2022年高中物理竞赛中的高等数学 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载高中物理竞赛中的高等数学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律，因此经常遇到的物理量大多数是变量，而要研究的正是一些变量彼此间的联系这样，微积分这个数学工具就成为必要的了考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，可在通过高等数学课程的学习去完成 1函数及其图形11 函数自变量和因变量绝对常量和任意常量在数学中函数的功能

2、是这样定义的：有两个互相联系的变量 x和 y，如果每当变量 x 取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定 y 的对应值，那么称 y 是 x 的函数，并记作：y=f(x)，（A1）；其中 x 叫做自变量，y 叫做因变量，f 是一个函数记号，它表示 y 和 x数值的对应关系有时把 y=f(x)也记作 y=y(x)如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，也可以用其它字母作为函数记号，如(x)、 (x)等等常见的函数可以用公式来表达，例如( )32yf xx ，212axbx，cx， cos2 x ， ln x ，xe 等等在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面出现的13 22

3、e、 、 、和 abc、 、等，它们叫做常量；常量有两类：一类如13 22e、 、 、 、等，它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如 a、b、c 等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如 a、b、c）代表任意常量，最后面几个（x、y、z）代表变量当 y=f(x)的具体形式给定后，就可以确定与自变量的任一特定值 x0相对应的函数值 f(x0)例如：（1）若 y=f(x)=3+2x，则当 x=-2时 y=f(-2)=3+2 (-2)=-1一般地说，当 x=x0时，y=f(x0)=3+2x0（2）若( )cy

4、f xx，则当0 xx 时，00()cf xx12 函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系，这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的作图的办法是先在平面上取一直角坐标系，横轴代表自变量 x，纵轴代表因变量（函数值）y=f(x)这样一来，把坐标为（x，y）且满足函数关系 y=f(x)的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线，它描绘出函数的面貌图 A-1便是上面举的第一个例子 y=f(x)=3+2x的图形，其中 P1， P2， P3，P4，P5各点的坐标分别为： （-2，-1） 、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线图 A

5、-2是第二个例子( )cyf xx的图形，其中 P1，P2，P3，P4，P5各点的坐标分别为：1(,4 )4c、1(,2 )2c、(1, )c 、(2,)2c、(4,)4c，各点连接成双曲线的一支13 物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的下面举几个例子（1）匀速直线运动公式：s=s0vt（A2）此式表达了物体作匀速直线运动时的位置 s 随时间 t 变化的规律，在这里 t相当于自变量 x，s相当于因变量 y，s是 t 的函数因此记作：s=s(t)s0vt，（A3）式中初始位置 s0和速度 v 是任意常量，s0与坐标原点的选择有关，v对于每个匀速直线运动有

6、一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值图 A-3 是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线易知它的斜率等于 v精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载（2）匀变速直线运动公式：20012ssv tat，（A4），v=v0at（A5）两式中 s和 v 是因变量，它们都是自变量 t 的函数，因此记作：2001( )2ss tsv tat，（A6），v=v(t)=v0at，（A7）图 A-4a、4b 分别是两个函数的图形，其中一个是抛物线，一个是直线（ A6）和（A7）式是匀变速直线运动的普遍公式，式

7、中初始位置s0、初速v0和加速度a都是任意常量，它们的数值要根据讨论的问题来具体化例如在讨论自由落体问题时，若把坐标原点选择在开始运动的地方，则 s00， v00， ag9.8 Ms2， 这时（A 6）和（A7）式具有如下形式：21( )2ss tgt,（A8）；vv(t)gt（A9）；这里的 g可看作是绝对常量，式中不再有任意常量了（3）玻意耳定律：PVC（A10）上式表达了一定质量的气体，在温度不变的条件下，压强 P和体积 V之间的函数关系，式中的 C是任意常量可以选择 V 为自变量，P 为因变量，这样，（A10）式就可写作：( )CPP VV，（A11）它的图形和图 A-2 是一样的，只

