概率第一章到第三章知识点总结2.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀资料第一讲 随机大事及其概率1明白样本空间 基本领件空间 的概念， 懂得随机大事的概念， 把握大事的关系及运算2懂得概率、条件概率的概念，把握概率的基本性质，会运算古典型概率和几何型概率，把握概率的 加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及 贝叶斯 Bayes公式3懂得大事独立性的概念， 把握用大事独立性进行概率运算 。懂得独立重复试验的概念，把握运算有关大事概率的方法 .主要内容与典型例题一 随机试验与随机大事1. 随机试验随机试验满意以下三个特点：试验的全部可能结果（不止一个）是确定

2、的。每次试验会发生什么结果是无法事先预知的。试验可以在相同的条件下重复进行。但也有不少的随机试验不满意这个条件.2. 样本点与样本空间试验的每一个可能结果称为样本点, 用表示。全部样本点组成的集合就是样本空间，用表示。3. 随机大事， 基本领件， 必定大事， 不行能大事 :样本空间的子集称为随机大事，简称大事，用 A，B， C 等记之。由单个样本点构成的随机大事成为基本领件，样本空间为必定事件，不含任何样本点的大事称为不行能大事。二 大事的关系与运算1. 包含关系 : 大事 A 发生必导致大事B 发生 , 记为 AB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 相等关系 :如 AB

3、 且 BA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 并大事 : AB A, B至少发生一个 ，nAi 。i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 差大事 :ABAB A发生， B不发生可编辑资料 - - - 欢

4、迎下载精品名师归纳总结5. 交大事 :ABAB A, B同时发生 n，Ai 。i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 互斥大事 : A和 B不同时发生。7. 对立大事 :A A不发生 ， AA.8. 大事的运算律:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交换律 : ABB结合律 : ABCA , ABB AB CA 。ABC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC AB CA BC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结安排律 : ABCAC

5、BC， AB C AC BC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对偶律 :ABAB , ABAB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三 大事的概率及其性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 定义 : 设随机试验的样本空间为，如对每个大事A，有且只有一个实数P A与之对应，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并满意以下公理：（非负性）0P A1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（规范性）P1。可编辑资料 - - - 欢迎下载

6、精品名师归纳总结（可列可加性）对任意一列两两互斥大事A1 , A2 ,，有 PiAi 1P Ai 。i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 P A 为大事 A 的 概率 。2. 性质 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 P 0 。P A1P A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A1 , A2 , An互斥，就nPAi i 1nP Ai 。i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 P ABP AP BP AB 。可编辑资料 - -

7、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P ABC P AP BP C P AB P AC PBC P ABC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 AB ，就P APB ，且P BAP B

8、 P A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推广：P BAP B P AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四 条件概率与大事的独立性1. 条件概率 :设有两个大事A 和 B ，P A0 ，称已知 A 发生的条件下B 发生的概率为B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的条件概率，记为PB A ，且有P B AP AB 。P A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 独立性 :如两大事A 和 B 满意PB APB 或P ABP AP B ，就称

9、A 和 B 相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结互独立。类似的仍有A1 , A2 , An两两独立和相互独立的定义。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 简洁性质 :在 A 和 B ， A 和 B ， A 和 B ， A 和 B 这四对大事中， 只要其中有一对独立，就其余三对也独立。五 重要的概率模型1. 古典概型 :古典概型的特点为：试验的可能结果只有有限个。各个可能结果是等可能的。设试验一共有n 个可能结果，而所考察的大事A 含有其中的k 个，就大事A 的概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P

10、AknA包含的样本点数样本点总数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注 古典概率的运算难点在于A 包含的样本点数的运算。在运算样本点数的时候，常用到以下排列组合公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Pn从 n 个不同元素取r 的排列数为：rn.。nr .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从 n 个元素中有返回的取r 个的排列数：n r 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cn从 n 个不同元素取r 的组合数为：rn. r. n。r .可编辑资料

11、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 几何概型： 向某个可度量的有界区域D 内随机的投掷一点，假如落在D 内任何两个测度相等的子区域的可能性相等，就随机点落在D的子区域A 内的概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P AA的测度D 的测度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注 假如 D 和 A 是数轴上区间（平面区域或立体区域），就测度就是区间长度（面积或体积）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下

12、载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀资料几何概率的运算关键是找出大事A 所对应的子区域，并运算其测度。3. 贝努利概型：在n 重贝努利试验中，大事Ak A 恰好发生 k 次 0kn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的概率为：P Ak k p n 1p n k 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cn六 重要公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 乘法公式：P ABP APB AP B P A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

13、归纳总结P A1 A2An P A1 P A2A1 P AnA1 A2An 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 全概率公式：设大事A1 , A2 , An 两两互斥，且P Ai 0 1in 。大事 B 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nBBAii 1就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PB nP Ai P Bi 1Ai 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 贝叶斯公式：设大事B 满意A1, A2 , An两两互斥，且P Ai

14、 0 1in) ， P B 0 , 大事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nBBAii 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有P Ai BP Ai PB Ai n。P Ai P B Ai 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀资料其次讲 随机变量及其

