2017年度-2018年度东城高三(理)上学期期末数学.doc

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1、,.东城区2017-2018学年度第一学期期末 高三数学（理科） 2018.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合，或，则（A）（B）（C）（D）（2） 函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （A） （B） （C） （D）（3）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（A）1（B）2（C）（D）（4）若满足 则的最小值为（A）（B） （C）（D）（5）已知函数，则的（A）图象关

2、于原点对称，且在上是增函数 （B）图象关于y轴对称，且在上是增函数（C）图象关于原点对称，在上是减函数（D）图象关于y轴对称，且在上是减函数（6）设为非零向量，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的 体积为（A）（B）（C）（D）（8）现有个小球，甲乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球谁赢. 如果甲先抓，那么以下推断正确的是（A）若，则甲有必赢的策略（B）若，则乙有必赢的策略（C）若，则甲有必赢的策略（D）若，则乙有必赢的策略第二部分（非选择题

3、 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若复数为纯虚数，则实数 （10）的展开式中，的系数等于 （11）已知为等差数列，为其前项和，若，则_（12）在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为 （13）已知双曲线：的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则 = ；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以为 （写出一个答案即可）（14）如图1，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形，等边三角形的中心称为勒洛三角形的中心. 如图2，勒洛三角形夹在直线和直线之间，且沿轴滚动. 设其中心的轨迹方程为，则的最小

4、正周期为 ；的图象与性质有以下描述：中心对称图形； 轴对称图形；一条直线； 最大值与最小值的和为.其中正确结论的序号为_.（注：请写出所有正确结论的序号） 图1 图2三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分） 在中，角所对的边分别为,， () 求的长；() 若为钝角，, 求的面积（16）（本小题13分）中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段. 货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量发展发挥着越来越重要的作用. 某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了

5、2017年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如下表：周一周二周三周四周五开盘价164165170172a收盘价164164169173170（）已知这5天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求a的值；（） 在（）的条件下，从这5天中随机选取3天，其中开盘价比当日收盘价低的天数记为，求的分布列及数学期望；（III）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这6天收盘价的方差最小.（只需写出结论）（17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面,分别为线段的中点四边形是边长为1的正方形，. （）求证：/平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（III）点在直线上，若平面平面，

6、求线段AN的长.（18）（本小题13分） 已知函数.（）求曲线在点（1，）处的切线方程；（）若对恒成立，求的最小值.（19）（本小题14分）已知椭圆的离心率等于，经过其左焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点() 求椭圆的方程；() 为原点，在轴上是否存在定点，使得点到直线，的距离总相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（20）（本小题13分）已知数列 满足且，数列满足，其中，表示中与不等的项的个数.（I）数列：1，1，2，3，4，请直接写出相应的数列；（II）证明：；（III）若数列相邻两项均不等，与为同一个数列，证明：.东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考

7、答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B（5）B （6）C （7）A （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13）1，等 （14）， 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解:（）因为，由正弦定理，得（）由，得.因为，得所以. 方法一：因为，所以所以所以 方法二：由余弦定理，得，解得 或（舍）所以 （16）（共13分）解：（I）由于收盘价的中位数为169，且开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，所以a=169. （II）由于只有周四和周五的开盘价比其收盘价低，所

8、以的所有可能取值为0,1,2.，.所以的分布列为012故的数学期望. （III）168. （17）（共14分）证明：（）取线段中点.连接、.因为点为中点，所以，.又因为为正方形，所以，所以，.所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面. （）连接.因为，为中点，所以. 因为平面，平面平面，平面平面所以 又因为正方形，所以. 如图所示，建立空间直角坐标系.，.设平面的法向量为，则有 即令，则，即平面的一个法向量为.，.所以直线与平面所成角的正弦值为. （）设，所以，所以，.设平面的法向量为，则有 即令，则. 因为，则.即平面的一个法向量为.因为平面平面，所以.解得 ，所以. （18）

9、（本题满分共13分）解：（）的定义域为.由已知得，且.所以.所以曲线在点（1，）处的切线方程为. （）设，（）则. 令得.当变化时，符号变化如下表：10极小则，即，当且仅当时，.所以在上单调递增.又，所以的最小值为为. （19）（本题满分共14分）解：（I）由题意得解得故椭圆的方程为. （II）当直线斜率存在时，设直线的方程为.由消去得.易得.设，则设.由点在轴异侧，则问题等价于 “ 平分 ”，且，又等价于“”，即.将代入上式，整理得.将代入上式，整理得，即，所以.当直线的斜率不存在时，存在也使得点到直线，的距离相等.故在轴上存在定点，使得点到直线，的距离总相等. （20）（共13分）解：（I）1，1，3，4，5. （II）时，由知，由题意知，结论成立；时，设，若，则；若，则由知均不与相等.于是，.综上，. （III）当时，由知，结论成立；当时，假设中存在一项和相等，设为.在数列中，由，可知，第项之前与不相等的项比第项之前与不相等的项至少多了一项，则.于是，可得，与矛盾.于是均不与相等，则.综上，若数列相邻两项均不相等，且与为同一个数列，则.