8、不过图中的 x、y 应换成 V、P在（A10）式中也可以选择 P为自变量，V为因变量，这样它就应写成：()CVV PP，（A12）由此可见，在一个公式中自变量和因变量往往是相对的（4）欧姆定律：UIR （A13）当讨论一段导线中的电流 I 这样随着外加电压 U 而改变的问题时， U 是自变量， I 是因变量， R是常量 这时，（A 13）式应写作：()UII UR，（A14）；即 I 与 U 成正比应当指出，任意常量与变量之间的界限也不是绝对的例如，当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时，由于通过各元件的电流是一样的，（ A13）式中的电流 I 成了常量，而 R是自变量，U 是因变量于是

9、 UU(R)IR，（A15）即 U 与 R成正比但是当讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时，由于各分支两端具有共同的电压， （A 13） 式中的 U 就成了常量， 而 R 为自变量， I 是因变量，于是：()UII RR， （A 16）即 I 与 R成反比总之，每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系，但是其中哪个是自变量，哪个是因变量，哪些是常量，有时公式本身反映不出来，需要根据所要讨论的问题来具体分析 2导数21 极限若当自变量 x 无限趋近某一数值 x0（记作 xx0）时，函数 f(x)的数值无限趋近某一确定的数值 a，则 a叫做 xx0时函数 f(x)的极限值，并记作：0lim

10、( )xxf xa， （A17）（A17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写，（A17）式读作“当 x 趋近 x0时，f（x）的极限值等于 a”极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广这里不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义考虑下面这个函数：232( )1xxyf xx，（A18） ，这里除 x1 外，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的例如当0 x时，(0)2f，当2x，(2)8f，等等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载

11、但是若问 x1时函数值 f（1）？，就会发现，这时（A18）式的分子和分母都等于 0，即0(1)0f！用 0 去除以 0，一般地说是没有意义的所以表达式（ A18）没有直接给出 f（1），但给出了 x 无论如何接近 1 时的函数值来下表列出了当 x 的值从小于 1 和大于 1 两方面趋于 1时 f（x）值的变化情况：表 A-1 x 与 f(x)的变化值x232xx1x232( )1xxf xx0.9 -0.47 -0.1 4.7 0.99 -0.0497 -0.01 4.97 0.999 -0.004997 -0.001 4.997 0.9999 -0.0004997 -0.0001 4.99

12、97 1.1 0.53 0.1 5.3 1.01 0.503 0.01 5.03 1.001 0.005003 0.001 5.003 1.0001 0.00050003 0.0001 5.0003 从上表看，x值无论从哪边趋近1时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值5，这便是x1时f(x)的极限值其实计算 f(x)值的极限无需这样麻烦，只要将（ A18）式的分子作因式分解：3x2-x-2(3x2)(x-1)，并在 x1 的情况下从分子和分母中将因式(x1)消去：(32)(1)( )32 (1)1xxyf xxxx； 即可看出：x 趋于 1时，函数 f(x)的数值趋于：3 125所以根据函数极

13、限的定义，21132lim( )lim51xxxxf xx22 几个物理学中的实例（1）瞬时速度当一个物体作任意直线运动时，它的位置可用它到某个坐标原点 O 的距离 s来描述在运动过程中 s是随时间 t变化的，也就是说，s是 t的函数：ss(t)函数 s(t)表示的是这个物体什么时刻到达什么地方形象一些说，假如物体是一列火车，则函数 s(t)就是它的一张“旅行时刻表”但是，在实际中往往不满足于一张“时刻表”，还需要知道物体运动快慢的程度，即速度或速率的概念例如，当车辆驶过繁华的街道或桥梁时，为了安全，对它的速率就要有一定的限制；一个上抛体（如高射炮弹）能够达到怎样的高度，也与它的初始速率有关，

