（公开课）三角函数的诱导公式.ppt

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1、 三角函数的三角函数的 诱导公式诱导公式同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系平方关系平方关系:商数关系商数关系:1cossin22cossintan),2(Zkk),2(Zkk同一个角同一个角 的正弦、余弦的平的正弦、余弦的平方和等于方和等于1，商等于角，商等于角 的正的正切。切。1.3 1.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 +、- 、 -的诱导的诱导问题提出问题提出t57301p21.1.任意角任意角的正弦、余弦、正切是怎样的正弦、余弦、正切是怎样定义的？定义的？的终边的终边P(xP(x，y)y)O Ox xy ysinycosxtan(0)yxx2. 2k2. 2k（kZk

2、Z）与）与的三角函数的三角函数之间的关系是什么？之间的关系是什么？公式一：公式一： sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ（ )3.3.你能求你能求sin750sin750和和sin930sin930的值吗？的值吗？21？4.4.利用公式一，可将任意角的三角函数利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为值，转化为0 00 03603600 0范围内的三角函数范围内的三角函数值值. .其中锐角的三角函数是我们熟悉的，其中锐角的三角函数是我们熟悉的，而对于而对于90900 03603600 0范围内的三角函数值，范围内的三角函数值，能否转化为锐角的三角函数值，这就是能否转

3、化为锐角的三角函数值，这就是我们需要研究和解决的问题我们需要研究和解决的问题. .的终边的终边xy yo o+的终边的终边思考：思考：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角，角，角的终边与角的终边与角的终边有什么关系？的终边有什么关系？思考：思考：设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P P（x x，y y），则角），则角的终边与单位圆的终边与单位圆的交点坐标如何？的交点坐标如何？的终边的终边xy yo o+的终边的终边P(xP(x，y)y)Q(-xQ(-x，-y)-y)思考：思考：根据三角函数定义，根据三角函数定义，sinsin（） 、coscos（）、）、tantan（）的值分

4、别是什么？）的值分别是什么？的终边的终边xy yo o+的终边的终边P(xP(x，y)y)Q(-xQ(-x，-y)-y)sin(sin()=-y)=-ycos(cos()=-x)=-xtan(tan()=)=yx思考：思考：对比对比sinsin，coscos，tantan的值，的值，的三角函数与的三角函数与的三角函数有什的三角函数有什么关系？么关系？ 公式二：公式二： tan)tan(cos)cos(sin)sin(知识探究（二）：知识探究（二）：-，-的诱导公式：的诱导公式： 思考：思考：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角，的终边与的终边与的终边有什么关系？的终边有什么关系？ y y的

5、终边的终边xo o- -的终边的终边思考：思考：设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点 P P（x x，y y），则），则的终边与单位圆的交的终边与单位圆的交点坐标如何？点坐标如何？y y的终边的终边xo o- -的终边的终边P(x,yP(x,y) )P(x,-yP(x,-y) )xyxy)tan()cos()sin( 公式三：公式三： tan)tan(cos)cos(sin)sin(思考：思考：根据三角函数定义，根据三角函数定义，的三角的三角函数与函数与的三角函数有什么关系？的三角函数有什么关系？y y的终边的终边xo o- -的终边的终边P(x,yP(x,y) )P(x,-yP(

6、x,-y) )思考：思考：利用利用( ()，结合公式二、，结合公式二、三，你能得到什么结论？三，你能得到什么结论？ 公式四：公式四： tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(思考：思考：公式一四都叫做诱导公式，他公式一四都叫做诱导公式，他们分别反映了们分别反映了2k2k（kZkZ），），的三角函数与的三角函数与的三角的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？公式的共同特点和规律吗？ 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系平方关系平

7、方关系:商数关系商数关系:1cossin22cossintan),2(Zkk),2(Zkk同一个角同一个角 的正弦、余弦的平的正弦、余弦的平方和等于方和等于1，商等于角，商等于角 的正的正切。切。tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tank 2k2k（kZkZ），），的三角函数值，的三角函数值，等于等于的同名函数值的同名函数值，再放上再放上将将当作锐角当作锐角时原函数值的符号时原函数值的符号. . 利用诱导公式一四，可以求任意角利用诱导

8、公式一四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：的三角函数，其基本思路是：这是一种化归与转化的数学思想这是一种化归与转化的数学思想. .任意负角的任意负角的三角函数三角函数任意正角的任意正角的三角函数三角函数0 022的角的角的三角函数的三角函数锐角的三角锐角的三角函数函数tan32cos()3sin()4cos()sin(2)例例3 3已知：已知：，求的值。2cos3sin23tan74cossin4tan tan3解：原式3sin5 tan cos(3)sin(5)例4已知，且是第四象限角，求的值。tan cos(3)sin(5)tan cos()sin()tan( cossin)tans

