自动控制原理根轨迹法_图文.ppt

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1、自动控制原理根轨迹法_图文 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望2第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 二二 根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则三三 广义根轨迹广义根轨迹四四 系统性能分析系统性能分析本章主要内容：本章主要内容：3本章要求本章要求1 1、正确理解根轨迹的概念；、正确理解根轨迹的概念；2 2、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹；、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制根轨迹； 3 3、

2、了解广义根轨迹；、了解广义根轨迹；4 4、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势；、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势； 5 5、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。 第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4一、一、 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（1 1） 本节主要内容：本节主要内容： 1 1、根轨迹概念根轨迹概念 2 2、根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能 3 3、闭环零极点与开环零极点的关系闭环零极点与开环零极点的关系 4 4、根轨迹方程根轨迹方程54 -1-1 4 -1-1 根轨迹概念根轨迹概念1 1

3、、 根轨迹根轨迹一、一、 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（2 2）开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在穷大时，闭环系统特征方程根在 s s平面上的轨迹称平面上的轨迹称为根轨迹。为根轨迹。2 2、举例说明举例说明A A 控制系统如图控制系统如图6B B 闭环传递函数闭环传递函数一、一、 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（3 3）其闭环传递函数为：其闭环传递函数为：KssKsRsCs222)()()(2C C 闭环特征方程闭环特征方程 特征方程式可写为特征方程式可写为 0222Kss7一、一、 根轨迹法的基本

4、概念根轨迹法的基本概念（4 4）D D 特征方程的根特征方程的根 特征方程式的根为特征方程式的根为E E s s平面根轨迹平面根轨迹 见右图见右图Ks2111Ks211284 -1 -24 -1 -2 根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能1 1、稳定性稳定性当开环增益从零变到无穷时，上面当开环增益从零变到无穷时，上面图中的根轨迹不会越过虚轴进入右图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半半s s平面，因此对所有的平面，因此对所有的K K值都是稳值都是稳定的。定的。一、一、 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（5 5）2 2、稳态性能稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，所开环系统在坐标原点有一个极点，所以

5、系统属以系统属I I型系统，因而根轨迹上的型系统，因而根轨迹上的K K值就是静态速度误差系数。如果给定值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。可以确定闭环极点位置的容许范围。93 3、动态性能动态性能当当0 0K K0.50.5时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；系统，单位阶跃响应为非周期过程；当当K K0.50.5时，闭环两个实数极点重合，时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍

6、为非周期过程，但响应速度较仍为非周期过程，但响应速度较0 0K K0.50.5情况为快；情况为快；当当K K0.50.5时，闭环极为复数极点，系统时，闭环极为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随荡过程，且超调量将随K K值的增大而加大。值的增大而加大。 一、一、 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（6 6）104 -1- 34 -1- 3闭环零极点与开环零极点的关系闭环零极点与开环零极点的关系 1 1、典型控制系统典型控制系统 系统特征方程系统特征方程为为一、一、 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（7）0)()(1sHsG

7、11 2 2、前向通路传递函数前向通路传递函数 在一般情况下，前向通路传递函数可表示为在一般情况下，前向通路传递函数可表示为 一、一、 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（8 8）qiifiiGGpszsKsTsTsTssssKsG11*222221212221)()()12)(1()12)(1()(22121*TTKKGG ：前向通路增益：前向通路增益 ：前向通道根轨迹增益：前向通道根轨迹增益 GK*GK12 3 3、反馈通路传递函数反馈通路传递函数 在一般情况下，反馈通路传递函数可表示为在一般情况下，反馈通路传递函数可表示为一、一、 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（9 9）hjjl

8、jjHpszsKsH11*)()()(：反馈通道根轨迹增益：反馈通道根轨迹增益hjjljjHpszsKsH11*)()()(13 4 4、开环传递函数开环传递函数 系统的开环传递函数可表示为系统的开环传递函数可表示为 一、一、 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（1010）*11*1111*,)()()()()()()()(HGniimjjhjjqiiljjfiiHGKKKlfmhqnpszsKpspszszsKKsHsG145 5、闭环传递函数闭环传递函数将前向通路传递函数将前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数和反馈通路传递函数H(s)代入代入得得 一、一、 根轨迹法的基本概念根轨迹

