第三节任意项级数的绝对收敛敛与条件收敛--.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -留意：下次上课千万别缺课，内容重要。预习幂级数留意： 通项极限不是零级数发散。即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim un0nun 发n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结散. lim unn0 不能推出un 收敛。例n 11 发散，但n 1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim unnlim 10 .nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 11.3任意项级数的肯定收敛与条件收敛教学目的：弄清交叉级数的概念，把握莱布尼茨判别法。把握任意项

2、级数的肯定收敛与条件收敛概念， 能敏捷正确运用各种判别法判定所给级数的 敛散性 .重点： 把握任意项级数的肯定收敛与条件收敛概念，并能敏捷正确判定所给级数的敛散性.难点： 敏捷正确判定所给级数的敛散性.教学方法：讲练结合教学过程：本节将争论不限制项的正负的级数-任意项级数 .一、交叉级数及其敛散性1n1. 【定义 11.3 】形如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n1nun 1u1u2u3u41 nu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n或1n un 1u1u2u31n u的级数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

3、归纳总结称为交叉级数. 其中un0,（ n1, 2,） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 【定理 11.6 】 莱布尼茨定理 设n级数 ,如满意1n11为交叉un可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n(1) unun 1 , （ n1精,选2名,师 优）秀名。师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下

4、载精品名师归纳总结(2) lim unn0 ,就1nn 11 u收敛 ,且级数和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nSu1 , 其余项Rn 的肯定值| Rn |un 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 :1记Sn 为级数n11n 1un 的部分和 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考察级数vnn 1有un 1n 1un .由于un 1un0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S2 nu1u2 u3u4 u2 n 1u2 n 0可编辑

5、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S2 nu1u2u3 u2n 2u2n 1 u2nu1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可见 S2n 单调上升且有上界, 由极限存在准就知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2limnlimnS2n u2 n 1Su1 .0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limS2 n 1limS2nu2 n 1 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn即不论 n 是奇数仍是偶数, 当 n时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总有 Sn limS ,SSu ,故1n1 u收敛 .可编辑资料 -

6、- - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 留意到级数Rn两个条件 ,un 1un 2也满意本定理的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Rnun 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 1 证明级数| Rn |.1 nn 11 1是收敛的 , 并估量误差n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明令由于1unnlim ulim 10 且 uu, n1, 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnnnn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故原级数收敛.（ 由莱布尼

7、茨定理知）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且其和Su11 , 其误差为学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -1Rnun 1.n1第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）判定级数1的敛散性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结234357解由于 unn2n1, un 1n1,2n1可编辑资料 - -

8、- 欢迎下载精品名师归纳总结uunn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 12 n12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2 n12 n1n110 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 n12 n14 n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 lim unnlimn10 ,n2n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由莱不尼兹定理知原级数发散.练习 ： 判定以下级数的敛散性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）n1n11ln n（收敛，可以证明x1 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

9、归纳总结ln xln x1） ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）n1n111（收敛）n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）n1n ln n1 （收敛）1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、肯定收敛与条件收敛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.【定理 11.7 】对于任意项级数un , 如n 1n| un1|收敛，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就unn 1收敛 .（ 反之不然 . ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明因0v1 u| u|

10、 u|,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于n2| unn 1nnn|收敛，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以由正项级数的比较判别法知vn 收敛 .n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 un2vn| un| , 且nvn 、1| unn 1|均收敛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编

11、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故unn 1收敛 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反之不然 .例如n1n 11 1 收敛 ,但n1n 1 n发散 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 【定义 11.4 】1 如| unn 1|收敛。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 级 数un 收敛且肯定收敛.n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 级数un 收敛，但n 1| unn 1

12、|发散 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就unn 1收敛且条件收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如 :而级数1nn 11 1 条件收敛 ;级数n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1nn 111 肯定收敛 , 级数n21nn 11 qn1 0q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结肯定收敛 .3 【定理 11.8 】假如任意项级数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结unu1u2unn 1满意条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结llimnun 1或lunli

13、mnn | un | , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 如 l(2) 如 l1 , 级数1 , 级数un 收敛，且肯定收敛.n 1un 发散 .n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明l1 时，正项级数| unn 1|收敛un 收敛 .n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 l1 时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结llim un 11uulim u0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结unn 1nnnn可

14、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limnlun01 时，nun 发散 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 判定以下级数的敛散性：n n .2.3.n n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）（ 2）（ 3）1n1nx21x2.x2x22 23 2x

