2022年初三中考数学总复习代数综合题复习 .pdf

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1、中考总复习 代数综合题复习（答案版）一、 2014 年考试说明中与代数综合题有关的C级要求：数与代数式：运用恰当的知识和方法对代数式进行变形，解决有关问题；方程与不等式：运用方程与不等式的有关内容解决有关问题；一次函数：运用一次函数、方程、不等式的有关内容解决有关问题；二次函数：运用二次函数的有关内容解决有关问题。及与几何图形有关的很多C级要求。这些考试说明的C级要求意味着代数综合题有很多的题型可以选择！面对今年难度很可能会降低的背景下，我们备课组对综合题的复习策略大致是：先是针对近几年的北京中考的代数综合题有针对性的重点复习，再分析2013、2014年的一模、二模的代数综合题涉及到的各种问题

2、进行复习，最后借鉴外地中考中出现的与代数综合题有关的问题。因为难度的降低，我们认为：复习中让学生多了解一些处理问题的方式方法，重在常见方法的落实和计算的准确！因为代数综合题中涉及到的基本问题的求解在各章节复习中已经涉及到了，所以我对综合题的分类是以每题的核心问题为主的，但在学生练习时还是要带着前面的基本问题。二、复习中需要注意的细节： 1、审题： 前“二”后“两”、关于“y 轴”翻折、将x 轴“下方”的部分如何如何、A点在B点的左侧、 正整数解、不与C、D两端点重合、不包括边界、点A停止时点B亦停止、给定区间（13 分高媛老师） 2、注意隐含条件或前提：一次函数、反比例函数、二次函数（抛物线）

3、的定义中隐含不为 0 的式子，用的前提，简单综合条件得到的范围等等；3、积累基本问题的解法：如: （1）求线段长纵坐标“上减下”或横坐标“右减左”，不用带绝对值（2）动点坐标化，根据象限，字母隐含取值范围（3）几何元素（面积、线段长）转到坐标时，带绝对值可弥补因作图不全而丢失的解（4）求某点坐标，除了动点坐标化，寻找几何条件列方程外，还有“由点及线”，两函数联立求交点的方法（5）三定一动定平四；两定两动定平四定边、定距离（ 6 ） 草 图 尽 量 准 确 ， 平 移 （ 转 动 ） 尺 子 ， 动 态 模 拟 运 动 变 化 的 过 程（13 分高媛老师）另外，整数根问题、根的分布问题、距离最

4、短问题、恒成立问题、单调性问题等等 4、点题：做完每一问或每一题后，要养成点题的习惯，回头看一下自己所求的是否是题目所求，特别是求字母的值或范围时，要重点注意题目所给的范围或隐含范围及前提范围，千万别忘了综合。三、北京近些年的中考代数综合题：06、07 年都是重点考察几何综合题的，没有像现在的代数综合题；(08)23 已知：关于x的一元二次方程2(32)220(0)mxmxmm（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x，2x（其中12xx）若y是关于m的函数，且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共

5、 33 页212yxx，求这个函数的解析式；（3）在（ 2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，2ym（1）证明：2(32)220mxmxm是关于x的一元二次方程，222 (32)4(22)44(2)mmmmmm当0m时，2(2)0m，即0方程有两个不相等的实数根 2 分（2）解：由求根公式，得(32)(2)2mmxm22mxm或1x 3 分0m，222(1)1mmmm12xx，11x，222mxm 4 分2122222 1myxxmm即2(0)ymm为所求5 分（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出2(0)ymm与2(0)ym m的图象6 分由图象可得，当1m

6、时，2ym7 分(09)23 已知关于x的一元二次方程22410 xxk有实数根，k为正整数（1）求 k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8 个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（ 2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在1 2 3 4 4 3 2 1 x y O -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 2(0)ymm2 (0)ym m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 33 页x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个

7、新的图象回答：当直线1(2yxb bk )与此图象有两个公共点时，b 的取值范围(10)23. 已知反比例函数y=xk的图像经过点A(3，1)。 (1) 试确定此反比例函数的解析式； (2) 点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30 得到线段OB。判断点B是否在此反比例函数的图像上，并说明理由； (3) 已知点P(m，3 m6) 也在此反比例函数的图像上( 其中m0 2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 33 页即22 3(1)4(23)(3)0mmmm得m 3 3 分m的取值范围为m0 和m 3；（2）设y=0，