14、等等为了建立速率的概念，就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况假设考虑的是从 tt0到 tt1的一段时间间隔，则这间隔的大小为：tt1-t0根据 s和 t 的函数关系 s（t）可知，在 t0和 t1t0+t两个时刻，s的数值分别为 s（t0）和 s（t1）s（t0+t），即在 t0到 t1这段时间间隔里 s改变了：ss（t1）s（t0）s（t0+t）s（t0）在同样大小的时间间隔 t 里，若s的改变量s 小，就表明物体运动得慢，所以就把s与t 之比st叫做这段时间间隔里的平均速率，用 v来表示，则00()()s tts tsvtt，（A19） ，举例说明如下对于匀变速直线运动，根据（ A4

15、）式有2000 001()2s tsv tat和2000001()()()2s ttsvtta tt，222000000 00000000111()() ()()()()()12222svtta ttsv tatvattats tts tvvatatttt；平均速率svt反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢，除了匀速直线运动的特殊情况外，st的数值或多或少与t的大小有关；t取得越短，st就越能反映出物体在0tt 时刻运动的快慢；通常就把0t时st的极限值叫做物体在 tt0时刻的瞬时速率 v，即0000()()limlimtts tts tsvtt，（A20）对于匀变速直线运动来说，000000

16、1limlim()2ttsvvata tvatt这就是熟悉的匀变速直线运动的速率公式（ A5）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载（2）瞬时加速度一般地说，瞬时速度或瞬时速率 v 也是 t 的函数：vv（t）但是在许多实际问题中，只有速度和速率的概念还不够，还需要知道速度随时间变化的快慢，即需要建立“加速度”的概念平均加速度a和瞬时加速度a概念的建立与v和v的建立类似在直线运动中，首先取一段时间间隔 t0到 t1，根据瞬时速率 v 和时间 t 的函数关系 v（t）可知，在 tt0和 tt1两时刻的

17、瞬时速率分别为 v（t0）和 v（t1）v（t0+t），因此在 t0到 t1这段时间间隔里 v 改变了v=v（t0+t）-v（t0）通常把vt叫做这段时间间隔里的平均加速度，记作a；00()()v ttv tvatt，（A21）举例来说，对于匀变速直线运动，根据（ A5）式有000()v tvat ，000()()v ttva tt 所以平均加速度为000000()( )()()v ttv tva ttvatvaattt（常数）对于一般的变速运动，a也是与t 有关的， 这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢，就需要取vt在0t时的极限，这就是物体在 tt0时刻的瞬时加速度 a：0000()()l

18、imlimttv ttv tvatt，（A22）（3）应用举例水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水流动为简单起见，假设水渠是直的，这时可以把 x 坐标轴取为逆水渠走向的方向（见图 A-5），于是各处渠底的高度 h便是 x的函数：h=h（x）知道了这个函数，就可以计算任意两点之间的高度差在修建水渠的时候，人们经常运用“坡度”的概念 譬如说，若逆水渠而上，渠底在 100m的距离内升高了 20cm，人们就说这水渠的坡度是0.221001000mm，因此所谓坡度，就是指单位长度内的高度差，它的大小反映着高度随长度变化的快慢程度如果用数学语言来表达，就要取一段水渠，设它的两端的坐标

19、分别为 x0和 x1， 于是这段水渠的长度为：xx1-x0根据 h和 x的函数关系 h(x)可知，在 x0和 x1=x0+x 两地 h 的数值分别为 h(x0)和 h（x1）h(x0+x)，所以在x这段长度内 h改变了：hh(x0+x)-h(x0)根据上述坡度的定义，这段水渠的平均坡度为：00()()h xxh xhkxx，（A23）前面所举例子，x 采用了 100米的数值实际上在 100米的范围内，水渠的坡度可能各处不同为了更细致地把水渠在各处的坡度反映出来，应当取更小的长度间隔x ，x 取得越小，hx就越能精确反映出 x=x0处的坡度所以在 x=x0处的坡度 k 应是0 x时的平均坡度 k