15、nn.xnn1n。n。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n0xnn0n.xnn1nn1nxn（ 4）1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解（ 1）u n1.n1n 1nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limn 1limlim1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nunnn.nn1en2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 原级数收敛且肯定收敛.（ 2）由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limun 1n 1xlimn .xlim0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结unnnn1.x nnn

16、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以对xR ，原级数收敛且肯定收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由上两题得重要结论：lim n .x n0,lim0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnnn .n 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） limun 1lim n1lim xnx ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结unnnnxnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n当x1 时，原级数收敛且肯定收敛。当x1 时，原级数发散.当x1时，级数成为调和级数，它是发散的。学习资料 名师精选 -

17、- - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x1 时，级数成为1n 1 ，n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它是条件收敛的级数.（ 4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limun 1limnx n1lim11 xx ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nunn 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nx

18、n当 x1 时，原级数收敛且肯定收敛。当 x1 时，原级数发散.其中x1 时，级数通项的极限不为零.例 3判定以下级数的敛散性sinna可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）n1 n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解由于sinna112且级数1n2收敛 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n12 n12nn 1sinna可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由正项级数的比较判别法知级数故 原级数收敛且肯定收敛.n 1 n12收敛 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

19、结（ 2）1sinn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1解unsinn3n 11 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limun 1lim1n sinn23n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nun3n 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1sinn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim 1n211 , n时 sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n33n1n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选

20、- - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以unn 1收敛，故原级数肯定收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另解 :unsinn13n 113n 1vn ,1收敛3n 1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原级数肯定收敛.练习 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1)

21、 判定cosna敛散性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1 n n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提示：由于cosna11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1nn1n21级数收敛原级数收敛且肯定收敛.n2n 1（ 2）n1：1 1cosn 1nn时,1cos1 1 1 2n2n原级数肯定收敛.n2111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）n1n ln： n1n2时,ln12 2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原级数肯定收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4n1n112n：12可

22、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u111 ，n2 n1 2nn12n2P且1 为收敛的级数，n2n 1所以原级数收敛且肯定收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）n1n1ln n：n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uln nn令vn1un就limlimln n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnvnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料wor

23、d 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且vnn 1发散，所以un 发散 .n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又令 yln x xx1），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就y =1- ln x x20当 xe 时y0 ，lnx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即在e, 上y x1）单调递减，x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 n3 时级数满意unun 1 , （ n1, 2,），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim un0n故原级数条件收

24、敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ lim unnlimnln n nlimxln x xlim10 ）xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 88.3设级数an 与bn22n 1n 1均收敛 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证（ 1）anbn 肯定收敛 .n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）anbn 2n 1an收敛 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）n 1收敛 .n可编辑资料 - - -

25、 欢迎下载精品名师归纳总结证 （ 1） 因 为 a b1 a 2b2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n n2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2且n 与n 1nb2 均收敛 ,n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以n 1 2anbn 收敛 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由正项级数的比较判别法知anbn 收敛n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故anbn

26、n 1收敛且肯定收敛.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）由于级数2a与nn 1nb2 均收敛 ,n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由（ 1）知an bn 收敛，n 1可编

27、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由 0ab 2a 2b 22a b得nnnnn nab 2a2b 22a b 收敛 .nnnnn nn 1n 1n 1n 1a n1121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）由于02nann1an2n2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结级数an 与2均收敛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n 1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n1 a 2n 11 收敛 .n2an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再由正项级数的比较法得级数n 1n收敛 .可编辑资料 - -

28、 - 欢迎下载精品名师归纳总结提问:（ 1） 以下级数条件收敛的有.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A C1n 1n 1n1n 1。Bnn。 D 21n11n1 2n3113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1分析lim 1nn2n1n 11n102n 2122n4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n 1n 1n 2n2发散 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1113n 22n 342 n342可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31n 11n 12n肯定收敛 . 答案（ A） .4可编辑资料 - - - 欢迎下

29、载精品名师归纳总结（ 2） 以下级数肯定收敛的有 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A1n 1n 1n。B1n 1nn 12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 C1n 13nn 1。D1 n 1n2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案（C,D ） .

30、（ 3）以下级数发散的有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A C1n 1n 11 n 11ln n11nBDnn 1 3n1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 13n 1 3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答 由莱不尼兹定理可知1nn 111收敛ln n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 lim0 知发散选 B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3n13n 1 3n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 1n 收敛知n 131nn 13n1肯定收敛 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结un 11n由 lim1 知n 收敛 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nun3n 1 3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4）94.3设常数0 , 而级数2 收敛