8、则23(1)230mxmxm2(3)m，33(3)2mmxm123mxm，21x 5 分当123mxm是整数时，可得m=1 或m=-1 或m=3 6 分4x， m的值为 1 或 3 7 分（三）根的分布问题：数形结合思想。考试说明中没有根与系数的关系（韦达定理），因此若不能分解表示根时，一般要用二次函数的图形（，对称轴、特殊点的函数值）来解决。例 3、（ 2013 年房山二模）23.已知二次函数217=22y xkxk -（1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k2x2(2k3)x1=0

9、 有两个不相等的实数根，求k的整数值；（3）在（ 2）的条件下，关于x的另一方程x22(ak)x2ak26 k 4=0 有大于 0且小于 3 的实数根，求a的整数值（1）证明：1=222174421422backkkk-（）2221 13=113kkk-（） 0 不论k为任何实数， 该函数的图象与x轴必有两个交点 -1分（2）二次函数217=22y xkxk -的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，且二次函数开口向上当 x=1 时，函数值y0, 即17122kk -0，解得k53-2分关于x的一元二次方程k2x2(2k3)x1=0 有两个不相等的实数根k0 且2=222224234=41

10、294=129backkkkkk-+-（） 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 33 页k34-且k0 -4分34- k53且 k 0 k=1 -5分（3）由（ 2）可知， k=1 x22(a1)x2a1=0 解得x1=-1，x2=-2a-1 -6分根据题意， 0-2a-1 3 122a- a的整数值为-1. -7分例 4、（ 2013 年平谷一模）23. 已知关于m的一元二次方程221xmx=0. （1）判定方程根的情况；（2）设m为整数，方程的两个根都大于1且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m的值解：（ 1

11、）2242( 1)8.mm . .1分 20,m 280.m所以无论m取任何实数，方程221xmx=0 都有两个不相等的实数根. .2分(2) 设221yxmx 2210 xmx的两根都在1和32之间， 当1x时，0y，即：210m当32x时，0y，即：931022m 1213m. . 3分 m为整数， 21 0m， ，. 4分 当2m时，方程222104812xx， 此时方程的根为无理数，不合题意当0m时，方程2210 x，22x，不符合题意精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 33 页备用图Oxy当1m时，方程21212

12、1012xxxx，符合题意综合可知，1m. 7分（四）与角有关的问题：转化思想。考虑特殊的边角关系，直线的特殊斜率对应的特殊角，等角、互余角、互补角的转化，用角的三角函数值说明等角，用圆中同弧所对圆周角相等确定角的顶点的位置，等等例 5、（ 2014 年平谷二模）23已知关于x的一元二次方程210 xmxm（ 1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；（ 2）关于x的二次函数211yxmxm的图象1C经过2(168)kkk，和2(568)kkk，两点求这个二次函数的解析式；把中的抛物线1C沿x轴翻折后， 再向左平移2 个单位， 向上平移 8 个单位得到抛物线2C设抛物线2C交x轴于M、N两

13、点（点M在点N的左侧），点P(a，b) 为抛物线2C在x轴上方部分图象上的一个动点. 当MPN45时，直接写出a的取值范围（1）证明：在210 xmxm中，24(1)mm2244(2)mmm-1分当m取任何值时，2(2)0m，无论m取任何实数时，方程总有实数根-2分（2）抛物线211yxmxm过点2(168)kkk，和点2(568)kkk，抛物线211yxmxm对称轴为：(1)(5)22kkx22mx，得4m2143yxx-5分22a-7分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 33 页例 6、 （2014?湖北荆门 ,第 2

14、3 题 10 分）已知：函数y=ax2（ 3a+1）x+2a+1（a为常数）（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A（x1，0） ，B（x2，0）两点，与 y 轴相交于点C，且 x2x1=2 求抛物线的解析式；作点 A关于 y 轴的对称点D，连结 BC ，DC ，求 sin DCB的值考点：二次函数综合题分析：（1）根据 a 取值的不同，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解（2） 函数与 x 轴相交于点A（x1，0） ， B（x2， 0）两点，则x1，x2，满足 y=0 时，方程的根与系数关系因为x2x1=2，则可平方，用x1+x

