2022年高中理科数学解题方法高要求篇 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载椭圆与双曲线的对偶性质椭圆1.点 P处的切线PT 平分 PF1F2在点 P 处的 外角 . 2.PT 平分 PF1F2在点 P处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 6.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy

2、 yab. 7.椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyab（ ab0）的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc00(,)M xy). 9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N 两点，则MF NF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P和

3、A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 双曲线1.点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的 内角. 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是

4、以长轴为直径的圆，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： P在右支；外切：P在左支）5.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0） 上， 则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 6.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00

5、221x xy yab. 7.双曲线22221xyab（a0,bo） 的左右焦点分别为F1， F 2， 点 P为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co. 8.双曲线22221xyab（a0,b o）的焦半径公式：(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa. 当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、 Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点，则MF NF. 1

6、0.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11.AB 是双曲线22221xyab（a0,b 0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在 双曲线22221xyab（ a 0,b 0）内 ，则 被 Po 所平 分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13.若000(,)P xy在 双 曲 线22221xyab（ a 0,b 0） 内 ， 则 过P

7、o 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是22002222x xy yxyabab. 椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）椭圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载1.椭圆22221xyab（a bo）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2.过椭圆22221xyab(a 0, b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC 有定向且202

8、0BCb xka y（常数） . 3.若P 为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22accoac. 4.设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 5.若椭圆22221xyab（a b0）的左、 右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离d与 PF2的比例中项 . 6.P 为 椭 圆22221xyab

9、（ a b 0） 上 任 一 点 ,F1,F2为 二 焦 点 ， A为 椭 圆 内 一 定 点 ， 则2112| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立. 7.椭 圆220022()()1xxyyab与 直 线0AxByC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是2222200()A aB bAxByC. 8.已知椭圆22221xyab（ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（ 1）22221111|OPOQab; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab; （3）OPQS的最小值是2222a bab. 9.过椭圆2222

10、1xyab（ab0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN. 10.已知椭圆22221xyab（ ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 11.设 P 点是椭圆22221xyab（ ab0） 上异于长轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122tan2PF FS

11、b. 12.设A、 B 是椭圆22221xyab（a b0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA， c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222| cos|sabPAac co.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13.已知椭圆22221xyab（ ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B 两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段EF 的中点 . 14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15.过椭圆焦半径

12、的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ). （注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）17.椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）双曲线1.双曲线22221xyab（a0,b0）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点

13、的轨迹方程是22221xyab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载2.过双曲线22221xyab（a0,bo）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb xka y（常数） . 3.若 P 为双曲线22221xyab（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca） . 4.设双曲线22221xyab（ a0,b0）的两

14、个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意 一 点 ， 在 PF1F2中 ， 记12F PF, 12PF F,12F F P， 则 有s i n( s i ns i n)cea. 5.若双曲线22221xyab（a0,b0） 的左、 右焦点分别为F1、 F2， 左准线为 L， 则当 1e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6.P 为双曲线22221xyab（a0,b0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为双曲线内一定点，则21| 2|AFaPAPF,当且仅当2,A FP三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立.

15、7.双 曲 线22221xyab（ a 0,b 0 ） 与 直 线0AxByC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是22222A aB bC. 8.已知双曲线22221xyab（ba 0） ，O 为坐标原点， P、 Q 为双曲线上两动点，且OPOQ. （ 1）22221111|OPOQab;（2） |OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;（ 3）OPQS的最小值是2222a bba. 9.过双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 10.已知双曲线22221xyab（ a0,b0）

16、,A、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 11.设 P 点是双曲线22221xyab（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记12F PF，则 (1)2122|1cosbPFPF.(2) 1 22cot2PF FSb. 12.设 A、 B 是双曲线22221xyab（a0,b0） 的长轴两端点， P 是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA， c、 e 分别是双曲线

17、的半焦距离心率，则有(1)22222| cos|s|abPAac co. (2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13.已知双曲线22221xyab（ a0,b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B 两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段EF 的中点 . 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 . 16.双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距

18、离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ). ( 注: 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17.双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还

19、须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例 1. 已知点 A（3，2） ，F（2，0） ，双曲线xy2231，P 为双曲线上一点。求|PAPF12的最小值。解析：如图所示，双曲线离心率为2，F 为右焦点，由第二定律知12|PF即点 P 到准线距离。| | |PAPFPAPEAM1252二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例 2. 求共焦点 F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。解：取如图所示的坐标系，设点F 到准线l的距离为 p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0） （t 为参数）pbc2，而ctbpcpt2再设

20、椭圆短轴端点坐标为P（x，y） ，则xctybpt消去 t，得轨迹方程ypx2三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例 3. 已知x yR,，且满足方程xyy2230()，又myx33，求 m 范围。解析：myx33的几何意义为，曲线xyy2230()上的点与点（3，3）连线的斜率，如图所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下

21、载kmkPAPB332352m四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例 4. 已知圆()xy3422和直线ymx的交点为 P、Q，则|OP OQ的值为 _。解：OMPOQN| |OP OQOMON5五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。例 5. 已知椭圆：xy2224161，直线l：xy1281，P 是l上一点，射线OP 交椭圆于一点R，点 Q 在 OP 上且满足| |OQ OPOR2，当点 P在

22、l上移动时，求点Q 的轨迹方程。分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。解：如图，OQOROP，共线，设OROQ，OPOQ，OQxy()， 则ORxy()，OPxy()，| |OQ OPOR2|OQOQ2222点 R 在椭圆上， P 点在直线l上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载222224161xy，xy1281即xyxy222416128化简整理得点Q 的轨迹方程为：()()xy152153122（直线yx23上方部分）六.

