自动控制原理典型例题3.ppt

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1、自动控制原理典型例题3 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望q 画根轨迹 分离（会合）点分别为-2.93和-17.1，分离（会合）角为90度。根轨迹为圆，如右图所示。45例4-2已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算当增益k为何值时，系统的阻尼比 是 ，并求此时系统的闭环特征根；（3）分析k对系统性能的影响。 510sssksG212q当 时，阻尼角 ，表示 角的直线为OB,其方程为 ，代入闭环特征方程整理后得：令实部和虚部

2、分别为零，有解得由图可知当 时直线OB与圆相切，系统的阻尼比 ，特征根为 。 2245450521052kjkk0520105kkk5, 5k5k2155j3q 对于分离点 ，由幅值条件可知 对于会合点 ，有 由根轨迹图可知，当 时，闭环系统有一对不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。当 时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。93. 2858. 093. 21093. 2593. 21k07.1714.2907.17100 .17507.172k858. 00 k14.29858. 0 k k14.2945

3、4例4-3控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变量时的根轨迹。)(sR)(sY)2(1ss1as解 系统的闭环传递函数为：1)2(1)(assss用不含参数a的项去除闭环特征方程的两边，有：闭环系统的特征方程为：01)2()(assssD1) 1(, 012122ssassas即画出以a为参变量的根轨迹：10aaa5例4-3系统的结构图如图所示。试绘制 的根轨迹。并说明闭环系统呈现欠阻尼状态是的开环增益范围。 0*k1*sk) 1(3sss)(sR)(sC解这里要画以k*参量根轨迹。系统的闭环传递函数为：3333)(*2*2*2*sskskssssksks闭环特征方程为：033*2*2s

4、skskss等效为：132)3(2*ssssk等效开环零点为：0，-3等效开环极点为：21j6Root LocusReal AxisImag Axis-3-2.5-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51例4-3（续1）7例4-3（续2）其分离回合点计算如下：22)(, 32)(32)(,3)(22ssDsssDssNsssN根据：0)()()()(sDsNsDsN整理得：233, 0962, 12sss由根轨迹图可以看出，分离回合点在-3，0区间，所以分离回合点为-1.243。对应的根轨迹增益k*为：95. 0332|)()(22243. 1*sssssNsDks当k*在0，0.95范

5、围内，闭环系统呈现欠阻尼状态。8例4-4控制系统的开环传递函数： 。试绘制当kg从0到正无穷大时的根轨迹。)2)(1 ()(ssksGgk解)2)(1()2)(1 ()(sskssksGggk度根轨迹）根轨迹（变化时，相当于正反馈从当00gk9例4-5系统结构图如下。1、画出根轨迹。2、求当k=5时闭环极点的位置。解 1、系统的开环传递函数为：)62() 1(2ssssk)(sR)(sC11s)62()62)(1() 1()(22sssksssssksGk开环极点为51, 0j求渐进线：180,60) 12(,67. 0mnkmnzp10求极点 的出射角：51j2424)5180(901802

6、11ddtg求根轨迹与虚轴的交点。系统的闭环特征方程为：0)62)(1()(23ksssssf列劳思阵列如下：002122610123kkkssss例4-5（续1）11例4-5（续 2）当k=12时，辅助方程为： ，解得：01222s62, 1js6j6j2424122、当k=5时，闭环特征方程为：例4-5（续 3）0)5)(1)(1()(2sssssf0)562)(1()(23sssssf解方程可知，系统的4个闭环极点为：18. 21, 14, 32, 1jss该例中，开环传递函数有零极点相消。在画根轨迹时，可以画相消后的系统根轨迹。但是，要把消去的开环零、极点补上。检验一下消去的开环极点是