15、2， x1x2表示，则得关于a 的方程，可求，并得抛物线解析式 已知解析式则可得A，B，C，D 坐标，求sin DCB，须作垂线构造直角三角形，结论易得解答：解： （1）函数 y=ax2（ 3a+1） x+2a+1（a 为常数），若 a=0，则 y=x+1，与坐标轴有两个交点（0， 1） ， （1，0） ；若 a 0 且图象过原点时，2a+1=0， a=，有两个交点（0， 0） ， （1，0） ；若 a 0 且图象与x 轴只有一个交点时，令y=0 有：=（3a+1）24a（ 2a+1）=0，解得 a=1，有两个交点（0， 1） ， （ 1，0） 综上得： a=0 或或 1 时，函数图象与坐标轴

16、有两个交点（2） 函数与x 轴相交于点A（x1，0） ，B（x2，0）两点，x1， x2为 ax2（ 3a+1）x+2a+1=0 的两个根，x1+x2=，x1x2=， （可因式分解表示根会更简单些）x2 x1=2，4=（x2x1）2=（x1+x2）24x1x2=（）2 4?，解得 a=（函数开口向上，a0，舍去），或 a=1，y=x24x+3 函数 y=x24x+3 与 x 轴相交于点A（x1，0） ，B（x2，0）两点，与y 轴相交于点C，且 x1x2，A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） ，D 为 A 关于 y 轴的对称点，D（ 1，0） 根据题意画图，精选学习资料 - - - -

17、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 33 页如图 1，过点 D 作 DECB 于 E，OC=3，OB=3，OCOB， OCB 为等腰直角三角形， CBO=45 ， EDB 为等腰直角三角形，设 DE=x，则 EB=x ，DB=4 ，x2+x2=42，x=2，即 DE=2在 RtCOD 中，DO=1 ，CO=3，CD=，sinDCB=点评：本题考查了二次函数图象交点性质、特殊三角形及三角函数等知识，题目考法新颖，但内容常规基础，是一道非常值得考生练习的题目（五）距离和最小问题：例 7、(2014 年湖北咸宁23 （10 分） )如图 1，P（m，n）是

18、抛物线y=1 上任意一点，l 是过点（ 0， 2）且与 x 轴平行的直线，过点P 作直线 PHl，垂足为H【探究】（1）填空：当m=0 时， OP=，PH=；当 m=4 时， OP=，PH=；【证明】（2）对任意m，n，猜想 OP 与 PH 的大小关系，并证明你的猜想【应用】（3）如图 2，已知线段AB=6 ，端点 A，B 在抛物线y=1 上滑动，求A， B 两点到直线 l 的距离之和的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 33 页考点：二次函数综合题分析：（1）m 记为 P 点的横坐标m=0 时，直接代入x=0，得

19、P（0， 1） ，则 OP，PH长易知当m=4 时，直接代入x=4，得 P （ 4，3） ，OP 可有勾股定理求得，PH=yP（ 2） （2）猜想 OP=PH证明时因为P 为所有满足二次函数y=1 的点， 一般可设 （m，1） 类似（ 1）利用勾股定理和PH=yP（ 2）可求出OP 与 PH，比较即得结论（3）考虑（ 2）结论，即函数y=1 的点到原点的距离等于其到l 的距离要求A、B两点到 l 距离的和，即A、B 两点到原点的和，若AB 不过点 O，则 OA+OB AB=6 ，若AB 过点 O，则 OA+OB=AB=6 ，所以 OA+OB 6，即 A、B 两点到 l 距离的和 6，进而最小值

20、即为 6解答：（1）解： OP=1，PH=1；OP=5，PH=5如图 1，记 PH 与 x 轴交点为Q，当 m=0 时， P（0， 1） 此时 OP=1，PH=1当 m=4 时， P（4，3） 此时 PQ=3，OQ=4，OP=5，PH=yP（ 2）=3（ 2）=5（2）猜想： OP=PH证明：过点P 作 PQx 轴于 Q，P 在二次函数y=1 上，设 P（m，1） ，则 PQ=|1|，OQ=|m|， OPQ 为直角三角形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 33 页OP=，PH=yP（ 2）=（1）（ 2）=，OP=PH（