20、 的极限值，即0000()()limlimxxh xxh xhkxx，（A24）23 函数的变化率 导数前面举了三个例子，在前两个例子中自变量都是 t，第三个例子中自变量是 x这三个例子都表明，在研究变量与变量之间的函数关系时，除了它们数值上“静态的”对应关系外，往往还需要有“运动”或“变化”的观点，着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢，即函数的“变化率”概念当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前者，叫做这个变量的增量增量，通常用代表变量的字母前面加个“”来表示例如，当自变量 x 的数值由 x0变到 x1时，其增量就是x x1-x0（A25）与此对应 因变量 y 的数值将由 y0f(x0

21、)变到 y1=f(x1)， 它的增量为y y1-y0=f(x1)f(x0)f(x0+x)f(x0) （A 26）应当指出，增量是可正可负的，负增量代表变量减少增量比00()()f xxf xyxx，（A27）可以叫做函数在 xx0到 xx0+x 这一区间内的平均变化率， 它在x0时的极限值叫做函数 yf(x)对 x 的导数或微商，记作 y或 f (x)，0000()()( )limlimxxf xxf xyyfxxx，（A28）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载除 y 或( )fx 外，导数或微

22、商还常常写作dydx、dfdx、ddx等其它形式导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该点的变化率应当指出，函数 f(x)的导数 f(x)本身也是 x的一个函数，因此可以再取它对 x的导数，这叫做函数 yf(x)的二阶导数，记作 y 、( )fx 、22d ydx等；22( )()( )d yddydyfxfxdx dxdxdx，（A29）据此类推，则不难定义出高阶的导数来有了导数的概念，前面的几个实例中的物理量就可表示为：瞬时速率：dsvdt，（A30）；瞬时加速度：22dvd sadtdt，（A31）；水渠坡度：dhkdx，（A32）24 导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极

23、限的基础上的如图 A-6所示，为了确定曲线在 P0点的切线，先在曲线上 P0附近选另一点 P1，并设想 P1点沿着曲线向 P0点靠拢P0P1的联线是曲线的一条割线，它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角 来描述从图上不难看出，P1点愈靠近 P0点， 角就愈接近一个确定的值 0，当 P1点完全和 P0点重合的时候，割线 P0P1变成切线 P0T， 的极限值 0就是切线与横轴的夹角在解析几何中，把一条直线与横坐标轴夹角的正切 tan叫做这条直线的斜率斜率为正时表示 是锐角，从左到右直线是上坡的（见图 A-7a）；斜率为负时表示 是钝角，从左到右直线是下坡的（见图 A-7b）现在来研究图 A-6 中割线

24、 P0P1和切线 P0T的斜率设 P0和 P1的坐标分别为（x0，y0）和（x0+x，y0+y），以割线 P0P1为斜边作一直角三角形P0P1M，它的水平边 P0M 的长度为x，竖直边 MP1的长度为y，因此这条割线的斜率为：10tanMPyP Mx如果图 A-6中的曲线代表函数 y=f(x)，则割线 P0P1的斜率就等于函数在0 xx 附近的增量比yx，切线0PT 的低斜率0tan是10PP 时，割线 P0P1斜率的极限值，即10100tanlim tanlim( )PPPPyfxx；所以导数的几何意义是切线的斜率 3导数的运算在上节里只给出了导数的定义，本节将给出以下一些公式和定理，利用它

25、们可以把常见函数的导数求出来31 基本函数的导数公式（1）yf(x)C(常量)：00()( )( )limlim0 xxf xxf xCCyfxxx；（2）yf(x)x：000()( )()( )limlimlim1xxxf xxf xxxxxyfxxxx；（3）yf(x)=x2：22000()( )()( )limlimlim(2)2xxxf xxf xxxxyfxxxxxx；（4）yf(x)x3：33222000()( )()( )limlimlim33() 3xxxf xxf xxxxyfxxx xxxxx；（5）yf(x)1x：0()( )( )limxf xxf xyfxx011li

