《管理运筹学》第3章--线性规划的对偶问题.ppt

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1、OR:SM2第一节第一节 线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论第二节第二节 对偶单纯形法对偶单纯形法OR:SM3 每一个线性规划问题都有一个与之相伴随的另一个问题。每一个线性规划问题都有一个与之相伴随的另一个问题。这两个问题：一是，在数学模型上有着对应关系；二是，从这两个问题：一是，在数学模型上有着对应关系；二是，从一个问题的最优解完全可以得出另一个问题最优解的全部信一个问题的最优解完全可以得出另一个问题最优解的全部信息。息。 3.1.1 3.1.1 问题的提出问题的提出 例例1 引入一个资源价格问题。引入一个资源价格问题。OR:SM4某企业生产甲、乙两种某企业生产甲、乙两种产品，需消耗产品，

2、需消耗A A、B B、C C三种材料。据市场分析，单位甲、乙三种材料。据市场分析，单位甲、乙产品的销售收益分别为产品的销售收益分别为4 4万元和万元和5 5万元。单位甲、乙产品对万元。单位甲、乙产品对材料的消耗量及材料的供应量如表材料的消耗量及材料的供应量如表3.13.1所示。所示。 原问题：原问题：应如何制定生产计划，使总收益为最大。应如何制定生产计划，使总收益为最大。 表表3.13.1 产品材料 甲乙供应量供应量A1145B2180C1390收益收益4万元万元/单甲单甲5万元万元/单乙单乙OR:SM51212121212max( )4545280s.t.(31)390,0Z xxxxxxx

3、xxxx设计划安排：设计划安排：x x1 1为甲产品的产量，为甲产品的产量， x x2 2为乙产品的产量。（决策变量）为乙产品的产量。（决策变量）则，该问题的数学模型为：则，该问题的数学模型为：1245/ 2,45/ 2( )405/ 2xxZ xOR:SM6 新问题：新问题：现在从另一角度来讨论这个问题。现在从另一角度来讨论这个问题。 假设该企业经过市场预测，准备进行转产，且把现有三假设该企业经过市场预测，准备进行转产，且把现有三种材料进行转让，也恰好有一个制造商急需这批材料。于是种材料进行转让，也恰好有一个制造商急需这批材料。于是买卖双方开始对资源的出让价格问题进行磋商，希望寻找一买卖双方

4、开始对资源的出让价格问题进行磋商，希望寻找一个双方都认为比较满意的合理价格。个双方都认为比较满意的合理价格。 分析：分析：设设A、B、C三种材料的单价分别为三种材料的单价分别为y1、y2、y3. 对于卖方来说，对于卖方来说，生产单位甲产品所获收益为生产单位甲产品所获收益为4万元，为万元，为保证其总收入不少于保证其总收入不少于405/2万元，则将生产单位甲产品所需资万元，则将生产单位甲产品所需资源转让出去，该企业的收入不能少于源转让出去，该企业的收入不能少于4万元。故万元。故y1、y2、y3必必须满足约束条件：须满足约束条件： y1+2y2+y34 同样，将生产单位乙产品所需的资源转让出去，其收

5、入同样，将生产单位乙产品所需的资源转让出去，其收入不能少于生产单位乙产品的收益不能少于生产单位乙产品的收益5万元，所以万元，所以y1、y2、y3还必还必须满足约束条件：须满足约束条件： y1+y2+3y35OR:SM7 对于买方来说，对于买方来说，他希望在满足上述约束条件下使总的他希望在满足上述约束条件下使总的支出支出 W（y） =45y1+80y2+90y3 达到最小。达到最小。 综上所述，资源价格问题的数学模型可描述为：综上所述，资源价格问题的数学模型可描述为： 123123123123min( )45809024s.t.35(32),0W yyyyyyyyyyyyy 上述两个模型（上述两

6、个模型（3-1）和（）和（3-2）是对同一问题的两种不）是对同一问题的两种不同考虑的数学描述，其间有着一定的内在联系，将逐一剖同考虑的数学描述，其间有着一定的内在联系，将逐一剖析。析。OR:SM8 首先，分析这两个模型之间的对应关系：首先，分析这两个模型之间的对应关系： （1 1）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“”类类型，另一个问题的目标为极小化，约束条件为型，另一个问题的目标为极小化，约束条件为“”类型；类型； （2 2）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个数；数； （3 3）一个问题的右端

