笫三章节气体分子统计分布率.ppt

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1、笫三章节气体分子统计分布率 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1 1 统计方法简介统计方法简介2 2、伽尔顿板实验、伽尔顿板实验: :1 1、掷骰子实验、掷骰子实验: :A AAANPN16AP N 伽尔顿板伽尔顿板 实验分布曲线实验分布曲线统计规律是自然界中关于统计规律是自然界中关于大量大量偶然事件的普遍规律。偶然事件的普遍规律。一、统计规律实验一、统计规律实验二、概率及统计规律二、概率及统计规律2 2、统计规律性：、统计规律性：一定条件下，系列可

2、能发生的事件中发生一定条件下，系列可能发生的事件中发生某一事件的可能性。某一事件的可能性。1 1、概率：、概率：()limiiiNN AfNN 次实验次实验, 出现出现 Ai 的次数的次数 Ni1, 2,.i 大量热运动分子组成的宏观物体系统，在一定宏观大量热运动分子组成的宏观物体系统，在一定宏观条件下系统所处的微观状态都是随机的，但条件下系统所处的微观状态都是随机的，但每个随每个随机事件出现的概率是一定的机事件出现的概率是一定的，与随机事件一一对应，与随机事件一一对应的任何量的统计平均值也是一定的。的任何量的统计平均值也是一定的。归一化条件归一化条件物理量的宏观量物理量的宏观量P是相应微观量

3、是相应微观量 pi 的统计平均值的统计平均值统计分布的最直接应用就是求平均值。统计分布的最直接应用就是求平均值。1limlimiiiNNiiNNfNN1limiiiiNiipN pp fN3 3、概率归一化、概率归一化4 4、平均值、平均值2 2 麦克斯韦分布律麦克斯韦分布律温度公式：温度公式：虽然单个分子的速率取值是偶然的虽然单个分子的速率取值是偶然的, , 但但大量分子的大量分子的速率满足一定的统计规律速率满足一定的统计规律。例如温度。例如温度T T一定时一定时, , 大大量分子的方均根速率是确定的量分子的方均根速率是确定的. . 一、气体分子速率分布函数一、气体分子速率分布函数 设分子可

4、能的速率值设分子可能的速率值: :3v2v1iviv1vv取速率区间取速率区间: :21322kmvkT12,. .iv vv1,iiivvv第第i i个速率间隔中的分子数占总分子数的百个速率间隔中的分子数占总分子数的百分比或单个分子速率值落在区间内的概率。分比或单个分子速率值落在区间内的概率。iN:N平衡态时平衡态时 Ni/N是完全确定的是完全确定的,当当 v0时时, Ni/(N v)与与 v无关无关, 仅是仅是v 的连续函数，即速率分布函数。的连续函数，即速率分布函数。01 d( )dlimvNNf vN vNv 速率分布函数速率分布函数速率在速率在 v 附近的单位速率间隔内的分子数占附近

5、的单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比总分子数的百分比, , 或某分子速率出现在或某分子速率出现在v 附近的单位速率间隔内的概率附近的单位速率间隔内的概率. .满足归一化条件满足归一化条件0( )d1f vv物理意义物理意义：性质性质：形式形式：速率分布函数是概率密度函数，是单位区间上概率的大小。速率分布函数是概率密度函数，是单位区间上概率的大小。速率范围速率范围v1 v2内的分子数占总分子数的比率内的分子数占总分子数的比率: :21( )vvNf v dvN与气体热运动速率有关的物理量与气体热运动速率有关的物理量F(v)F(v)的平均值为的平均值为: : 001vvvvvFF dNFf

6、dvN已知已知f(v)f(v)是速率分布函数是速率分布函数, , 说明以下各式的物理意义：说明以下各式的物理意义：( )f v dv21( )vvvf v dv21( )vvNf v dv12( )vv f v dv( )Nf v dv二二、麦克斯韦速度分布率、麦克斯韦速度分布率麦克斯韦速度分布率表达式为麦克斯韦速度分布率表达式为2,3/2/2( )()2xyzvvvmvkTxyzdNmF veNdv dv dvkT平衡态气体分子的速率及速度分布规律是平衡态气体分子的速率及速度分布规律是Maxwell在在18591859年发表的论文年发表的论文气体动力理论的说明气体动力理论的说明中给中给出的。

7、出的。麦克斯韦速度分布率及速率分布率的推导：麦克斯韦速度分布率及速率分布率的推导：以以 dNvx 表示速度分量表示速度分量 vx 在在 vx+dvx 之间的粒子数，之间的粒子数，用分布函数用分布函数 g(vx) 表示在单位表示在单位 vx 区间区间 dvx 宽度内出宽度内出现的概率，则现的概率，则同理有同理有()xvxxdNg vdvN()zvzzdNg v dvN()yvyydNg vdvN假设三个概率是彼此独立的，则粒子同时出假设三个概率是彼此独立的，则粒子同时出现在现在 vx vx+dvx ， vy vy+dvy， vz vz+dvz间的间的概率为概率为:式中式中 为速度分布率为速度分布