9、法的基本概念（1111）( )( )1( )( )G ssG s HsmjjniihjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1*111*)()()()()()(1)()(15 6 6、开闭环零极点关系开闭环零极点关系（1 1）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。等于开环系统根轨迹益。（2 2）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递数的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环通路

10、传递数的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。零点就是开环零点。（3 3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 均有关。均有关。一、一、 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（1212）*K164 -1- 4 4 -1- 4 根轨迹方程根轨迹方程1 1、系统闭环特征方程系统闭环特征方程 由闭环传函可得系统闭环特征方程为：由闭环传函可得系统闭环特征方程为：一、一、 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（1313）0)()(1sHsG)s(H)s(G1)s(G)s(2 2 、根轨迹方程根轨迹方程 当系统有当系统有m m个开环零点和个开

11、环零点和n n个开环极点时，下个开环极点时，下式称为式称为 根轨迹方程根轨迹方程1)()(11*niimjjpszsK173 3 、根轨迹相角条件根轨迹相角条件（充分必要条件）（充分必要条件）一、一、 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念（1414）11()()(21)mnjijiszspk,2,1,0k4 4 、根轨迹模值条件根轨迹模值条件 用来确定根轨迹上各点得用来确定根轨迹上各点得 值，模值条件为值，模值条件为 根据这两个条件，可以完全确定根据这两个条件，可以完全确定s s平面上的根平面上的根 轨迹和根轨迹上对应的轨迹和根轨迹上对应的 值。值。 mjjniizspsK11*K*K18二、

12、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则 本节主要内容：本节主要内容： 1 1、绘制根轨迹的基本方法绘制根轨迹的基本方法 2 2、根轨迹法则应用举例根轨迹法则应用举例 3 3、闭环极点的确定闭环极点的确定19 本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。点的确定方法。 在下面的讨论中，假定所研究的变化参数是根在下面的讨论中，假定所研究的变化参数是根轨迹增值轨迹增值 ，当可变参数为系统的其它参数时，当可变参数为系统的其它参数时，这些基本法则仍然适用。应当指出的是，用这些基这些基本法则仍然适用。应当指出的是，用这些基本法则绘出的根轨迹，其相角遵

13、循条件本法则绘出的根轨迹，其相角遵循条件 ，因此称为因此称为 根轨迹，相应的绘制法则也就可以根轨迹，相应的绘制法则也就可以叫做叫做 根轨迹的绘制法则。根轨迹的绘制法则。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（1 1）*Kk2180001800180204 -2 -14 -2 -1 根轨迹绘制基本法则根轨迹绘制基本法则 法则法则1 1 根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环极点，终止于开根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。环零点。证明：证明：设闭环系统特征方程为设闭环系统特征方程为 式中式中 可以从零变到无穷。当可以从零变到无穷。当 时，有时，有 说明说明 时，闭环

14、特征方程式的根就是开环传递函数时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数 G(s)H(s)G(s)H(s)的极点，所以根轨迹必起于开环极点。的极点，所以根轨迹必起于开环极点。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（2 2）mjjniizsKps1*10)()(*K0K;ips ,2, 1i n,0K21将特征方程改写为如下形式：将特征方程改写为如下形式：当当 时，由上式可得时，由上式可得 所以根轨迹必终于开环零点。所以根轨迹必终于开环零点。 二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（3 3）nimjiizspsK11*0)()(1*K;isz1,2,jm22法则法则2 2 根轨迹

15、的分支数和对称性根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数根轨迹的分支数与开环极点数与开环极点数n n相等（相等（nmnm），或与开），或与开 环有限零点数环有限零点数m m相等（相等（nm)nm nm 时，则有（时，则有（n-m) n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。交点来确定。mnkoa180)12(mnzpnimjjia11与实轴夹角与实轴夹角与实轴交点与实轴交点二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（5 5）24 法则法则4 4 实轴上的根轨迹