7、常数（约束系数）是另一个问题的）一个问题的右端常数（约束系数）是另一个问题的目标函数的系数（成本系数）；目标函数的系数（成本系数）； （4 4）两个问题的系数矩阵互为转置。）两个问题的系数矩阵互为转置。 我们把这种对应关系称为我们把这种对应关系称为对偶关系对偶关系。如果把（。如果把（3-13-1）称为）称为原始问题，则（原始问题，则（3-23-2）称为对偶问题。）称为对偶问题。OR:SM9 3.1.2 3.1.2 对称型线性规划问题对称型线性规划问题对称型对偶问题对称型对偶问题 每一个线性规划问题都必然有与之相伴随的对偶问每一个线性规划问题都必然有与之相伴随的对偶问题存在。先讨论对称型对偶问题

8、；对于非对称型对偶问题存在。先讨论对称型对偶问题；对于非对称型对偶问题，可以先转化为对称型，然后再进行分析，也可以直题，可以先转化为对称型，然后再进行分析，也可以直接从非对称型进行分析。接从非对称型进行分析。 对称型线性规划问题对称型线性规划问题数学模型的一般形式为数学模型的一般形式为11221111221121122222112212max( )s.t.(33),0nnnnnnmmmnnmnZ xc xc xc xa xa xa xba xa xaxbaxaxaxbx xxY1Y2ymOR:SM10 这种模型的特点是：这种模型的特点是： （1 1）目标函数是最大化类型）目标函数是最大化类型(

9、 (或是最小化类型或是最小化类型) )； （2 2）所有约束条件都是）所有约束条件都是“”型（或都是型（或都是“”型）；型）； （3 3）所有决策变量都是非负的。）所有决策变量都是非负的。 如果把（如果把（3-33-3）作为原始问题，根据原始与对偶问题）作为原始问题，根据原始与对偶问题的对应关系可得（的对应关系可得（3-33-3）的对偶问题为）的对偶问题为11221112121112122222112212min( )s.t.(34),0mmmmmmnnmnmnmW yb yb yb ya ya ya yca ya yayca ya yaycy yyOR:SM11 用矩阵表示的原始问题（用矩阵

10、表示的原始问题（3-33-3）和对偶问题（）和对偶问题（3-43-4）为）为 其中其中Y=Y=（y y1 1,y,y2 2,y,ym m）, ,其它同前其它同前。 3.1.3 3.1.3 一般问题的对偶问题一般问题的对偶问题非对称型对偶问题非对称型对偶问题 线性规划有时以非对称型出现，那么如何从原始问题写线性规划有时以非对称型出现，那么如何从原始问题写出它的对偶问题呢？出它的对偶问题呢？max( )s.t.0Z xCXAXbXmin( )s.t.0WyYbYACYOR:SM12 例例1 写出下列线性规划的对偶问题写出下列线性规划的对偶问题2313123123123m ax()252266s.t

11、.30,0ZxxxxxxxxxxxxxxOR:SM13 转换成转换成对称型对称型123123123123123123m ax()02502266s.t.3030,0Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Y1Y2Y/3y/333/1233/1233/123/1233/123min( )26002002s.t.6335,0Wyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy OR:SM14 再设再设y y/ /3 3-y-y/3 3=y=y3 3，代入上述模型得，代入上述模型得：123123123123123min( )2602002s.t.635,0;?Wyyyyyyyyyyyyyyyy OR:SM

12、15 例例2 2 将例将例1 1模型中的模型中的x x2 2改为无非负约束变量，即模型为改为无非负约束变量，即模型为 写出其对偶问题写出其对偶问题2313123123132m ax( )252266s.t.30,0;?ZxxxxxxxxxxxxxxOR:SM16 令令x2=x2-x2. .其中其中x2,x20 转换成转换成对称型对称型222/ /123/ /123/ /1223/ /1223/ /1223/ /123m ax()0225002266s.t.3030,0Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Y1Y2Y/3y/3OR:SM1733/1233/1233/123/123