21、3）解：如图 2，连接 OA ，OB，过点 A 作 ACl 于 C，过点 B 作 BDl 于 D，此时 AC 即为 A 点到 l 的距离， BD 即为 B 点到 l 的距离则有 OB=BD ，OA=AC ，在AOB 中，OB+OA AB，BD+AC AB 当 AB 过 O 点时，OB+OA=AB ，BD+AC=AB 综上所述， BD+AC AB ，AB=6 ，BD+AC 6，即 A，B 两点到直线l 的距离之和的最小值为6点评：本题考查了学生对函数与其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴

22、趣，非常值得学生练习（六）新定义问题：例 8、（ 2014?江西，第24 题 8 分）如图1，抛物线2(0)yaxbxc a=+的顶点为M ，直线 y=m与 x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B，若三角形AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B 两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段 AB的距离称为碟高。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 33 页（1）抛物线212yx=对应的碟宽为_；抛物线24yx=对应的碟宽为 _；抛物线2yax=（a0）对应的碟宽

23、为_；抛物线2(2)3(0)ya xa=-+对应的碟宽 _；（2）若抛物线254(0)3yaxaxa=-对应的碟宽为6，且在 x 轴上，求a 的值；（3）将抛物线2(0)nnnnnya xb xca=+的对应准蝶形记为Fn（ n=1,2,3 ，），定义 F1，F2，.Fn为相似准蝶形， 相应的碟宽之比即为相似比。若 Fn与 Fn-1的相似比为12，且 Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为 F1. 求抛物线y2的表达式 若 F1的碟高为h1,F2的碟高为h2，Fn的碟高为hn。则 hn=_,Fn的碟宽右端点横坐标为 _；F1，F2， .Fn的碟

24、宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由。解： （1）4、12、2a、2a. a0， y=ax2的图象大致如图1，其必经过原点O. 记线段 AB为其准蝶形碟宽，AB与 y 轴的交点为C，连接 OA ，OB OAB为等腰直角三角形，AB x 轴，OC AB ， AOC= BOC 12 AOB 1290=45，即 AOC= BOC 亦为等腰直角三角形，AC=OC=BCAABBxyxy，即 A、B两点 x 轴和 y 轴坐标绝对值相同代入2yax，得方程2xax，解得1xa. 由图像可知，A（1a，1a）， B（1a，1a）， C（0，1a），即 AC=OC=BC1a

25、，AB=1a22a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 33 页即2yax的碟宽为AB 2a. 抛物线y=12 x2对应的1a2，得碟宽2a=4；抛物线 y=4x2对应的 a=4，得碟宽2a=12；抛物线2yax=(a0) 的碟宽为2a；抛物线 y=a（x-2 ）2+3（a 0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，平移不改变形状、大小、方向，抛物线 y=a（x-2 ）2+3（a 0）的准碟形抛物线y=ax2的准碟，抛物线 y=ax2（a0），碟宽为2a，抛物线 y=a（x-2 ）2+3

26、（a 0），碟宽为2a. （2）解法一：y=ax24ax53 a(x 2)2（ 4a53 ) 同（ 1）得其碟宽为2a，y=ax2 4ax53的碟宽为 6，2a =6 ，解得， a=13 . y13(x-2)2-3 解法二：254(0)3yaxaxa=-可得，25(2)43ya xa=-，又已知碟宽在x 轴上，碟高543a-62=3，解得 a13，又 a0，a13错误！未定义书签。不合题意舍去，a113. (3) 解法一：F1的碟宽 F2的碟宽 =2：1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 33 页12222 :1aa:1

27、1a,322a.3211yx233（）的碟宽 AB在 x 轴上（ A在 B左边），A（-1 ，0）， B（5，0），F2的碟顶坐标为（2， 0），222yx23（）解法二：215(2)43ya xa=-，a13，211(2)33yx=-，即碟顶1M的坐标为（ 2， 3）.2F的碟顶是的碟宽的中点，且1F的碟宽线段在x 轴上，2F的碟顶2M的坐标为（ 2,0 ），设222(2)yax，2F与1F的相似比为12，1F的碟宽为6，2F的碟宽为6123，即22a3，2a23. 22222222288(2)(2)(44)33333yaxxxxxx.nF的准碟形为等腰直角三角形，nF的碟宽为2nh，nn

28、12h12h2231nn 1n 2n 311111hh() h() h.()h2222n. 1h=3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 33 页n 1n1h2（）3. nhn 1h，且都过n 1F的碟宽中点，123n 1nhhhhh， ，都在同一条直线上，1h在直线 x=2 上，123n 1nhhhhh， ，都在直线x=2 上，nF的碟宽右端点横坐标为2+n 112（）3. F1，F2， Fn的的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=-x+5 理由：考虑 Fn-2，Fn-1，Fn情形，关系如图2，Fn-2，Fn-1，Fn的碟