16、：实轴上的根轨迹： 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有： 其右边（开环实数零点数其右边（开环实数零点数+ +开环实数极点数）为奇数。开环实数极点数）为奇数。 这个结论可以用相角条件证明。这个结论可以用相角条件证明。 任一点位于根轨迹上的充要条件，是相角条件成立。任一点位于根轨迹上的充要条件，是相角条件成立。 考虑到这些相角中的每一个相角都等于考虑到这些相角中的每一个相角都等于 ，减去，减去 就相当于就相当于 加上加上 角。于是，点位于根轨迹上的等效条件是：角。于是，点位于根轨迹上的等效条件是：二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（6

17、6）)12(kij25 法则法则5 5 根轨迹分离点根轨迹分离点 两条或两条以上的根轨迹分支在两条或两条以上的根轨迹分支在 s s 平面上相遇又立即平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分开的点称为分离点（会合点）。分离点分离点的坐标的坐标 d d 由下列方程所决定：由下列方程所决定：niimjjpdzd1111)1(二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（7 7）26或或注：注：（1 1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。 （2 2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（

18、包括 无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此 段根轨迹上必有分离点。段根轨迹上必有分离点。 （3 3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（8 8）0)()() 2(0)()(1)()(1*dsdssHsdGsNsMKsHsG0)3(*dsdsdK27例例 绘制图示系统大致的根轨迹绘制图示系统大致的根轨迹解：解：（1 1）开环零点）开环零点 开环极点开环极点 根轨迹分支数为根轨迹分支数为3 3条，有两个无穷远的零点。条，有两个无穷远的零点。 （2 2）

19、实轴上根轨迹）实轴上根轨迹二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（9 9）11z3,2,0321ppp)3)(2()1(*ssssK)(sR)(sC0, 1, 2, 328（3 3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点（4 4）分离点（用试探法求解）分离点（用试探法求解）二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（1010）2) 13/() 1()320(aooak90) 13/(180) 12(47. 2) 2(4 . 03121167. 0115 . 2) 1 (3121111dddddddddd10j2347. 229法则法则6 6根轨迹的起

20、始角和终止角根轨迹的起始角和终止角起始角：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴起始角：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴 的夹角的夹角 。终止角：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴终止角：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴 的夹角的夹角 。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（1111）ipizmjnijjpppzopijiji1118011180ij ij inmozp zz zjjji 30 法则法则7 7 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 交点对应的根轨迹增益交点对应的根轨迹增益 和角频率和角频率 可以用劳斯判可以用劳斯判据或令闭环特征方程中的据或令

21、闭环特征方程中的 ，然后分别令其实部和虚，然后分别令其实部和虚部为零来确定。部为零来确定。 实际上若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯实际上若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着的数值使闭环系统处于临界稳定状态。虚根，这意味着的数值使闭环系统处于临界稳定状态。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（1212）js *K31 法则法则8 8 根之和。根之和。 系统的闭环特征方程在系统的闭环特征方程在nmnm的一般情况下，可以有不同的一般情况下，可以有不同形式的表示形式的表示 式中，式中， 为闭环特征根。为闭环特征根。 二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则

22、（1313）isninnnmjnjiaasaszsKps11111*.)()(1111()().()0nnnnniiiiiissss ss 32 当当 时，特征方程第二项系数与时，特征方程第二项系数与 无关，无无关，无论论 取何值，开环取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程个极点之和总是等于闭环特征方程n个个根之和根之和在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，当开环增益当开环增益 增大时，若闭环某些根在增大时，若闭环某些根在 平面上向左移平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。动，则另一部分根必向右移动。二、根轨迹绘制的基本法则

23、二、根轨迹绘制的基本法则（1414）*K*K2 mnniniiips11Ks33例例 设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为试绘制闭环系统根轨迹。试绘制闭环系统根轨迹。 解：解：首先将首先将 写成零、极点标准形式写成零、极点标准形式 二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（1919）15 .0)15 .0()(2sssKsG)(sG)1)(1()2()(*jsjssKsG34由法则由法则1 15 5可知，本例有两条根轨迹分支，它们分别起可知，本例有两条根轨迹分支，它们分别起于开环复数极点于开环复数极点 ，终于有限零点和无限零点。，终于有限零点和无限零点。因此，在