13、3/1233/123min( )26002002s.t. 026335,0W yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy 123123123123123min( )2602002s.t.635,0,?Wyyyyyyyyyyyyyyyy OR:SM18 综合上述两个例子，可以看出，线性规划与其对偶模型综合上述两个例子，可以看出，线性规划与其对偶模型的关系有了新的拓展：的关系有了新的拓展： （1 1）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为）一个问题的目标函数为极大化，约束条件为“”或或“=”=”类型，另一个问题的目标为极小化，约束条件为类型，另一个问题的目标为极小化，约束条件为“”或或“=

14、”=”类型；类型； （2 2）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个）一个问题的变量个数等于另一个问题的约束条件个数；数； （3 3）一个问题的右端常数（约束系数）是另一个问题的）一个问题的右端常数（约束系数）是另一个问题的目标函数的系数（成本系数）；目标函数的系数（成本系数）； （4 4）两个问题的系数矩阵互为转置）两个问题的系数矩阵互为转置; ; （5 5）一个问题的第）一个问题的第i i个约束为个约束为“=”=”，则另一个问题的第，则另一个问题的第i i个变量为个变量为“无非负约束变量无非负约束变量”（自由变量）。反之，一个问（自由变量）。反之，一个问题的第题的第i i个变量为个变

15、量为“无非负约束变量无非负约束变量”，则另一个问题的第，则另一个问题的第i i个约束为个约束为“=”=”（方程）。（方程）。OR:SM19原始问题原始问题(或对偶问题或对偶问题)对偶问题对偶问题(或原问题或原问题) 目标目标 max 目标目标 min 变量变量 n个个 约束约束 n个个 变量变量 0 0 无非负约束无非负约束 约束约束 =（方程）（方程） 约束约束 m个个 变量变量 m个个 约束约束 = （方程）（方程） 变量变量 0 0 无非负约束无非负约束系数矩阵系数矩阵bc转置转置cbOR:SM20 这样对于任意给定的一个线性规划问题，均可依据上述这样对于任意给定的一个线性规划问题，均可

16、依据上述对应关系对应关系直接写出其对偶问题模型直接写出其对偶问题模型，而无须先化成对称型。，而无须先化成对称型。 例例3 3 写出下列线性规划的对偶问题写出下列线性规划的对偶问题123123123123123m ax()221s.t.220;,?Zxxxxxxxxxxxxxxxx解：解：因目标函数为因目标函数为“max”max”类型，则约束条件应为类型，则约束条件应为“”和和“=”=”类型，故只需改变第三个约束条件的不等号方向，类型，故只需改变第三个约束条件的不等号方向，即有：即有：12322xxx OR:SM21 这样所有的约束条件均为这样所有的约束条件均为“”和和“=”类型，按前述对类型，

17、按前述对应关系原则，可写出其对偶问题为：应关系原则，可写出其对偶问题为：123123123123132min( )22212s.t.1,0,?W yyyyyyyyyyyyyyyy123123123123123m ax()221s.t.220;,?Zxxxxxxxxxxxxxxxx Y1Y2Y3OR:SM223.1.4 对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质设原始问题为：设原始问题为：则其对偶问题为：则其对偶问题为：1 1、对称性定理、对称性定理 对偶问题的对偶是原始问题。对偶问题的对偶是原始问题。 根据对偶规划，很容易写出对偶问题的对偶模型。根据对偶规划，很容易写出对偶问题的对偶模型。max(

18、),0(35)Z xCX AXb Xmin( ),0(36)W yYb YAC Y2、对偶性定理、对偶性定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值相等。目标函数值相等。OR:SM23 3.1.5 对偶问题的最优解对偶问题的最优解 重要推论：重要推论： 1.1.原始问题单纯形表中松驰变量的检验数恰好对应着对原始问题单纯形表中松驰变量的检验数恰好对应着对偶问题的一个解。偶问题的一个解。 2.2.原始问题单纯形表中原始问题单纯形表中, ,原始问题的松弛变量的检验数对原始问题的松弛变量的检验数对应于对偶问题的决策变量应于对偶

