点C的距离相等，故正确；故选D【点评】此题主要考查角平分线的性质和直角三角形全等的判定，根据角平分线的性质求得DE=DF，是关键的一步9如图，直线y=23x+4与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，则PC+PD的最小值为（）A2+13B5C213D6【分析】作点D关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点P，此时PC+PD值最小，根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D的坐标，利用勾股定理即可求出PC+PD的最小值

16、【解答】解：作点D关于x轴的对称点D，连接CD交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图令y=23x+4中x=0，则y=4，点B的坐标为（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，解得：x=6，点A的坐标为（6，0）点C、D分别为线段AB、OB的中点，点C（3，2），点D（0，2）点D和点D关于x轴对称，点D的坐标为（0，2），PC+PD的最小值=32+42=5，故选B【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出D点的坐标是关键10如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC

17、的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A95B125C165D185【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到BFC=90，根据勾股定理求出答案【解答】解：连接BF，BC=6，点E为BC的中点，BE=3，又AB=4，AE=AB2+BE2=5，由折叠知，BFAE（对应点的连线必垂直于对称轴）BH=ABBEAE=125，则BF=245，FE=BE=EC，BFC=90，CF=62-(245)2=185故选：D【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变

18、，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键二、认真填一填11命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，该逆命题是一个真命题（填“真”或假”）【分析】交换原命题的题设与结论可得到原命题的逆命题，然后根据平行线的性质判定逆命题的真假【解答】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角互补；该逆命题是一个真命题故答案为两直线平行，同旁内角互补；真【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题命题的“真”“假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可12“5

19、与m的2倍的和是正数”可以用不等式表示为5+2m0【分析】5与m的2倍的和为5+2m；和是正数，那么前面所得的结果大于0【解答】解：m的2倍为2m，5与m的2倍的和写为5+2m，和是正数，则5+2m0，故答案为5+2m0【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式的知识点，解决本题的关键是理解正数用数学符号表示是“0”13若xy，且（a3）x（a3）y，则a的取值范围是a3【分析】根据题意，知在不等式xy的两边同时乘以（a3）后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出a30，解此不等式即可求解【解答】解：若xy，且（a3）x（a3）y，a30，解得a3故答案为a3【点评】本题考查了不等式

20、的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变14若点M（k1，k+1）在第三象限内，则一次函数y=（k1）x+k的图象不经过第一象限【分析】由点M在第三象限可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，再根据k10、k0结合一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y=（k1）x+k经过第二、三、四象限，此题得解【解答】解：点M（k1，k+1）在第三象限内，&k-10&k+10，解得：k1在一次函数y=（k1）x+k中，k10，k0，一次函数y=（

21、k1）x+k经过第二、三、四象限故答案为：一【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及解一元一次不等式组，熟练掌握“k0，b0y=kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键15如图，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若MKN=43，则P的度数为94度【分析】由MAKKBN，推出AMK=BKN，由BKM=A+AMK=MKN+BKN，推出A=MKN=43，推出A=B=43，由此即可解决问题【解答】解：PA=PB，A=B，在MAK和KBN中，&AM=BK&A=B&AK=BN，MAKKBN，AMK=BKN，BKM=A+AMK=MKN+BKN

22、，A=MKN=43，A=B=43，P=180243=94故答案为94【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型16如图放置的OAB1，B1A1B2，B2A2B3，都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，都在直线l上，则点A2的坐标是（2，3），点A2017的坐标是（20192，201732）【分析】由等边三角形的性质即可得出点B1、B2、B3、，的坐标，根据坐标的变化即可得出变化规律“点Bn的坐标为（n2，n32）（n为自然数）”，进而即可得出“点An的坐标为（n2+1，n

23、32）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论【解答】解：OAB1，B1A1B2，B2A2B3，都是边长为1的等边三角形，B1A1x轴，B2A2x轴，BnAnx轴，点B1的坐标为（12，32），点B2的坐标为（1，3），点B3的坐标为（32，332），点B4的坐标为（2，23），点Bn的坐标为（n2，n32）（n为自然数），点An的坐标为（n2+1，n32）（n为自然数）当n=2时，点A2的坐标为（2，3）；当n=2017时，点A2017的坐标为（20192，201732）【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据等边三角形的性质结合点的变化找出变化规律“点An的坐标为（n2+1，n32）（n为自