24、因此，在 上，必存在一个分离点上，必存在一个分离点 ，其方程，其方程为为 经整理经整理 ， 可以求得可以求得 和和 ，显然应取，显然应取 ，根轨迹图见下，根轨迹图见下张片子。张片子。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（2020）)1j（ , 2djdjdd111210242dd414.3d586.0d414.3d35二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（2121）36例例 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试绘制该系统概略根轨迹。试绘制该系统概略根轨迹。 解：解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤 1 1）确定

25、实轴上的根轨迹。本例实轴上区域）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域 和和 为轨迹。为轨迹。 2 2）确定根轨迹的渐近线。本例）确定根轨迹的渐近线。本例n n4 4，m m3 3，故只有，故只有 一条一条 的渐近线。的渐近线。 二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（2222）)5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2()2)(2)(5 . 1()(*jsjsssjsjssKsG5 . 10， 5 . 2180373）确定分离点。本例无分离点。）确定分离点。本例无分离点。4）确定起始角与终止角。根轨迹在极点）确定起始角与终止角。根轨迹在极点 处的处的 起始角为起始角为

26、 类似方法可算出根轨迹在复数零点类似方法可算出根轨迹在复数零点 处的终止角处的终止角 为为 根轨迹图见下一张。根轨迹图见下一张。各开环零、极点到各开环零、极点到 的向量相的向量相角也在下面图中显示。角也在下面图中显示。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（2323）( 0.51.5)j79)()(1804313212p)2(j5 .149)2(j38二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（2424）39二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（2525）40例例 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 试绘制闭环系统的概略根轨迹。试绘制闭环系统的概略根轨迹。解解

27、: :按下述步骤绘制概略根轨迹：按下述步骤绘制概略根轨迹： 1 1）确定实轴上的根轨迹。实轴上）确定实轴上的根轨迹。实轴上 区域必为根轨迹。区域必为根轨迹。 2 2）确定根轨迹的渐近线。由于）确定根轨迹的渐近线。由于 ，故有四条根轨迹，故有四条根轨迹 渐近线，其渐近线，其二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（2626）)22)(3()()(2*ssssKsHsG30，4mn25. 1a135,45 a413 3）确定分离点。本例没有有限零点，故）确定分离点。本例没有有限零点，故于是分离点方程为于是分离点方程为 用试探法算出用试探法算出4 4）起始角。量测各向量相角，算得起始角。量测

28、各向量相角，算得5 5）确定根轨迹与虚轴交点。本例闭环特征方程式为）确定根轨迹与虚轴交点。本例闭环特征方程式为 二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（2727）niipd10101111311jdjddd3 . 2d6 .71ip0685*234kssss42应用劳思判据，有应用劳思判据，有令劳思表中令劳思表中 行的首项为零，得行的首项为零，得 。根据。根据 行的行的系数，得如下辅助方程系数，得如下辅助方程代入代入 并令并令 ，解出交点坐，解出交点坐标标 。 二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（2828）4*32*1*0*185634 / 5(20425) / 34s

29、KssKsKsK 1s16. 8*K0534*2 Ks2s16. 8*Kjs 1 . 143根轨迹与虚轴相交时的参数，也可用闭环特征方程直接求出。根轨迹与虚轴相交时的参数，也可用闭环特征方程直接求出。将将 代入特征方程，可得实部方程为代入特征方程，可得实部方程为 虚部方程为虚部方程为因此根轨迹与虚轴交点坐标应为因此根轨迹与虚轴交点坐标应为 。将所得。将所得 值代入值代入实部方程，立即解出实部方程，立即解出 。所得结果与劳思表法完全一。所得结果与劳思表法完全一样。整个系统概略根轨迹如下一张图所示。样。整个系统概略根轨迹如下一张图所示。二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（2929）j