19、问题的决策变量; ;而原始问题的决策变量的检验数对而原始问题的决策变量的检验数对应于对偶问题的松弛变量应于对偶问题的松弛变量, ,只是只是符号相反符号相反。 注意：注意：在两个互为对偶的线性规划问题中，可任选一个进行在两个互为对偶的线性规划问题中，可任选一个进行求解，通常是选择约束条件少的，因求解的工作量主要受到求解，通常是选择约束条件少的，因求解的工作量主要受到约束条件个数的影响。约束条件个数的影响。OR:SM24 例例4 求解下列线性规划问题求解下列线性规划问题 解：解：该问题仅有两个变量，但约束较多，其对偶问题为该问题仅有两个变量，但约束较多，其对偶问题为12121212212m a x

20、()43687s .t .( 37 )31 51,0Zxxxxxxxxxxxx123451342345125min( )6871534s.t.3(3 8),0W yyyyyyyyyyyyyy yyY1Y2Y3Y4Y5OR:SM25 把上述问题（把上述问题（3-83-8）作为原始问题求解，其最终单纯形表见下）作为原始问题求解，其最终单纯形表见下表（表（3.33.3） 由表（由表（3.33.3）得其最优解为：）得其最优解为： 例例4 4的最优解可直接从表（的最优解可直接从表（3.33.3）的松弛变量）的松弛变量y y6、y y7的检验数中的检验数中读出，即有：读出，即有： -6 -8 -7 -15

21、 -1 0 0 Y1 y2 y3 y4 y5 Y6 y7-15y41/2 1/2 -1/2 0 1 1/2-1/2 1/2-7y35/2-1/2 3/2 1 0 -3/2 1/2 -3/2 j -2 -5 0 0 -4 -4 -351(0,0,0,0,0)2251()7152522TYW Y(4,3,2,5,0,0,4)()443325TXZ XOR:SM26 第一章中的单纯形法，是从线性规划标准型的一个基本第一章中的单纯形法，是从线性规划标准型的一个基本可行解出发，逐步迭代，使目标函数值不断改进，直到取得可行解出发，逐步迭代，使目标函数值不断改进，直到取得最优解为止。在运算过程中，必须保证解

22、的可行性，即在单最优解为止。在运算过程中，必须保证解的可行性，即在单纯形表中，始终有常数项纯形表中，始终有常数项b b/ /00。当最优性条件。当最优性条件j j00得到满得到满足时，迭代终止，这时原始问题和对偶问题同时达到最优。足时，迭代终止，这时原始问题和对偶问题同时达到最优。 单纯形法的实质单纯形法的实质保证解的可行性（常数项保证解的可行性（常数项b b/ /00）, ,通过逐步迭代，达到最优性条件（通过逐步迭代，达到最优性条件（j j0 0 ）。）。 考虑到原始和对偶问题的对称性，在求解方法上换一角考虑到原始和对偶问题的对称性，在求解方法上换一角度，即在运算过程中，始终保持其对偶问题解

23、的可行性。也度，即在运算过程中，始终保持其对偶问题解的可行性。也即在单纯形表中，始终保证最优性条件（即在单纯形表中，始终保证最优性条件（j j0 0 ），而原始），而原始问题的解未必可行（常数项问题的解未必可行（常数项 ）。）。/b 0OR:SM27 通过逐步迭代，当通过逐步迭代，当b b/ /0 0 时，终止迭代，这时原始时，终止迭代，这时原始问题和对偶问题同时达到最优。这种方法称之为对偶单问题和对偶问题同时达到最优。这种方法称之为对偶单纯形法。纯形法。 对偶单纯形法的实质对偶单纯形法的实质保证最优性条件（保证最优性条件（j j00），），通过逐步迭代，达到解的可行性（常数项通过逐步迭代，达