23、应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例 6. 求经过两圆xyx22640和xyy226280的交点，且圆心在直线xy40上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：xyxxyy2222646280()()()()1166284022xyxy则圆心为()3131，在直线xy40上解得7故所求的方程为xyxy227320七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。例 7. 过点 A（2，1）的直线与双曲线xy2221相交于两点P1、P2，求线段 P1P2中点的轨迹方

24、程。解：设Pxy111()，Pxy222()，则xyxy12122222211212得()()()()xxxxyyyy211221122即yyxxxxyy212112122()设 P1P2的中点为M xy()00，则kyyxxxyP P122121002又kyxAM0012，而 P1、A、M、P2共线kkP PAM12，即yxxy0000122P P12中点 M 的轨迹方程是24022xyxy解析几何题怎么解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载高考解析几何试题一般共有4 题(2 个选择题 , 1

25、个填空题 , 1 个解答题 ), 共计 30 分左右 , 考查的知识点约为20 个左右 . 其命题一般紧扣课本, 突出重点 , 全面考查 . 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点， AB=2 、OT=t (0t1) ，以 AB 为直腰作直角梯形BBAA，使AA垂直且等于AT，使BB垂直且等于BT，BA交半圆于 P、Q 两点，

26、建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线BA的方程；（2）计算出点P、Q 的坐标；（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q. 讲解 : 通过读图 , 看出,BA点的坐标 . (1 ) 显然tA1 ,1, ，tB11于是 直线BA的方程为1txy；（2）由方程组,1,122txyyx解出),(10P、),(2221112ttttQ；（3）ttkPT1001, tttttttttkQT1111201122222)(. 由直线 PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q. 需要注意的是 , Q 点的坐标本质上是三角中的万能公

27、式, 有趣吗 ? 例 2 已知直线l 与椭圆)0(12222babyax有且仅有一个交点Q，且与 x 轴、 y 轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程讲解：从直线l所处的位置 , 设出直线l的方程 , 由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(kmkxy代入椭圆方程，222222bayaxb得.)2(22222222bamkmxxkaxb化简后，得关于x的一元二次方程.02)(222222222bamamxkaxbka于是其判别式).(4)(4)2(222222222222222mbkababamabkamka由已知，得 =0即.

28、2222mbka在直线方程mkxy中，分别令y=0 ，x=0 ，求得).,0(),0,(mSkmR令顶点 P 的坐标为（ x，y） ，由已知，得.,.,ymxykmykmx解得代入式并整理，得12222ybxa, 即为所求顶点P 的轨迹方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载方程12222ybxa形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例 3 已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5 kk

29、xy交双曲线于不同的点C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求k 的值 . 讲解：（ 1）,332ac原点到直线AB：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd. 故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去 y，整理得07830)31(22kxxk. 设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则012000220115515,.21313BEyxxkxykxkkkxk,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求 k=7.为了求出k的值 , 需要通过消元 , 想法设法建构k的方程 . 例 4 已知椭圆

30、 C 的中心在原点，焦点F1、F2在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为90，直线l 过左焦点 F1与椭圆交于A、B 两点， ABF2的面积最大值为12（1）求椭圆 C 的离心率；（2）求椭圆 C 的方程讲解：（1）设112212|,|,|2PFrPFrF Fc, 对,21FPF由余弦定理 , 得1)2(2441244242)(24cos22122212221221221212221121rrcarrcarrcrrrrrrcrrPFF0212e，解出.22e（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：i) 当 k 存在时，设l 的方程为)(cxky椭圆方程为),()

31、,(, 122112222yxByxAbyax由.22e得2222,2cbca. 于是椭圆方程可转化为222220 xyc将代入，消去y得02)(22222ccxkx, 整理为x的一元二次方程，得0)1(24)21 (22222kcxckxk. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载则 x1、x2是上述方程的两根且221221122|kkcxx，2212221)1 (22|1|kkcxxkAB，AB 边上的高,1|2sin|22121kkcFBFFFhckkkkcS21|)211(22212222

32、242222224421|12 22 2222.1121444kkkkcccckkkkkii) 当 k 不存在时，把直线cx代入椭圆方程得221,|2 ,2222ycABc Scc由知 S 的最大值为22c由题意得22c =12 所以2226bc2122a故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：cmyx（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为：),(),(, 122112222yxByxAbyax由.22e得：,22222cbca于是椭圆方程可化为：022222cyx把代入并整