15、分布1. 懂得随机变量的概念， 懂得分布函数的概念及性质， 会运算与随机变量相联系的大事的概率.2. 懂得离散型随机变量及其概率分布的概念， 把握 0-1 分布、二项分布 、泊松Poisson 分布及其应用.3.懂得连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握匀称分布、正态分布、指数分布及其应用 .4. 会求随机变量函数的分布.主要内容与典型例题一 随机变量及其分布函数、分布律与密度函数1. 随机变量对于给定的随机试验,是其样本空间, 如对, 有且只有一个实数X 与之对应 , 就称此定义在上的实值函数X 为随机变量。2. 分布函数设 X 是一个随机变量，称函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

16、归纳总结F xP Xx x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为随机变量的分布函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 0F x1 （x）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任意两点x1 , x2 ，当x1x2 时，有F x1 F x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 limxF x0 。 limxF x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 limF xF x0 （x0

17、）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PaXb) F bF a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注记满意上述性质、和的函数必为某随机变量的分布函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 分布

18、律x1x2xi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X12iPppp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质0pi1 ，pi1。i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 密度函数 设随机变量X 的分布函数为F x , 如非负函数f x , 对任意的x ，使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F xxf t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 X 为连续型随机变量,f x为 X 的概率密度函数, 并称 X 的分布是连续型分布。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 f x0 。f xdx1。可编辑资料 - -

19、- 欢迎下载精品名师归纳总结（满意上述两个性质的函数必为某随机变量的密度函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PaXbbf xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 F x 是连续函数 , 且在f x 的连续点处有F xf x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对cR ，有P Xc) 0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任意的a ,bR ab ，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

20、名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PaXbPaXbPaXbPaXbbf xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二 重要的一维分布1. （0-1 ）分布 分布律为X 01p1， 0p1 。p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kknk2. 二项分布 在 n 重贝努利试验中，大事A 发生的次数X 的分布为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xk Cnp 1pk0,1,2,n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 X

21、Bn,p 。当 n1 时，二项分布即为（0-1 ）分布。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 泊松分布 分布律为P Xk ke kk.0,1,2, L ，记为X P 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 匀称分布 密度函数和分布函数分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

22、 - - -名师精编优秀资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1,abax b和F x0,xaxaaxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0,otherba1,xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 X U a,b .5. 指数分布 密度函数和分布函数分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ex ,x00,x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0,other和F x1ex ,x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记 为 X E 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 正态分布 密

23、度函数为 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1e2 222,都是常数，0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 X N ,2 。当0,1 时，密度函数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xx21e22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称 X 听从标准正态分布，记为X N 0,1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 标准正态分布的密度函数为偶函数，所以有x1 x ，其中x 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

24、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N ,2 的分布函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 X N ,2 ，就有 X N 0,1，继而有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PaXb b a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三 随机变量函数的分布1. 离散情形设离散型随机变量X 的分布律为Xx1x2xkPp1p2pk就 Yg X 的分布律为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Yg X g x1 g x2 gxk 可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Pp1p2pk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 g x1 、g x2 、gxk 、具有各不相同的值。如g xi 的值中有相同的，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就应把

26、那些相同的值分别合并，同时把对应的概率pi 相加。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 连续情形 设 X 的密度函数为先求 Y 的分布函数：f X x, 求 Yg X 的密度函数的步骤为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FY yPYyP g X yg xfxdxXy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再求 Y 的密度函数：fY yFY y 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

27、 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀资料第三讲多维随机变量及其分布1. 懂得二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，懂得二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关大事的概率 .2. 懂得随机变量的独立性的概念，把握随机变量相互独立的条件 .3. 把握二维匀称分布，明白二维正态分布的概率密度，懂得其中参数的概率意义

28、.4. 会求两个随机变量简洁函数的分布，会求多个相互独立随机变量简洁函数的分布.主要内容与典型例题一 二维随机变量及其分布函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 定义 设试验 E 的样本空间为，对于每一个样本点w，都有确定的两个实数X w可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与 Y w 之对应，称有序数对 X w, Y w 为二维随机变量 （或 二维随机向量），简记为 X , Y 。并称 X 和 Y 是二维随机变量 X , Y 的两个重量。2. 分布函数设 X , Y 是二维随机变量，称二元函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x, yP Xx Y

29、y记为P Xx,Yy ， x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为二维随机变量 X ,Y 的联合分布函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0F x, y1 。

30、且limxyF x, y0 。 limxyF x, y1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任一固定的x ，limyF x, y0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对任一固定的y ，limxF x, y0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F x, y 关于 x 和 y 是单调不减的。F x, y 关于 x 和 y 均为右连续函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P x1Xx2 , y1Yy2 F x2 , y2 F x1 , y2

31、F x2 , y1 F x1 , y1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 关于 X 的边缘分布函数：关于 Y 的边缘分布函数：F X xFY ylimylimxF x, y F x, y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 独立性的判定X 与 Y 独立F x, yFX xFY x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二 二维离散型随机变量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 定义假如二维随机变量 X ,Y 全部可能取值只有有限多对或无穷可列多对，就称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 X , Y 为二维离散型随机变量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 联合分布律设二维离散型随机变量 X ,Y 的全部可能取值为 xi , y j ， i , j1,2,，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 X ,Y