8、率() () ()vxyzxyzxyzdNg vg vg v dv dv dvNFdv dv dv() () ()xyzFg vg vg v（3 3）由于粒子在各方向运动的概率相等，所以速度分）由于粒子在各方向运动的概率相等，所以速度分布与粒子的速度方向无关，即速度分布函数只是速度布与粒子的速度方向无关，即速度分布函数只是速度大小的函数大小的函数速度分布率可以写成速度分布率可以写成222xyzvvvv2222() () ()()()xyzxyzg vg vg vF vF vvv2222222()33yxzxyzAvAvAvA vvvAvFcececec ec e要满足这一关系，函数要满足这一关

9、系，函数 应具有应具有 的形式，的形式， ()xg v2xAvce分布函数应满足归一化条件，所以分布函数应满足归一化条件，所以利用数学积分公式，可得利用数学积分公式，可得麦克斯韦速度麦克斯韦速度分布率：分布率：222222/31yxzvvvvxyzdNcedvedvedvN1C 2222()/331xyzvvvvxyzdNedv dv dvN2222()/3xyzvvvvxyzdNc edv dv dvN令令 A=-1/A=-1/ 2 , 2 , 则则具有无限大速率的粒子的概率极小，故具有无限大速率的粒子的概率极小，故A A应为负值。应为负值。三、麦克斯韦速率分布率三、麦克斯韦速率分布率222

10、/334vvd Nved vN将速度分布率中将速度分布率中 的换成的换成 , ,得粒子得粒子在在 v 到到 v+dv 区间出现的概率区间出现的概率xyzdv dv dv24v d v,xyzv v v1 1、速度空间、速度空间在半径为在半径为v，厚度为，厚度为 dv、体积为、体积为 的球壳内，粒子的速率的球壳内，粒子的速率v出现在同一速率区间出现在同一速率区间 dv 内的内的概率相同。概率相同。24 v dvo( , )xyzv v vdvzvxvyvxvyvzv由上式可得速率平方的平均值由上式可得速率平方的平均值2232v2 2、 确定常数确定常数速率平方的平均值速率平方的平均值压强微观公式

11、压强微观公式麦克斯韦速度分布率及速率分布率表达式为：麦克斯韦速度分布率及速率分布率表达式为：23/2/2( )()2mvkTvxyzdNmF veNdv dv dvkT23/22/2( )4 ()2mvkTvdNmf vv eNdvkT2232v213pnmvpnkT理想气体状态方程理想气体状态方程23kTvm22kTm四、麦克斯韦分布律的特征四、麦克斯韦分布律的特征1 1、适用对象：、适用对象：平衡态的理想气体平衡态的理想气体f(vp)0vf(v)vpv v+dv面积面积= dNNA23 222( )42mvkTmf vevkT2 2、分布曲线、分布曲线面积表示速度在该区间内的分子数占总数的

12、比率面积表示速度在该区间内的分子数占总数的比率b)b)曲线随温度曲线随温度T T变化变化: :f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)T1T3T2vp2vp1AT1T2m2m32/pvkTm例例 氢气的温度是氢气的温度是300K. 300K. 求速率在求速率在300030003010m3010m s s11之间之间的分子数与速率在的分子数与速率在150015001510m1510m s s11之间的分子数之比。之间的分子数之比。解：解：( )()vvf vf vv 23 222( )42mvkTmf vevkT( )NNf vvvv+v区间内的分子数为：区间内的分子数为：21222

13、211111122223 22213 2222()21221( )( )()()42420.27mvkTmvkTm vvkTNNf vvf vNNf vvf vmevkTmevkTvevMaxwellMaxwell速率分布率：速率分布率：五、麦克斯韦速率分布的实验验证五、麦克斯韦速率分布的实验验证O OD D蒸汽源蒸汽源检测器检测器R R抽气抽气抽气抽气 19551955年密勒年密勒(Miller)(Miller)和库什和库什(P.Kusch)(P.Kusch)的实验比较的实验比较精确地验证了麦克斯韦速率分布定律。精确地验证了麦克斯韦速率分布定律。密勒密勒- -库什实验装置及演示库什实验装置及

14、演示当园柱体当园柱体R R以角速度以角速度旋转时，只有速率旋转时，只有速率 v 满足满足速率选择条件的原子才能通过细槽。速率选择条件的原子才能通过细槽。改变改变，对不同速率范围内的原子射线测其强度，对不同速率范围内的原子射线测其强度，就可验证麦克斯韦速度分布率就可验证麦克斯韦速度分布率LvLv速率选择条件：速率选择条件：应用麦克斯韦分布律计算有关问题时常用到的应用麦克斯韦分布律计算有关问题时常用到的一些广义函数积分的递推公式一些广义函数积分的递推公式222200010121212axnnnaxaxnIex dxIaIedxaIexdxa积分积分表积分积分表20nxx edx1 1、平衡态下微观