30、s 08*24K35601 . 116. 8*K44二、根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹绘制的基本法则（3030）45 本节主要内容：本节主要内容： 1 1、参数根轨迹参数根轨迹 2 2、附加开环零点的作用附加开环零点的作用 3 3、零度根轨迹零度根轨迹三、广义根轨迹三、广义根轨迹46三、广义根轨迹三、广义根轨迹（1 1） 广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的所有根轨迹。所有根轨迹。通常，将负反馈系统中通常，将负反馈系统中 变化时的根轨变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。迹叫做常规根轨迹。*K474 -3 -14 -3 -1 参数根轨迹参数根轨迹参数根轨

31、迹参数根轨迹：以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。：以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。 绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等效传只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。轨迹的绘制。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（2 2）48对闭环特征方程对闭环特征方程进行等效变换，将其写为如下形式：进行等效变换，将其写为如下形式：其中，其中， 为除为除 外，系统

32、任意的变化参数，而外，系统任意的变化参数，而 和和为两个与为两个与 无关的首一多项式。无关的首一多项式。可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为 画出的根轨迹，就是参数画出的根轨迹，就是参数 变化时的参数根轨迹。变化时的参数根轨迹。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（3 3）A*K)(sP)(sQA0)()(1sHsG1)()(sQsPAA)()()()(11sQsPAsHsG49例例 设位置随动系统如图所示。图中，系统设位置随动系统如图所示。图中，系统为比例控制系为比例控制系统，系统统，系统为比例微分控制系统，系统为比例微分控制系统，系统为测速反馈控制为

33、测速反馈控制系统，系统， 表示微分器时间常数或测速反馈系数。试分析表示微分器时间常数或测速反馈系数。试分析 对系统性能的影对系统性能的影 响，并比较系统响，并比较系统 和和在具有相在具有相 同阻尼比同阻尼比 时的有关特点。时的有关特点。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（4 4）5 . 0aTaT50解：解：显然，系统显然，系统和和具有相同的开环传递函数，即具有相同的开环传递函数，即 但它们的闭环传递函数是不相同的，即但它们的闭环传递函数是不相同的，即 可以看出，两者具有相同的闭环极点可以看出，两者具有相同的闭环极点，但是系统但是系统具有具有闭环零点闭环零点 。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（5 5）

34、)51()1(5)()(sssTsHsGa)1 ( 5)51 ()1 ( 5)(2sTsssTsaa)1 ( 5)51 (5)(3sTsssa)1(aT51现在将系统现在将系统或或的闭环特征方程式写成的闭环特征方程式写成 如果令如果令则上式代表一个根轨迹方程，其根轨迹如下张图所示。图中，则上式代表一个根轨迹方程，其根轨迹如下张图所示。图中，当当 时，闭环极点位置为时，闭环极点位置为 ，它即是系统，它即是系统的闭环极点。的闭环极点。为了确定系统为了确定系统和和在在 时的闭环传递函数，在图中作时的闭环传递函数，在图中作 线，可得闭环极点为线，可得闭环极点为 ，相应的，相应的 值由值由模值条件算出为

35、模值条件算出为0.8。 三、广义根轨迹三、广义根轨迹（6 6）01)2 . 0(1sssTa1)2 . 0()()(11sssTsHsGa0aT87. 05 . 02 , 1js995. 01 . 02 , 1js5 . 05 . 0aT52系统系统与与的根轨迹图如下的根轨迹图如下三、广义根轨迹三、广义根轨迹（7 7）53于是于是 和和 而系统而系统的闭环传递函数与的闭环传递函数与 值无关，应是值无关，应是各系统的单位阶跃响应，可以由拉氏反变换法确定。对应的各系统的单位阶跃响应，可以由拉氏反变换法确定。对应的阶跃响应曲线见下一张图。对于系统阶跃响应曲线见下一张图。对于系统，由于微分控制反映，由

36、于微分控制反映了误差信号的变化率，能在误差信号增大之前，提前产生控了误差信号的变化率，能在误差信号增大之前，提前产生控制作用，因此具有良好的时间响应特性，呈现最短的上升时制作用，因此具有良好的时间响应特性，呈现最短的上升时间，快速性较好；对于系统间，快速性较好；对于系统，由于速度反馈加强了反馈作，由于速度反馈加强了反馈作用，具有最小的超调量。用，具有最小的超调量。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（8 8）)87.05 .0)(87.05 .0()25.1(8 .0)(2jsjsss31( )(0.50.87)(0.50.87)ssjsj aT)995. 01 . 0)(995. 01 . 0(1)