24、然数）”是解题的关键三、全面答一答17如图，在AFD和CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下列四个判断：AD=CB；AE=CF；B=D；A=C请以其中三个为已知条件，剩下一个作为结论，编一道数学题（用序号的形式写出），并写出证明过程【分析】利用“SAS”可由AD=CB，AE=CF，A=C得到ADFCBE，从而得到B=D【解答】解：证明：AE=CF，AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在ADF和CBE中&AD=CB&A=C&AF=CE，ADFCBE，B=D【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是

25、选择恰当的判定条件在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形18已知长度分别为2，4，x的三条线段可以组成一个三角形，且x为正整数（1）用记号（2，4，x）表示一个符合条件的三角形，试求出所有符合条件的三角形；（2）用直尺和圆规作出符合上述条件的等腰三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）【分析】（1）利用三角形三边的关系得到42x4+2，再确定不等式的整数解即可；（2）先作线段AB=2，再以A、B为圆心，4为半径画弧交于点C，则ABC满足条件【解答】解：（1）由题得：42x4+2，2x6，x为整数，x的值为3和4、5，符合条件的三角形为

26、（2，3，4）、（2，4，4）、（2，4，5）；（2）如图，AB=2，AC=BC=4，ABC即为所求三角形【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作19解下列一元一次不等式（组）：（1）4x+183x，并把解在数轴上表示出来（2）&3-5xx-2(2x-1)&3x-242.5-x2【分析】（1）利用移项、合并解一元一次不等式，然后用数轴表示解集；（2）分别解两个不等式得到x12和x125，然后根据大小小大中间找确定不等式组的

27、解集【解答】解：（1）7x8，x1，用数轴表示为：；（2）&3-5xx-2(2x-1)&3x-242.5-x2，解得x12，解得x125，所以不等式组的解集为12x125【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到20如图，ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）作出将ABC先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后的图形A1B1C1，并写出A1B1C1三个顶点的坐标；（2）作出ABC关于x轴对称

28、的图形A2B2C2；（3）求ABC的面积，并求出AC边上高的长【分析】（1）根据图形平移的性质画出A1B1C1即可；（2）作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；（3）先求出ACB的面积，再根据勾股定理求出AC的长，据此可得出结论【解答】解：（1）如图，A1B1C1即为所求；（2）如图，A2B2C2即为所求；（3）SABC=33122312131221=93321=72，AC=22+32=13，AC边上的高=72213=71313【点评】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键21甲仓库有水泥110吨，乙仓库有水泥70吨，现要将这些水泥全部运往A，B两工地，调运任务承包给

29、某运输公司已知A工地需水泥100吨，B工地需水泥80吨，从甲仓库运往A，B两工地的路程和每吨每千米的运费如表：路程（千米）运费（元/吨千米）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A地252010.8B地20151.21.2（1）设甲仓库运往A地水泥x吨，则甲仓库运往B地水泥110x吨，乙仓库运往A地水泥100x吨，乙仓库运往B地水泥x30吨（用含x的代数式表示）；（2）求总运费W关于x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（3）当甲、乙两仓库各运往A，B两工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？【分析】（1）根据甲仓库运往A地水泥吨数结合甲仓水泥的总吨数即可得出甲仓库运往B地水泥吨数，由A地需要水

30、泥的吨数减去甲仓库运往A地水泥吨数即可得出乙仓库运往A地水泥吨数，再根据B地水泥需要的吨数减去甲仓库运往B地水泥吨数即可得出乙仓库运往B地水泥吨数；（2）根据总运费=甲仓运往A地水泥的运费+甲仓运往B地水泥的运费+乙仓运往A地水泥的运费+乙仓运往B地水泥的运费即可得出W关于x的函数关系式，再由A、B两地需要的水泥吨数即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出自变量x的取值范围；（3）根据（2）的函数关系式利用一次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）设甲仓库运往A地水泥x吨，则甲仓库运往B地水泥（110x）吨，乙仓库运往A地水泥（100x）吨，乙仓库运往B地水泥80（110x）=x3