26、mxxxxx200()11limlim()()xxxxxxx xxxx xx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载（6）yf(x)x ：000()( )( )limlimlimxxxf xxf xxxxxxxxxxyfxxxxxxx2200()()11limlim()2xxxxxxxxxxxxx上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式：当nyx时，1nndxynxdx，（n为任何数），（A33）例如：当1n时，( )yf xx，1dxydx；当2n时，2( )yf xx，22dxyxdx；当3n时，3

27、( )yf xx，323dxyxdx；当1n时，11( )yf xxx，2211()( 1)dyxdx xx；当12n时，12( )yf xxx，121122dxyxdxx；等等利用（A33）式还可以计算其它幂函数的导数（见表 A-2）除了幂函数nx 外，物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数现在只给出这些函数的导数公式（见表 A-2）而不推导，解题时可以直接引用32 有关导数运算的几个定理定理一： ( )( )ddudvu xv xdxdxdx，（A34）证明：00 ( )( )limlimxxduvuvdudvu xv xdxxxxdxdx定理二： ( )( )( )( )

28、ddudvu xv xv xu xdxdxdx，（A35）证明：00 ( ) ( )u(x) v(x)v( )( ) ( )( )limlimxxdu xu v xvxuu xvu vu xv xdxxx0lim( )( )( )( )xuvdudvv xu xv xu xxxdxdx表 A-2基本导数公式函数 y=f(x) 导数 y= f(x) 函数 y=f(x) 导数 y= f(x) c(任意常量) 0 12n，121xx3321212()xxxn(n为任意常量) nxn-132n，3321()xx5523232()xxn=1，x1 n=2，x22xsinxcos xn=3，x33x2co

29、sxsin x1n，11xx221( 1)xxln x1x2n，221xx332( 2)xxxexe12n，121xx121212xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载定理三：2( )( )( )( ) ( )dudvv xu xdu xdxdxdx v xv x，（A36）证明：000( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )limlimlim( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxu xuu xdu xu xu v xv xv u xv xuu xvv x

30、vv xdx v xxv xv v xxv xv v xx20( )( )( )( )lim ( ) ( ) ( )xuvdudvv xu xv xu xxxdxdxv xv v xv x定理四： ( )ddu dvu v xdxdv dx，（A37）证明：00 () ( )()( ) ( )limlimxxdu v xxu v xu vvv vvu v xdxxvx00()( )lim limxxu vvv vvdu dvvxdv dx例 1求22yxa（a为常量）的导数解：22202dydxdaxxdxdxdx例 2求lnxya（a为常量）的导数解：lnln110dydxdadxdxdxx

31、x例 3求2yax（a 为常量）的导数解：222022dydadxxaxaxaxdxdxdx例 4求2xyx e的导数解：22222(2)xxxxxdydxdeexx exexxedxdxdx例 5求23251xyx的导数解：2222222(32)(51)(51)(32)6(51)(32) 515610(51)(51)(51)dxdxxxdyxxxxxdxdxdxxxx例 6求tanyx 的导数解：2222sincoscossinsincoscossin(sin)1(tan )()seccoscoscoscosdxdxxxdyddxxxxxdxdxxxdxdxdxxxxx例 7求cos()ya

32、xb （a、b为常量）的导数解：令vaxb，( )cosyu vv ，则(sin )sin()dydu dvvaaaxbdxdv dx例 8求21yx的导数解：令21vx，( )yu vv，则21221dydu dvxxdxdvdxvx例 9求22axyx e（a为常量）的导数解：令vue ，2vax ，则2222222( 2)2 (1)vaxdydxdu dvuxxuxeaxxaxedxdxdv dx 4微分和函数的幂级数展开41 微分自变量的微分，就是它的任意一个无限小的增量 x用 dx代表 x的微分，则 dx=x（A38）一函数 y=f(x)的导数 f(x)乘以自变量的微分 dx即为该函