7、否闭环系统的极点。若是的话，在考虑主导极点的时候，要把该极点考虑进去。本例中，显然消掉的开环极点也是闭环极点。13例5-1系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和k的关系。1sk-)(sR)(sC解：开环系统奈氏图是一个半径为 ，圆心在 的圆。显然，k=1时，包围(-1,j0)点，k1时，奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，N=-1，而 ，则 闭环系统是稳定的。1kP0kkPNZ当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。当k1时，曲线逆时针包围-1点，当k1时系统稳定，否则不稳定。00kP)(0例5-1（续）15例5-2系统的开环传递函数为： ，试问当k=20

8、时，闭环系统是否稳定？)5()(2sskesGsk解思路：闭环系统稳定时，开环相位稳定裕度 大于零。即当频率等于幅值穿越频率 时， 。所以先求幅值穿越频率，再求相位稳定裕度 。c0)(180jGk12520520)5(20)(2jsjsjsksssssG令解得：3294. 3c则相位稳定裕度为：6823.49)2590(1801cctg所以闭环系统是稳定的，并且有一定相角裕度。 考虑一下：当k=20时，为了保证闭环系统稳定，延迟环节的延迟时间最大可取多少？ 当延迟时间一定时，为了保证闭环系统稳定，k的临界值是多少？16例5-3已知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示。试判断系统的稳定性。

9、解求出穿越频率处的相角，计算相角稳定裕度，若相角稳定裕度大于零，则系统稳定。由图知：低频段渐进线斜率为-40，表明系统有两个s=0开环极点。在w=2处，斜率变化为-20，表明遇到一个一阶微分环节。在w=10处，斜率变化为-40，表明遇到一个一阶惯性环节。据此有：40402020601 . 0110c217例5-3（续）设系统的开环放大系数为K，有：20=logK-vlogw，当w=1时，解得：K=10。故系统的开环传递函数为：) 11 . 0() 15 . 0(10)(2ssssGk2log201 . 02log4060c40402020601 . 0110c21 . 02log40,1 .

10、0log2log4010logxx解得：5c系统的相角稳定裕量为： ，系统稳定。穿越频率处的相角为：37.1381 . 01805 . 0)(11ccctgtg63.41)(180c18例5-4系统结构如图a所示。其中G2(s)为最小相位环节，该环节的频率特性如图b所示，用乃氏判据判断系统的稳定性。( )0TkG2(s)21s)(sR)(sC图a1T00j图b)(2sG解由图b知，G2(s)应为零型环节，且有：0)(,| )(| ; 0)0(, 1| )0(| , 022TGGT可知：11)(2TsssG1911)(2TsssG系统的开环传递函数：) 1() 1()(2TsssksGkkG2(

11、s)21s)(sR)(sC-1例5-4（续1）) 1()() 1()(2jTjjkjGkTtgtgTtgtg1111180180)(11| )(|22222TkjGk假设k=020例5-4（续2）) 1()() 1() 1() 1)(1()() 1)(1() 1()() 1()(222222222TTkjTTkjTjTjjTjkjTjjkjGk| )(| ,0)(0jGk0| )(| ,0)(jGk完整的乃氏图见下页。21 0 0频特性为负。时，实频特性为正，虚，00k1, 2, 1Tk例5-4（续3）22 画出完整的映射图，可知：顺时针绕-1点转动一圈。而系统无开环右半极点，所以在k0的情况下，闭环系统不稳定。例5-4（续4） 同样，当k0时，画出系统乃氏图如下页所示。并画出完整的映射图，可知：顺时针绕-1点转动2圈。而系统无开环右半极点，所以在k0的情况下，闭环系统也不稳定。23例5-4（续5） 0 01, 2, 1Tk频特性为正。时，实频特性为负，虚，00k24说明同一系统在开环放大系数K改变正负号时，其开环频率特性函数的极坐标图以原点为中心对称。K0时曲线对1点的包围情况。所以当系统放大系数k0（或系统为负反馈）时极坐标图1点的包围情况来确定闭环系统的稳定性。例5-4（续6）) 1() 1()(2TsssksGk) 1() 1()(2TsssksGk25