31、0吨故答案为：110x；100x；x30（2）根据题意得：W=125x+1.220（110x）+0.820（100x）+1.215（x30）=3x+3700&x100&110-x80，30x100总运费W关于x的函数关系式为W=3x+3700（30x100）（3）在W=3x+3700中k=30，W随着x的增加而增加，当x=30时，W取最小值，最小值为3790，110x=80，100x=70；x30=0答：当甲仓库运往A地水泥30吨、运往B地水泥80吨、乙仓库运往A地水泥70吨、运往B地水泥0吨时，总运费最省，最省的总运费是3790元【点评】本题考查了一次函数的应用、一次函数的性质、列代数式以及

32、解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据数量关系列出代数式；（2）根据总运费=甲仓运往A地水泥的运费+甲仓运往B地水泥的运费+乙仓运往A地水泥的运费+乙仓运往B地水泥的运费找出W关于x的函数关系式；（3）根据一次函数的单调性解决最值问题22如图，在ABC中，BAC=90，AB=3 cm，BC=5 cm，点D在线段AC上，且CD=1 cm，动点P从BA的延长线上距A点5 cm的E点出发，以每秒2 cm的速度沿射线EA的方向运动了t秒（1）直接用含有t的代数式表示PE=2t；（2）在运动过程中，是否存在某个时刻，使ABC与以A、D、P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理

33、由（3）求CPB的面积S关于t的函数表达式，并画出图象【分析】（1）根据题意可得PE=2t（2）当PA=AC=4时，ABCADP，可得方程52t=4或2t5=4，解方程即可（3）分两种情形讨论即可当0t4时当t4时，分别求解即可【解答】解：（1）由题意PE=2t故答案为2t（2）存在理由：在RtABC中，AB=3，BC=5，AC=BC2-AB2=52-32=4，CD=1，AD=AB=3，在ABC和PAD中，BAC=DAP=90，AD=BC，当PA=AC=4时，ABCADP，52t=4或2t5=4，t=12s或92st=12s或92s时，使ABC与以A、D、P为顶点的三角形全等（3）当0t4时，

34、S=12PBAC=12（82t）4=164t当t4时，S=S=12PBAC=12（2t8）4=4t16综上所述，S=16-4t(0t4)4t-16(t4)【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型23如图，在平面直角坐标系中，过点A的两条直线分别交y轴于B（0，3）、C（0，1）两点，且ABC=30，ACAB于A（1）求线段AO的长，及直线AC的解析式；（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰

35、三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）在RtAOB中，利用三角函数的定义可求得AO的长，则可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得直线AC的解析式；（2）由DB=D可知点D的在线段BC的垂直平分线上，可求得D点的纵坐标，再由直线AC的解析式可求得D点坐标；（3）由B、D的坐标可求得直线BD的解析式，则可设出P点坐标，从而可表示出BP、AP和AB的长，分BP=AP、BP=AB和AP=AB三种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标【解答】解：（1）B（0，3），OB=3，ABC=30，AOBO=tan30，即AO3=33，AO=3，A（3，0），且C（0，1

36、），可设直线AC解析式为y=kx1，把A点坐标代入可得0=3k1，解得k=33，直线AC解析式为y=33x1；（2）DB=DC，点D在线段BC的垂直平分线上，B（0，3），C（0，1），线段BC的中点为（0，1），D点纵坐标为1，点D在直线AC上，1=33x1，解得x=23，D点坐标为（23，1）；（3）B（0，3），D（23，1），可设直线BD解析式为y=mx+3，1=23m+3，解得m=33，直线BD解析式为y=33x+3，可设P点坐标为（t，33t+3），A（3，0），B（0，3），BP=t2+(33t+3-3)2=233|t|，AP=(t+3)2+(33t+3)2=213t2+3t+3

37、，AB=(3)2+32=23，当以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，有BP=AP、BP=AB和AP=AB三种情况，当BP=AP时，则有233|t|=213t2+3t+3，解得t=3，此时P点坐标为（3，2）；当BP=AB时，则有233|t|=23，解得t=3或t=3，此时P点坐标为（3，3+3）或（3，33）；当AP=AB时，则有213t2+3t+3=23，解得t=0（此时与B点重合，舍去）或t=33，此时P点坐标为（33，0）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（3，2）或（3，3+3）或（3，33）或（33，0）【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中利用三角函数求AO的长是解题的关键，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出PA、PB及AB的长是解题的关键，注意分三种情况本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中