2017年度清华大学自主招生暨领军计划数学试题[精校版,带解析]历年自主招生考试数学试题资料全套汇编.doc

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1、2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ）A B C D取决于的值【答案】C【解析】注意，答案C2 已知的三个内角所对的边为下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（ ）A BCD【答案】AD3已知函数，下列说法中正确的有（ ）A在点处有公切线B存在的某条切线与的某条切线平行C有且只有一个交点D有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到为函数在处的切线，如图，因此答案BD4过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点下列说法中正确的有（ ）A以线段为直径的圆与直线一定相离B的最小值为C的最小值为D以线段为直径的圆与轴一定相切【答案】AB【解析】对于选项

2、A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离；对于选项B，C，设，则，于是，最小值为4也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误5已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点下列说法中正确的有（ ）A时，满足的点有两个B时，满足的点有四个C的周长小于D的面积小于等于【答案】ABCD【解析】对于选项A，B，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点；对于选项C，的周长为；选项D，的面积为6甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了

3、；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ）A甲B乙C丙D丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD7已知为圆的一条弦（非直径），于，为圆上任意一点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点以下说法正确的有（ ）A四点共圆B四点共圆C四点共圆D以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A，即得；对于选项B，若命题成立，则为直径，必然有为直角，不符合题意；对于选项C，即得答案：AC8是为锐角三角形的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性：由于，

4、类似地，有，于是不充分性：当时，不等式成立，但不是锐角三角形9已知为正整数，且，那么方程的解的组数为（ ）ABCD【答案】B【解析】由于，故若，则，可得；若，则，可得；若，则，进而解得；若，则，可得答案：B10集合，任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为（ ）ABCD【答案】B11已知，则下列各式中成立的有（ ）ABC D 【答案】BD【解析】令，则，所以，以上三式相加，即有类似地，有，以上三式相加，即有答案BD12已知实数满足，则的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A B C D【答案】B【解析】设函数，则其导函数，作出的图象，函数的图象在处的切线，以及函数的图象过点和的割线，如图，于是

5、可得，左侧等号当或时取得； 右侧等号当时取得因此原式的最大值为，当时取得；最小值为，当时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为答案B13已知，则下列结论正确的有（ ）A的最大值为B的最大值为C的最大值为D的最小值为【答案】ABD14数列满足，对任意正整数，以下说法中正确的有（ ）A为定值 B或C为完全平方数 D为完全平方数【答案】ACD【解析】因为，选项A正确；由于，故，又对任意正整数恒成立，所以，故选项C、D正确计算前几个数可判断选项B错误 说明：若数列满足，则为定值15若复数满足，则可以取到的值有（ ）ABCD 【答案】CD【解析】因为，故，等号分别当和时取得答案CD16 从正2016边形

6、的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ）A B C D【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数设从2016个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008考虑到，因此所求正多边形的个数为答案C17已知椭圆与直线，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点若为定值，则（ ）ABCD【答案】C【解析】设点，可得，故意为定值，所以，答案：C说明：（1）若将两条直线的方程改为，则；（2）两条相交直线上各取一点，使得为定值，则线段中点的轨迹为圆或椭圆18 关于的不定方程的正

7、整数解的组数为（ ）ABCD【答案】B19因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序例如，三个实数相乘的时候，可以有等等不同的次序记个实数相乘时不同的次序有种，则（ ）A B C D【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得答案：AB关于卡特兰数的相关知识见卡特兰数计数映射方法的伟大胜利20甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4那么甲刻冠军的概率是 【答案】0.165【解析】根据概

8、率的乘法公式 ，所示概率为21在正三棱锥中，的边长为1设点到平面的距离为，异面直线的距离为则 【答案】【解析】当时，趋于与平面垂直，所求极限为中边上的高，为22如图，正方体的棱长为1，中心为，则四面体的体积为 【答案】【解析】如图，23 【答案】0【解析】根据题意，有24实数满足，则的最大值为 【答案】1【解析】根据题意，有，于是，等号当时取得，因此所求最大值为125均为非负实数，满足，则的最大值与最小值分别为 【答案】【解析】由柯西不等式可知，当且仅当时，取到最大值根据题意，有，于是解得于是的最小值当时取得，为26若为内一点，满足，设，则 【答案】【解析】根据奔驰定理，有27已知复数，则 【

9、答案】【解析】根据题意，有28已知为非零复数，的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，所对应的向量的端点运动所形成的图形的面积为 .【答案】【解析】设，由于，于是如图，弓形面积为，四边形的面积为.于是所示求面积为.29若，则 【答案】【解析】根据题意，有30将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法【答案】44100031设是集合的子集，从中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则中元素个数的最大值为 【答案】8【解析】一方面，设，其中不妨假设若，由题意，且，故同理又因为，所以，矛盾！故另一方面，取，满足题意综上所述，中元素个数的最大值为8enjoythetrustof得到.的信任have/puttrustin信任intrust受托的，代为保管的take.ontrust对.不加考察信以为真truston信赖giveanewturnto对予以新的看法turnaround/round转身，转过来，改变意见turnback折回，往回走turnaway赶走，辞退，把打发走，转脸不睬，使转变方向turnto转向，（forhelp）向求助，查阅，变成；着手于thinkthrough思考直到得出结论，想通thinkof想到，想起，认为，对有看法/想法