24、到解的可行性（常数项b b/ /0 0 ）。）。OR:SM28 3.2.1 3.2.1 对偶单纯形法的运算步骤对偶单纯形法的运算步骤 单纯形法的运算思路单纯形法的运算思路: :先从非基变量中确定进基变量先从非基变量中确定进基变量, ,再再从基变量中选择出基变量从基变量中选择出基变量( (大进大进-小出小出);); 对偶单纯形法的运算思路对偶单纯形法的运算思路: :先从基变量中确定出基变量先从基变量中确定出基变量, ,再从非基变量中选择进基变量再从非基变量中选择进基变量( (小出小出-小进小进).). 具体计算步骤如下具体计算步骤如下: : (1) (1)根据线性规划模型根据线性规划模型, ,列

25、出初始单纯形表列出初始单纯形表, ,但需保证所有但需保证所有检验数检验数j j0 .0 . (2) (2)检验检验. .若常数项若常数项b b/ /0 ,0 ,则得到最优解则得到最优解, ,停止运算停止运算; ;否则否则转下步转下步. . OR:SM29 (3) (3)基变换基变换: : 确定出基变量。在确定出基变量。在b b/ /列中，将所有负值进行比较，其列中，将所有负值进行比较，其中最小的一个分量所对应的变量为出基变量（中最小的一个分量所对应的变量为出基变量（小出小出）；）； 确定进基变量。根据确定进基变量。根据 ， 对应列的非基变量对应列的非基变量x xk k为进基变量为进基变量( (

26、小进小进) )。 迭代运算与检验。以迭代运算与检验。以 为主元素，按单纯形法进为主元素，按单纯形法进行迭代计算，得到新的单纯形表，再返回到（行迭代计算，得到新的单纯形表，再返回到（2 2）检验。）检验。/min0jksjsjskaaa/s kaOR:SM30 例例7 用对偶单纯形法求线性规划问题用对偶单纯形法求线性规划问题 解：解：首先将问题化成标准型，得首先将问题化成标准型，得123123123123min( )45809024s.t.35,0W yyyyyyyyyyyyy1231234123512345max( )45809024s.t.35,0W yyyyyyyyyyyyy yyyy O

27、R:SM31 将约束条件两端（将约束条件两端（-1-1），得），得 若令若令Y Y1 1=Y=Y2 2=Y=Y3 3=0=0，得到初始基本解：，得到初始基本解： 显然，它是一个初始基本解，但不可行。显然，它是一个初始基本解，但不可行。 再将上述模型的有关数字填入单纯形表，得下表再将上述模型的有关数字填入单纯形表，得下表3.43.4。可。可见所有检验数均小于或等于见所有检验数均小于或等于0 0，因此，可用对偶单纯形法，因此，可用对偶单纯形法求解，整个求解过程见表求解，整个求解过程见表3.43.4和表和表3.53.5。1231234123512345max( )45809024s.t.35,0W

28、yyyyyyyyyyyyy yyyy (0 )(0, 0, 0,4,5)Ycj -45 -80 -90 0 0CBYBb/ Y1 y2 y3 Y4 y50y4 -4 -1 -2 -1 1 00y5 -5 -1 -1 -3 0 1j -45 -80 -90 0 0后选：小进先选：小出OR:SM32 表表3.5:3.5: 原问题最优解：原问题最优解： 对偶问题最优解：对偶问题最优解： -45 -80 -90 0 0 Y1 y2 y3 y4 y5 0y4-7/3-2/3 -5/3 0 1 -1/3-90y35/3 1/3 1/3 1 0 -1/3j -15 -50 0 0 -30 -45y17/2

29、1 5/2 0 -3/2 1/2 -90y31/2 0 -1/2 1 1/2 -1/2 j 0 -25/2 0-45/2 -45/2 先选：小出后选：小进74051(,0,0,0)222YW454525405(,0,0)2222XWOR:SM33 3.13.1写出线性规划问题的对偶问题写出线性规划问题的对偶问题 3.23.2写出下列线性规划问题的对偶问题写出下列线性规划问题的对偶问题OR:SM34OR:SM35 3.3已知线性规划问题已知线性规划问题试应用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。试应用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。 OR:SM36 3.4利用对偶单纯法求解线性规划问题利用

30、对偶单纯法求解线性规划问题进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑

31、五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑强子，别跑了，快来我给你扇扇了，快来我给你扇扇”。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你你看热的，跑什么？看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲

32、扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅道，袅