29、宽分别为AB ，DE，GH ；且 C，F， I 分别为其碟宽的中点，都在直线x=2 上，连接右端点，BE ，EHAB x 轴， DE x 轴， GH x 轴，AB DE GH ，GH平行相等于FE，DE平行相等于CB ，四边形GFEH 、四边形DCBE 都是平行四边形，HE GF ，EB DC ， GFI=12? GFH= 12?DCE= DCF ，GF DC ，HE EB ，HE ，EB都过 E点，HE ，EB在一条直线上，n 2n 1nFFF，的碟宽的右端点是在一条直线，12nFFF， ， ，的碟宽的右端点是在一条直线根据中得出的碟高和右边端点公式，可知211=x233y（）准碟形右端点坐

30、标为（5，0），222=x23y（）准碟形右端点坐标为2 12 1112( )3,()322，即 (3.5 ，1.5) 待定系数可得过两点的直线为y=x+5，F1，F2， Fn的碟宽的右端点是在直线y=-x+5 上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 33 页【点评】本题考查学生对新定义和新知识的学习、模仿和应用能力题目中主要涉及特殊直角三角形，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生对题意要清晰的理解比较困难。（七）代数式求值：例 9、（ 2013 西城一模） 23已知关于x的一元二次方程22(4)

31、0 xaxa (1) 求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 抛物线21:2(4)Cyxaxa与x轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a，将抛物线1C向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C求抛物线2C的解析式；(3) 点A(m,n) 和B(n,m) 都在 (2) 中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式33222mmnn的值（1）证明： 22(4)4216aaa，1 分而20a，2160a，即0. 无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. 2 分（2）解： 当2ax时，0y，22()(4)022aaaa. 230aa，即(3)0a a. 0a，

32、3a. 3 分抛物线1C的解析式为22125232()48yxxx. 抛物线1C的顶点为125(,)48. 抛物线2C的顶点为(0, 3). 抛物线2C的解析式为223yx. 4 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 33 页（3）解： 点A（m，n）和B（n，m）都在抛物线2C上，223nm，且223mn. 222()nmmn. 2()()nmmn mn. ()2()10mnmn. A、B两点不重合，即mn，2()10mn. 12mn. 5 分223mn，223nm，33222mmnn22222mmmnnnnmmnmn)

33、3(2)3().(3nm6 分32. 7 分（八）恒成立问题：例 10（2013 海淀二模） 23已知：抛物线2(2)2yaxax过点(3,4)A（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线2(2)2yaxax在直线1y下方的部分沿直线1y翻折， 图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G点1,M m y在图象G上，且10y 求m的取值范围；若点2,N mk y也在图象G上，且满足24y 恒成立，则k的取值范围为解：（ 1）抛物线2(2)2yaxax过点(3,4)A，93(2)24aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 33

34、 页解得1a抛物线的解析式为22yxx -2分（2）当0y时，220 xx1x或2.抛物线与x轴交于点( 1,0)A，(2,0)B .-3分当2y时，222xx0 x或抛物线与直线2y交于点(0, 2)C, (1, 2)D.C,D关于直线1y的对称点(0,0)C，(1,0)D.-4分根据图象可得1m0 或m2-5分k的取值范围为k4 或k4-7分（九）与格点有关问题：例 11、 （ 2014?河北，第24 题 11 分）如图， 2 2 网格（每个小正方形的边长为1）中有 A，B，C，D，E，F，G、H，O 九个格点抛物线l 的解析式为y=（ 1）nx2+bx+c（n 为整数）（1）n 为奇数，

35、且l 经过点 H（0，1）和 C（2，1） ，求 b，c 的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；（2）n 为偶数，且l 经过点 A（1，0）和 B（2，0） ，通过计算说明点F（0，2）和 H（0，1）是否在该抛物线上；（3）若 l 经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数考点 ： 二 次函数综合题专题 ： 压 轴题分析：（1）根据 1 的奇数次方等于1，再把点H、C 的坐标代入抛物线解析式计算即可求出 b、c 的值，然后把函数解析式整理成顶点式形式，写出顶点坐标即可；（ 2）根据 1 的偶数次方等于1，再把点A、B 的坐标代入抛物线解析式计算即可求出 b、 c 的值，