33、数的微分，用 dy或 df(x)表示， 即 dy=df(x)=f (x)dx， （A 39）所以( )dyfxdx，（A40）在之前曾把导数写成dydx的形式，是把它作为一个整体引入的当时它虽然表面上具有分数的形式，但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分在引入微分的概念之后，就可把导数看成微分dy 与 dx之商（所谓“微商”），即一个真正的分数了把导数写成分数形式，常常是很方便的，例如，把上节定理四（ A37）式的左端 ( )du v xdx简写成dudx，则该式化为dudu dvdxdv dx；此公式从形式上看和分数运算法则一致，很便于记忆精选学习资料 - - - -

34、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载下面看微分的几何意义图 A-8是任一函数 yf(x)的图形，P0（x0，y0）和 P1（x0+x，y0+y）是曲线上两个邻近的点，P0T 是通过 P0的切线直角三角形P0MP1的水平边0P Mx，竖直边1MPy（见图8A）设0PT 与1MP 的交点为 N ，则0tanMNMNNP MxPM，但0tanNPM 为切线 P0T的斜率，它等于 x=x0处的导数 f(x0)，因此00()tandyfxxNP MxMN所以微分 dy在几何图形上相当于线段 MN 的长度，它和增量1yMP相差1NP一段长

35、；从上一节计算导数时取极限的过程可以看出， dy 是y 中正比于x 的那一部分，而1NP则是正比于(x)2以及x 更高幂次的各项之和例如对于函数 y=f(x)x3，y3x2x3x(x)2()3，而 dy=f (x)x=3x2x当x很小时，（x）2、（x）3、比x小得多，1NP也就比dy 小得多，所以可以把微分 dy 叫做增量y 中的线性主部也就是说，若函数在 x=x0的地方像线性函数那样增长，则它的增量就是 dy42 幂函数的展开已知一个函数 f(x)在 xx0一点的数值 f(x0)，如何求得其附近的点 xx0+x 处的函数值 f(x)f(x0+x)？若 f(x)为 x的幂函数nx ，可以利用

36、牛顿的二项式定理：23000000000(1)(1)(2)( )()1()()1()()1()()()2!3!nnnnnxxxn nxn nnxf xxxxxf xf xnxxxxx000(1)(1)()()!nmmn nnmxf xmx，（A41）此式适用于任何 n（整数、非整数、正数、负数等等）若n 为正整数，则上式中的级数在 Mn 的地方截断，余下的项自动为 0，否则上式为无穷级数不过当xx0时，后面的项越来越小，只需保留有限多项就足够精确了不要以为数学表达式越精确越好如图 A-9中 A、B两点间的水平距离为 l，若将 B点竖直向上提高一个很小的距离 a(al)到达 B，问 AB之间的距

37、离比 AB增加了多少？利用勾股定理易得距离的增加量为22llal这是个精确的公式，但没有给出一个鲜明的印象，究竟l 是随 a 怎样变化的？若用二项式定理将它展开，只保留到最低级的非 0项，则有12222221 1( )11( ) 1 1()1()222aaalaalllllllll，即l 是正比于 a平方增长的，属二级小量这种用幂级数展开来分析主要变化趋势的办法，在物理学里是经常用到的43 泰勒展开非幂函数(譬如 sinx、ex)如何作幂级数展开？这要用泰勒 (Taylor)展开下面用一种不太严格，但简单明了的办法将它导出假设函数 f(x)在 x=x0处的增量f=f(x)f(x0)能够展成xx

38、x0的幂级数：001( )()()mmmf xf xaxx，（A 42）则通过逐项求导可得101( )()mmmfxmaxx；当 xx0时，m1的项都趋于 0，于是有 f(x0)a1；再次求导，得202( )(1)()mmmfxm maxx， 当 xx0时，m2 的项都趋于 0， 于是有 f(x0)2a2；如此类推，一般地说，对于M阶导数有()0()!MMfxMa；于是(A42)式可以写为：()000()( )()()!mmmMfxf xf xxxm，(A43)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载