37、(1jsjss54单位阶跃响应图单位阶跃响应图三、广义根轨迹三、广义根轨迹（9 9）554 3 2 4 3 2 附加开环零点的作用附加开环零点的作用 在控制系统设计中，常用附加位置适当的开环零点的方在控制系统设计中，常用附加位置适当的开环零点的方法来改善系统性能。因此，研究开环零点变化时的根轨迹变法来改善系统性能。因此，研究开环零点变化时的根轨迹变化，有很大的实际意义。化，有很大的实际意义。 1 1、对系统稳定性的改善、对系统稳定性的改善 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为: : 式中式中 为附加的开环实数零点。为附加的开环实数零点。 取取 为不同值时，根轨迹如下：为不同值时，根轨迹如下

38、：)22()()()(21*ssszsKsHsG1z三、广义根轨迹三、广义根轨迹（1010）1z56当当 时时1z三、广义根轨迹三、广义根轨迹（1111）57当当 时时31z三、广义根轨迹三、广义根轨迹（1212）58当当 时时21z三、广义根轨迹三、广义根轨迹（1313）59当当 时时01z三、广义根轨迹三、广义根轨迹（1414）60 分析：分析： 由图可见，当开环极点位置不变，而在系统中附加由图可见，当开环极点位置不变，而在系统中附加 开环负实数零点时，将使系统的根轨迹图发生趋向附加零开环负实数零点时，将使系统的根轨迹图发生趋向附加零 点方向的变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点点方

39、向的变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标原点 的程度而加强。如果附加的开环零点不是负实数零点，而的程度而加强。如果附加的开环零点不是负实数零点，而 是具有负实部的共轭零点，那么它们的作用与负实数零点是具有负实部的共轭零点，那么它们的作用与负实数零点 的作用完全相同。的作用完全相同。 三、广义根轨迹三、广义根轨迹（1515）612、对系统动态性能的改善、对系统动态性能的改善A A、分析当分析当 即即 当根轨迹增益为当根轨迹增益为 时，时， 复数极点复数极点 和和 为闭为闭 环主导极点，实数极点环主导极点，实数极点 距虚轴较远，为非主距虚轴较远，为非主 导极点。在这种情下，导极点。在这种情下，

40、闭环系统近似为一个二闭环系统近似为一个二 阶系统，具有良好的动阶系统，具有良好的动 态性能。态性能。)86(/)3()()(2*ssssKsHsG31z三、广义根轨迹三、广义根轨迹（1616）*1K1s2s3s62 B B、当当 时，即时，即 在图中，实数极点在图中，实数极点 为闭环主导极点，此时系为闭环主导极点，此时系 统等价于一阶系统，其动统等价于一阶系统，其动 态过程虽然可能是单的，态过程虽然可能是单的， 但却具有较慢的响应速度但却具有较慢的响应速度 和较长的调节时间。也就和较长的调节时间。也就 是说，此时稳态性能优于是说，此时稳态性能优于 时，但动态性能时，但动态性能 却变差了。却变差

41、了。 三、广义根轨迹三、广义根轨迹（1717）11z)86(/)1()()(2*ssssKsHsG3s31z63 结论：结论： 只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置 选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同 时得到明显的改善。时得到明显的改善。三、广义根轨迹三、广义根轨迹（1818）64 4 -3-3 4 -3-3 零度根轨迹零度根轨迹 在非最小相位系统，此时相角条件为在非最小相位系统，此时相角条件为 在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路

42、的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为条件为 具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹ko20 ko20 三、广义根轨迹三、广义根轨迹（1919）65 零度根轨迹的绘制零度根轨迹的绘制 以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，通常首先要确定内回路的零、极点，这就路系统如图所示，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。)(sC)(sR)( sG)( sH)(1sG)(1