36、从而得到函数解析式，再根据抛物线上点的坐标特征进行判断；（ 3）分别利用（1） （2）中的结论，将抛物线平移，可以确定抛物线的条数解答：解 ： （1）n 为奇数时， y=x2+bx+c， l 经过点 H（0，1）和 C（2，1） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 33 页，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+1，y=（ x1）2+2，顶点为格点E（1，2） ；（ 2）n 为偶数时， y=x2+bx+c ， l 经过点 A（1，0）和 B（2，0） ，解得，抛物线解析式为y=x23x+2，当 x=0 时， y=2，点 F

37、（0， 2）在抛物线上，点H（ 0，1）不在抛物线上；（ 3）所有满足条件的抛物线共有8 条当 n 为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得到3 条抛物线，如答图31 所示；当 n 为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得到3 条抛物线，如答图32 所示点评：本 题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，要注意（3）抛物线有开口向上和开口向下两种情况（十）与面积有关问题：例 12、（2014?四川凉山州，第28 题， 12 分）如图，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1， 2），点B的坐标为（ 3， 1），二次函数y=x2的图象为l1（1）

38、平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B满足此条件的函数解析式有 _ 个写出向下平移且经点A的解析式 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 33 页（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求ABC的面积（3）在y轴上是否存在点P，使SABC=SABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点 ：二次函数综合题分析：（1）根据实际情况可以直接写出结果；设平移以后的二次函数解析式是：y=x2+c，把（ 1， 2）代入即可求得c

39、的值，得到函数的解析式；（2）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（3）过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、EE、F，求得ABC的面积，然后分当点P位于点G的下方和上方，两种情况进行讨论求解解答：解：（ 1）满足此条件的函数解析式有无数个；设平移以后的二次函数解析式是：y=x2+c，把（ 1， 2）代入得：1+c=2，解得：c=1，则函数的解析式是：y=x21；（2）设l2的解析式是y=x2+bx+c，l2经过点A（1， 2）和B（3， 1），根据题意得：，解得：，则l2的解析式是：y=x2+x，则顶点C的坐标是（，）（3）过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F

40、，则AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=得：SABC=S梯形 ABEDS梯形 BCFES梯形 ACFD=延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=x，则点G的坐标为 （0，），精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 33 页设点P的坐标为（ 0，h）当点P位于点G的下方时，PG=h，连结AP、BP，则SAEF=SEFGSAFG=h，又SABC=SABP=，得h=，点P的坐标为（ 0，）当点P位于点G的上方时，PG=+h， 同理h=， 点PP的坐标为（0， ） 综上所述所求点P的坐标为（ 0，）或（ 0，）点评

41、：本题是待定系数法求函数的解析式，以及函数的平移的综合题，正确理解平移时，函数解析式的变化规律是关键（十一）与消参数有关问题：例 13、（2013 昌平二模）23. 已知点A（a，1y） 、B（ 2a，y） 、C（ 3a，y） 都在抛物线21122yxx上. （1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1 时，求ABC的面积；（3）是否存在含有1y、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由. （十二）与几何图形相关：例 14、（2014?江西抚州，第23 题， 10 分）如图，抛物线yaxax22(a 0) 位于x轴上方的图象记为F1 ，它与x轴交于P

42、1 、O两点，图象F2与F1关于原点O对称，F2与x轴的另一个交点为P2，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得F3与F4 ；再将F3与F4同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得F5与F6 ； 按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1 ,F2 , ，Fn, 我们把这组图象称为“波浪抛物线” .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 33 页 当a1时， 求图象F1的顶点坐标； 点H(2014 , 3) (填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象Fn的顶点Tn的横坐标为201，则图象Fn对应的解析式为_

43、，其自变量x的取值范围为 _. 设图象Fm、Fm+1的顶点分别为Tm 、Tm+1 (m 为正整数 ),x轴上一点Q的坐标为 (12 ,0).试探究：当a为何值时，以O、Tm 、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时 m的值 . 解析： (1) 当a1时，yxxx22211， F1的顶点是（ -1,1) ；由知：“波浪抛物线”的y值的取值范围是-1 y1，点 H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上；由平移知： F2：yx,211 F3：yx231，Fn的顶点横坐标是201， Fn的解析式是：yx22011，此时图象与x轴的两个交点坐标是（200,0) 、(202,0), 200