33、理得：02)2(222cmcyym于是21, yy是上述方程的两根. 222121221|()()1|ABxxyymyy2)2(441222222mmccmm2)1 (2222mmc, AB 边上的高212mch, 从而222222)2(122122)1 (2221|21mmcmcmmchABS.221111222222cmmc当且仅当 m=0 取等号，即.22maxcS由题意知1222c, 于是212,26222acb. 故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx例 5 已知直线1xy与椭圆)0(12222babyax相交于A、 B 两点，且线段AB的中点在直线02:yxl

34、上.（）求此椭圆的离心率；也可这样求解：|212121yyFFS|21xxkc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆422yx上，求此椭圆的方程. 讲解 :（1）设 A、B 两点的坐标分别为11).,(),(22222211byaxxyyxByxA，则由得02)(2222222baaxaxba, 根据韦达定理，得,22)(,2222212122221babxxyybaaxx线段 AB 的中点坐标为（222222,babbaa）. 由已知得2222222

35、222222)(22,02cacabababbaa，故椭圆的离心率为22e . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知, cb从 而 椭 圆 的 右 焦 点 坐 标 为),0 ,(bF设)0 ,(bF关 于 直 线02:yxl的 对 称 点 为,02221210),(000000ybxbxyyx且则解得bybx545300且由已知得4,4)54()53(,42222020bbbyx，故所求的椭圆方程为14822yx . 例 6 已知 M：xQyx是,1)2(22轴上的动点， QA，QB 分别切 M 于 A，B 两点，（1）如果324| AB，求直线 MQ 的方程；（2）求动弦 AB 的中点 P 的轨迹

36、方程. 讲解 :（1）由324| AB，可得,31)322(1)2|(|2222ABMAMP由射影定理，得,3|,|2MQMQMPMB得在 RtMOQ 中，523|2222MOMQOQ，故55aa或，所以直线 AB 方程是;0525205252yxyx或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载（2）连接 MB，MQ，设),0,(),(aQyxP由点 M，P，Q 在一直线上，得(*),22xya由射影定理得|,|2MQMPMB即(*), 14)2(222ayx把（ *）及（ *）消去 a，并注意到2y

37、，可得).2(161)47(22yyx适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 例 7 如图，在 RtABC 中， CBA=90 ， AB=2 ，AC=22。DOAB 于 O 点， OA=OB ， DO=2 ，曲线 E 过 C点，动点 P 在 E 上运动，且保持 | PA |+| PB | 的值不变 . （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（2）过 D 点的直线L 与曲线 E 相交于不同的两点M、N 且 M 在 D、N 之间，设DNDM，试确定实数的取值范围讲 解 : （ 1 ） 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 如 图 所 示 | PA |+|

38、PB |=| CA |+| CB | y=22)22(22222动点 P 的轨迹是椭圆2,1,1abc曲线 E 的方程是1222yx . （2 ）设直线L 的方程为2kxy, 代入曲线E 的方程2222yx，得068)12(22kxxk设 M1（),(),221,1yxNyx, 则.126,128, 06) 12(4)8(2212212kxxkkxxkki) L 与 y 轴重合时，31|DNDMii) L 与 y 轴不重合时，由得.232k又21xxxxxxDNDMNDMD, ,012xx或,012xx01 , 212)(122121221xxxxxxxx)12(332) 12(664)(22

39、22122kkkxxxxA O B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页优秀学习资料欢迎下载而,232k.8)12(362k,316)12(33242k316214, 31012,.131,3101,21, 10的取值范围是1 ,31 . 值得读者注意的是，直线L 与 y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例 8 直线l过抛物线)0(22ppxy的焦点，且与抛物线相交于A),(),(2211yxByx和两点 . （1）求证：2214pxx;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD ，直线 l 不是 CD

40、 的垂直平分线 . 讲解 : （1）易求得抛物线的焦点)0,2(PF. 若 lx 轴，则l 的方程为4,2221PxxPx显然.若 l 不垂直于x 轴，可设)2(Pxky,代入抛物线方程整理得4,04)21 (221222PxxPxkPPx则. 综上可知2214pxx. （2）设dcdpdDcpcC且),2(),2(22，则 CD 的垂直平分线l的方程为)4(2222pdcxpdcdcy假设l过 F，则)42(22022pdcppdcdc整理得0)2)(222dcpdc0p02222dcp，0dc. 这时l的方程为 y=0 ，从而l与抛物线pxy22只相交于原点 . 而 l 与抛物线有两个不同

41、的交点，因此l与 l 不重合， l 不是 CD 的垂直平分线 . 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例 9 某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口A 和 B，沿着道路AP、BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m ，PB=150m ， APB=60 ，试说明怎样运土石最省工？讲解 : 以直线 l 为 x 轴，线段AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在l 一侧必存在经A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点，设这样的点为M，则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA| |MB|=|BP| |AP|=50, 750| AB,M 在双曲线1625252222yx的右支上 . 故曲线右侧的土石层经道口B 沿 BP 运往 P 处，曲线左侧的土石层经道口A 沿 AP 运往 P 处，按这种方法运土石最省工. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页