39、若定义第 0 阶导数 f(0)(x)就是函数 f(x)本身，则上式还可进一步简写为：()000()( )()!mmmfxf xxxm，(A44)上述(A43)或(A44)式称为泰勒展开式，它在物理学中是非常有用的公式下面在表A-3中给出几个常见函数在x00或1处的泰勒展开式表 A-3 常见函数的幂级数展开式函数展开式收敛范围12(1)x23411 11 1 31 1 3 5122 42 4 62 4 6 8xxxx1x32(1)x23433 13 1 13 1 1 3122 42 4 62 4 6 8xxxx1x52(1)x23455 35 3 15 3 1 1122 42 4 62 4 6

40、8xxxx1x12(1)x23411 31 3 51 3 5 7122 42 4 62 4 6 8xxxx1x32(1)x23433 53 5 73 5 7 9122 42 4 62 4 6 8xxxx1x52(1)x23455 75 7 95 7 9 11122 42 4 62 4 6 8xxxx1x1(1)x2341xxxx1x2(1)x23412345xxxx1xsinx3573!5!7!xxxxxcosx24612!4!6!xxxxtanx35791217623153152835xxxxxxxe23411!2!3!4!xxxxxln(1)x234234xxxx11xln(1)x234(

41、)234xxxx11x 5积分51 几个物理中的实例（1）变速直线运动的路程大家都熟悉匀速直线运动的路程公式若物体的速率是 v，则它在 ta到 tb一段时间间隔内走过的路程是 sv(tbta)，(A45)对于变速直线运动来说，物体的速率 v 是时间的函数：vv(t)，函数的图形是一条曲线 (见图 A-10a)，只有在匀速直线运动的特殊情况下，它才是一条直线 (参见图 A-4b)对于变速直线运动， (A.45)式已不适用但是，可以把 tta到 ttb这段时间间隔分割成许多小段，当小段足够短时，在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的这样一来，物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动

42、的公式来计算，然后把各小段时间里走过的路程都加起来，就得到 ta到 tb这段时间里走过的总路程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载设时间间隔(tbta)被 tt1(=ta)、t2、t3、tn、tb分割成 n 小段，每小段时间间隔都是t，则在 t1、t2、t3、tn各时刻速率分别是 v(t1)、v(t2)、v(t3)、v(tn)若把各小段时间的速率 v 看成是不变的，则按照匀速直线运动的公式，物体在这些小段时间走过的路程分等于 v(t1)t、v(t2)t、v(t3)t、v(tn)t于是，在整个(tb

43、-ta)这段时间里的总路程是1231( )()( )()( )nniisv ttv ttv ttv ttv tt ，(A46)现在再看看上式的几何意义在函数 vv(t)的图形中，通过 t=t1、t2、 t3、 tn各点垂线的高度分别是 v(t1)、v(t2)、v(t3)、 、 v(tn)(见图 A-10b)， 所以 v(t1)t、 v(t2)t、 v(t3)t、 、 v(tn)t就分别是图中那些狭长矩形的面积，而1( )niiv tt则是所有这些矩形面积的总和，即图中画了斜线的阶梯状图形的面积在上面的计算中，把各小段时间t里的速率v看做是不变的，实际上在每小段时间里v多少还是有些变化的，所以上

44、面的计算并不精确要使计算精确，就需要把小段的数目 n加大，同时所有小段的t 缩短(见图 A-10c)t 越短，在各小段里v就改变得越少，把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况所以要严格地计算变速运动的路程 s，就应对(A46)式取 n 、t0的极限，即01lim( )nitinsv tt，(A47)当 n越来越大， t 越来越小的时候， 图 A-10中的阶梯状图形的面积就越来越接近 v(t)曲线下面的面积(图 A-10d) 所以(A47)式中的极限值等于(tbta)区间内 v(t)曲线下的面积总之，在变速直线运动中，物体在任一段时间间隔 (tbta)里走过的路程要用(A47)式来计算，