43、sH三、广义根轨迹三、广义根轨迹（2020）66正反馈的闭环传函与开环传函分别为：正反馈的闭环传函与开环传函分别为：等效为相角方程（等效为相角方程（幅角条件幅角条件）：）：)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs1)()(sHsG),2, 1,0(,20)()(11kkpszsoniimjj三、广义根轨迹三、广义根轨迹（2121）67等效模方程（等效模方程（模值条件模值条件）：）： 与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。有变化。 所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所引起所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所

44、引起的某些规则的修改。的某些规则的修改。mjjniizspsK11*三、广义根轨迹三、广义根轨迹（2222）68应调整的法则有：应调整的法则有：规则规则3 3 渐近线的夹角渐近线的夹角与实轴夹角与实轴夹角与实轴交点与实轴交点), 2, 1, 0(1802kmnkoamnzpnimjjia11 规则规则4 4 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有： 其右边（开环实数零点数其右边（开环实数零点数+ +开环实数极点数）为偶数。开环实数极点数）为偶数。 这个结论可以用相角条件证明。这个结论可以用相角条件证明。三、广义根轨迹三、

45、广义根轨迹（2323）69规则规则6 6 根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角 起始角（出射角）：起始角（出射角）： 终止角（入射角）：终止角（入射角）：ipmjnijjpppzpijiji11iz11ijijinmzp zz zjjji 三、广义根轨迹三、广义根轨迹（2424）70例例 设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为试绘制该回路的根轨迹图。试绘制该回路的根轨迹图。解：解： （1 1）系统的开环零极点分布为）系统的开环零极点分布为 有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（- - ，-3-3，-2-2， ）

46、。）。1)(,)22)(3()2()(2*sHssssKsG三、广义根轨迹三、广义根轨迹（2525）3,1,1,23211pjpjpz71（2 2）根轨迹的渐近线（）根轨迹的渐近线（n-m)=2n-m)=2条，渐近线夹角条，渐近线夹角（3 3）确定出射角）确定出射角oooak180,0131802三、广义根轨迹三、广义根轨迹（2626）oooooptgarctgarc6.71)906.26(45)9021(11op6 .71272（4 4）确定分离点）确定分离点（5 5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标 原点对应的开环增益为原点对应的开

47、环增益为8 . 00)24. 67 . 4)(8 . 0(111131212ddddjdjddd三、广义根轨迹三、广义根轨迹（2727）3232)2(0)3(0)1(0)1(0*jjKc13/3,3/232*cKKKK731230jjj 整个系统概略零度根轨迹如下图所示。整个系统概略零度根轨迹如下图所示。 三、广义根轨迹三、广义根轨迹（2828）74四、四、 系统性能的分析系统性能的分析（1 1） 闭环系统零、极点位置对时间响应性能的影响，闭环系统零、极点位置对时间响应性能的影响，可总结如下：可总结如下： 1 1、稳定性稳定性。 如果闭环极点全部位于如果闭环极点全部位于s s左半平面，则系统一

48、定左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定只与闭环极点位置有关，而与闭是稳定的，即稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。环零点位置无关。 2 2、运动形式运动形式。 如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极 点，则时间响应一定是单调的；点，则时间响应一定是单调的； 如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。振荡的。75 3 3、超调量。超调量。 超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减 率率 ，并与其它闭环零、极点接，并与其它闭环零、极点接 近坐标原点的程度有关。

49、近坐标原点的程度有关。211/d四、四、 系统性能的分析系统性能的分析（2 2）4 4、调节时间。调节时间。 调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数 极点的实数绝对值极点的实数绝对值 ，如果实数极点距虚，如果实数极点距虚 轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节时间 主要取决于该实数极点的模值。主要取决于该实数极点的模值。 n1765 5、实数零、极点影响。实数零、极点影响。 零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增加系统阻尼，使峰值时间滞后，超调增大；极点增加系统

50、阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强。程度而加强。四、四、 系统性能的分析系统性能的分析（3 3） 6 6、偶极子及其处理。偶极子及其处理。 如果零、极点之间的距离比它们本身模值小一如果零、极点之间的距离比它们本身模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原点的个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原点的偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其影偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其影响必须考虑。响必须考虑。777 7、主导极点主导极点。 在在s平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点平面上，最靠近虚轴而附近