44、x202 . (2)如下图，取OQ的中点 O,连接 Tm Tm+1 , 四边形OTmQTm+1是矩形，Tm Tm+1=OQ=12, 且 Tm Tm+1经过 O, OTm+1=6, F1：yaxaxa xa2221Tm+1的纵坐标为a，(a)2+12 =62 , a=35 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 33 页已知a 0 ， a35 . 当a35时，以以 O、Tm 、 Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形. 此时 m=4. 例 15、 （2014? 山东潍坊，第24 题 13 分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（

45、a O）与 y 轴交于点C(O，4)，与 x 轴交于点A 和点 B，其中点A 的坐标为（2,0） ，抛物线的对称轴x=1 与抛物线交于点D，与直线BC 交于点 E(1)求抛物线的解析式；(2)若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于 DE 的一条动直线Z 与直线 BC 相交于点 P，与抛物线相交于点Q， 若以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。考点 ：二次函数综合题分析 ： （1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c 的值，即求出解析式；（2）设存在

46、点K，使得四边形ABFC 的面积为17，根据点K 在抛物线y=x2+2x+3 上设点K 的坐标为：（x，x2+2x+3） ，根据 S四边形ABKC=S AOC+S梯形ONKC+S BNK得到有关x 的一元二次方程求出x 即可 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 33 页（3）将 x=1 代入抛物线解析式，求出y 的值，确定出D 坐标，将x=1 代入直线 BC 解析式求出 y 的值，确定出E 坐标，求出DE 长，将 x=m 代入抛物线解析式表示出F 纵坐标，将x=m 代入直线BC 解析式表示出P 纵坐标，两纵坐标相减表示出

47、线段PQ，由 DE 与 QP 平行，要使四边形PEDQ 为平行四边形，只需DE=PQ，列出关于m 的方程，求出方程的解得到 m 的值，检验即可解： (1)由抛物线经过点C(O，4)可得 c=4,对称轴x=ab2=1， b=2a，又抛物线过点A（一 2，O） 0=4a2b+c，由解得： a=21, b=1 ,c=4所以抛物线的解析式是y=21x+x+4 (2)假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF、OF过点 F 分别作 FHx 轴于 H , FGy 轴于 G设点 F 的坐标为（ t, 21t2+t+4） ，其中 Ot4， 则 FH=21t2 +t+4 FG=t, OBF=21OB.FH

48、 =21 4 （21t2+4t+4）=一 t2+2t+8 ,SOFC=21OC.FC=21 4 t=2tS四边形 ABFCSAOC+S OBF +SOFC =4t2+2t+8+2t=t2+4t+12令一 t2+4t+12 =17，即 t24t+5=0，则 =(一 4)24 5=一 40, 方程 t2 4t+5=0 无解，故不存在满足条件的点F(3)设直线 BC 的解析式为y=kx+b（k O） ，又过点B(4,0，), C(0,4) 所以404bbk，解得：41bk，所以直线 BC 的解析式是y=一 x+4由 y=21x2+4x+4=一21（x 一 1)2+29，得 D（1，29） ，又点 E

49、 在直线 BC 上，则点E(1，3)，于是 DE=29一 3= 23. 若以 D.E.P.Q 为顶点的四边形是平行四边形，因为DEPQ，只须 DE=PQ, 设点 P 的坐标是（ m，一 m+4） ，则点 Q 的坐标是（ m，一21t2+m+4） 当 Om4 时， PQ=（一21t2+m+4）一（一m+4）=一21m2+2m由一21m2+2m=23，解得： m=1 或 3当 m=1 时，线段PQ 与 DE 重合 ,m=1 舍去 , m=3，此时 P1 (3,1)当 m4 时， PQ=（一 m+4）一（一21m2+m+4)= 21m22m, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

50、纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 33 页由21m22m=23，解得 m=27，经检验适合题意，此时 P2（2+7，2 一7） ，P3（2 一7，2+7） 综上所述， 满足条件的点P 有三个， 分别是 P1 (3,1)，P2（2+7 ，2 7 ） ，P3 （27 ，2 十7 ）. 点评 ：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点， 抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题例 16、（2014?四川南充，第25 题， 10 分）如图，