45、这个极限值的几何意义相当于这区间内 v(t)曲线下的面积（2）变力的功当力与物体移动的方向一致时，在物体由位置 ssa移到 ssb的过程中，恒力 F对它所作的功为：AF(sbsa)（A48)；若力 F是随位置变化的，即 F 是 s的函数：FF(s)，则不能运用(A48)式来计算力 F 的功此时，也需要象计算变速运动的路程那样，把 (sbsa)这段距离分割成 n个长度为s 的小段(见图 A-11)：并把各小段内力 F 的数值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式计算出每小段路程 s 上的功，然后加起来取n 、s0的极限值具体地说，设力 F 在各小段路程内的数值分别为 F(s1)、F(s2)、F(s3

46、)、F(sn)，则在各小段路程上力 F 所作的功分别为 F(s1)s、F(s2)s、F(s3)s、F(sn)s，在(sbsa)整段路程上力 F 的总功 A就近似地等于1()niiF ss ；因为实际上在每一小段路程上加F都是变化的，所以严格地计算，还应取 n 、s0的极值，即01lim()nitinAF ss，(A49)同上例，这极限值应是(sbsa)区间内 F(s)下面的面积(见图 A-12)52 定积分以上两个例子表明，许多物理问题中需要计算象(A47)和(A49)式中给出的那类极限值概括起来说，就是要解决如下的数学问题：给定一个函数 f(x)，用 xx1(=a)、x2、 x3、xn、b

47、把自变量 x 在(ba)区间内的数值分成 n 小段，设每小段的大小为x，求 n 、x0时1()niif xx 的极限；通常把这类形式的极限用符号( )baf x dx 来表示，即01( )lim()nbiaxinf x dxf xx，(A50)；( )baf x dx叫做xa到 xb区间内( )f x 对x的定积分，( )f x 叫做被积函数，b和 a分别叫做定积分的上限和下限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载用定积分的符号来表示，(A47)和(A49)式可分别写为( )battsv t dt

48、 ，(A51)、( )bassAF s ds，(A52)在变速直线运动的路程公式(A51)里，自变量是 t，被积函数是 v(t)，积分的上、下限分别是 tb和 ta；在变力作功的公式(A52)里，自变量是 s，被积函数是 F(s)，积分的上、下限分别是 sb和 sa求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理：若被积函数 f(x)是某个函数 ( x)的导数，即 f(x)=(x)，则在 xa到 xb 区间内 f(x)对 x的定积分等于 ( x)在这区间内的增量，即( )( )( )baf x dxba ，(A53)下面来证明上述定理在 a x b区间内任选一点 xi，首先考虑 ( x)在

49、 x=xi到 x=xi+x=xi+1区间的增量( xi)= (xi+1)-( xi)：()()iixxxx，当0 x时，可用 ( x)的导数( )dxdx代替x；但按照定理的前提，(x)=f(x)，故( xi) (xi)x=f(xi)x 式中 表示“近似等于”，若取x0的极限，上式就是严格的等式把 a x b区间分成 n1小段，每段长x；上式适用于每小段根据积分的定义和上式，有：12112100( )lim()()()lim()()()bnnaxxnnf x dxf xxf xxf xxxxx2132110lim()()()()()()()()nnnxnxxxxxxxx因 x1a，xnb，于是

50、得(A.53)式，至此定理证毕下面看看函数 ( x)在 f-x 图(见图 A-13)中所表现的几何意义如前所述，( xi)= (xi+1)-( xi)=f(xi)x，正是宽为x、高为()iiif xx P的一个矩形（即图13A中的1iiix xNP ）的面积它和曲线段 PiPi+1下面的梯形 xixi+1Pi+1Pi的面积只是相差一小三角形 PiNPi1的面积当x0时，可认为( xi)就是梯形 xixi+1Pi+1Pi的面积既然当 x 由 xi变到 xi+1时，( x)的增量的几何意义是相应区间 f-x 曲线下的面积，则 ( x)本身的几何意义就是从原点 O 到 x区间 f-x 曲线下面的面积