9、intancossin(tan1)43cos,tan54 2120解：由已知得：， 原式理论迁移理论迁移例例1 1 求下列各三角函数的值：求下列各三角函数的值：cos225) 1 (311sin)2()316sin(-)3()cos(-2040)4(31 例例2 2 已知已知cos(cos(x x) ) ，求下列，求下列各式的值：各式的值：（1 1）cos(2cos(2x x) )；（；（2 2）cos(cos(x x).). 例例3 3 化简：化简：（1 1） ；（2 2） .)-cos(-180)180-sian(-)360sin()cos(180tan585)cos(-350)210(s

10、incos1902.2.诱导公式一四要灵活应用，要点：诱导公式一四要灵活应用，要点：负化正，大化小，化至锐角解决了！负化正，大化小，化至锐角解决了！小结小结1.1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立恒成立. .3.3.利用诱导公式一四，可以求任意利用诱导公式一四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：角的三角函数，其基本思路是：这是一种化归与转化的数学思想这是一种化归与转化的数学思想. .任意负角的任意负角的三角函数三角函数任意正角的任意正角的三角函数三角函数0 022的角的角的三角函数的三角函数锐角的三角锐角的三角函数函数 作业：作业： P27P2

11、7练习：练习：1 1，2 2，3 3，4.4.1.3 1.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式第二课时第二课时问题提出问题提出1.1.诱导公式一、二、三、四分别反映了诱导公式一、二、三、四分别反映了2k+2k+（kZkZ）、）、 与与的三角函数之间的关系，这的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是什么？四组公式的共同特点是什么？cosxcosx函数函数同名同名，象限，象限定号定号. . 对形如对形如、的角的三角函数的角的三角函数可以转化为可以转化为角的三角函数，对形角的三角函数，对形如如 、 的角的三角函数与的角的三角函数与角角的三角函数，是否也存在着某种关系？的三角函数，是否也存在着

12、某种关系？这需要我们作进一步的探究！这需要我们作进一步的探究！22pa+思考思考1 1：sinsin（90906060）与）与sin60sin60的值相等吗？相反吗？的值相等吗？相反吗？思考思考2 2：sinsin（90906060) )与与cos60cos60，coscos（90906060）与）与sin60sin60的值分别的值分别有什么关系？据此，你有什么猜想？有什么关系？据此，你有什么猜想？2cos)2(sin知识探究（一）：知识探究（一）： 的诱导公式的诱导公式 2cos)2(sincos()si n2paa-=cos)2(sin思考思考3 3：如果如果为锐角，你有什么办法证为锐角，

13、你有什么办法证明明 ， ？cos()si n2paa-=a ab bc c2pa-si n()cos2bcpaa-=cos()si n2acpaa-=思考思考5 5：点点P P1 1（x x，y y）关于直线）关于直线y=xy=x对称对称的点的点P P2 2的坐标如何？的坐标如何？思考思考4 4：若若为一个任意给定的角，那么为一个任意给定的角，那么 的终边与角的终边与角的终边有什么对称关的终边有什么对称关系？系？2的终边的终边Oxy的终边的终边2思考思考6 6：设角设角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点为为P P1 1（x x，y y），则），则 的终边与单的终边与单位圆的交点为位圆的交

14、点为P P2 2（y y，x x），根据三角函），根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？数的定义，你能获得哪些结论？2的终边的终边P P1 1(x(x，y)y)Oxy的终边的终边2P P2 2(y(y，x)x) 公式五：公式五： sin)2cos(cos)2sin(知识探究（二）：知识探究（二）： 的诱导公式的诱导公式 2)2(cos)2cos()2(sin)2sin(思考思考2 2： 与与 有什么内在联系？有什么内在联系？22cos)2sin(sin)2cos()2(2 公式六：公式六： sin)2cos(cos)2sin(思考思考6 6：正弦函数与余弦函数互称为异名正弦函数与余弦函数互称为

15、异名函数，你能概括一下公式五、六的共同函数，你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？特点和规律吗？sin)2cos(cos)2sin(sin)2cos(cos)2sin( 的三角函数值，的三角函数值，等于等于的同的同名函数值名函数值，再放上，再放上将将当作锐角当作锐角时原函数时原函数值的符号值的符号. . 2思考思考5 5：根据相关诱导公式推导，根据相关诱导公式推导，3si n(),2pa-3cos(),2pa-3si n(),2pa+)23cos(cossincossin思考思考7 7：诱导公式可统一为诱导公式可统一为的三角函数与的三角函数与的三角函数之间的关系，的三角函数之间的关系，你有

16、什么办法记住这些公式？你有什么办法记住这些公式？)Zk(2k奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限.理论迁移理论迁移例例1 1 化简：化简：)29)sin(-)sin(-)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2 例例2 2 已知已知 ，求，求 的值的值32)6(cos)32(sin 例例3 3 已知已知 ，求，求 的值的值. .31)30(sin)60(sin1)60(cos)30(tan12.2.诱导公式是三角变换的基本公式，其诱导公式是三角变换的基本公式，其中角中角是任意角，应用时要注意整体把是任意角，应用时要注意整体把握、灵活变通握、灵活变通. .小结作业1.1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，律性，“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限”，是，是记住这些公式的有效方法记住这些公式的有效方法. .作业作业: :