15、粒子的三种速率、平衡态下微观粒子的三种速率六、麦克斯韦分布律的应用六、麦克斯韦分布律的应用22pkTRTvmc.c.方均根速率方均根速率2vb.b.平均速率平均速率v 088vTRTvvfdvm 2203vvv fdvkT m233kTRTvma.a.最可几速率最可几速率 vp: : 出现概率最大的速率出现概率最大的速率三种速率在不同的问题中各有自已的应用三种速率在不同的问题中各有自已的应用v02vvpv vf28:2 :31.41:1.60 :1.73pvvv 2 2、气体分子碰壁数与泻流、气体分子碰壁数与泻流碰壁数碰壁数( ():):单位时间内速度在单位时间内速度在vv+dv范围内范围内碰

16、撞器壁内表面碰撞器壁内表面( (y-z面面) )面元面元d d的分子数为：的分子数为： 222xyz312-m v +v +v/ kT2xxyzm= nev dv dv dv d2kT( )xdNv d nf v dvdxvy zvx单位时间内碰到单位面积容器壁单位时间内碰到单位面积容器壁上的分子数上的分子数. .单位时间内同单位时间内同d d碰撞的各种速度的总分子数碰撞的各种速度的总分子数N N为：为：利用积分公式利用积分公式222xyz31112- mv /kT- mv /kT- mv /kT222xxyz0-mN=nd v edvedvedv2kT2112/212ymvkTymedvkT

17、2112/1 2201 8()24xmvkTxxmkTv edvkTm得得碰壁数：碰壁数：把面元把面元d d挖掉成一小孔。当小孔很小，以致跑出挖掉成一小孔。当小孔很小，以致跑出的气体分子对容器内气体平衡状态的影响可以忽的气体分子对容器内气体平衡状态的影响可以忽略，这样小孔的漏气现象称为泻流略，这样小孔的漏气现象称为泻流. . 值就是单值就是单位时间内泄漏出单位面积小孔的分子数。位时间内泄漏出单位面积小孔的分子数。12184kTNndm18144NkTnnvdm 3 3 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律一、气体分子在重力场中按高度的分布一、气体分子在重力场中按高度的分布重力场中平衡态理想气体，重力场

18、中平衡态理想气体，即即p0pp+dpz+dzz0z()Pdp Sgdz Sp Snmdpgdznmgdz考虑考虑 z z + dz 段段: :两边积分：两边积分：0nmgzpp ep0 是是 z0 时的压强。时的压强。玻尔兹曼分子数玻尔兹曼分子数密度分布率密度分布率在登山运动和航空驾驶中常通过测压强在登山运动和航空驾驶中常通过测压强p p来估算高度来估算高度. .00lnlnppkTRTZmgpgp由由pnkTpnkT0nmgzpp e0mgzkTnn e0mgzkTp e等温气压公式等温气压公式 保守力场中粒子按位置的分布率保守力场中粒子按位置的分布率( (玻耳兹曼数密度分玻耳兹曼数密度分布

19、率布率) )：( , , )0( , , )px y zkTn x y zn e在在(x,y,z) (x+dx,y+dy,z+dz)空间内气体的分子数为：空间内气体的分子数为：( , , )0( )px y zkTdNn r dxdydzdxdydzn e 一个分子在一个分子在(x,y,z) (x+dx,y+dy,z+dz)的概率为：的概率为：( , , )0( )( )px y zkTVdNdxdydzf r dxdydn ezNn r dV ( , , )( , , )( , , )ppx y zkTx y zkTVef x y zedxdydz 玻尔兹曼位置分布函数（位置概率密度函数）玻

20、尔兹曼位置分布函数（位置概率密度函数）保守力场中粒子按位置的分布率保守力场中粒子按位置的分布率( (玻耳兹曼分布率玻耳兹曼分布率) )：二、麦克斯韦玻耳兹曼分布（二、麦克斯韦玻耳兹曼分布（MBMB分布）分布） 23 23/22()22kmvkTkTM vmmfeekTkT而粒子按速度的分布律（麦克斯韦速度分布率）为：而粒子按速度的分布律（麦克斯韦速度分布率）为：( , , )( , , )( , , )ppx y zkTx y zkTVef x y zedxdydz ( , , )( , , )00ppx y zkTx y zkTnNef e经典力学中位置和动量（或速度）互相独立，因经典力学中

21、位置和动量（或速度）互相独立，因此，粒子按速度的分布和按位置的分布就是互相此，粒子按速度的分布和按位置的分布就是互相独立事件，由独立事件的概率乘法法则可知，粒独立事件，由独立事件的概率乘法法则可知，粒子按速度及位置的分布律为：子按速度及位置的分布律为： ,)/3/20()2kPv rM vB rkTfffmfekT（上式称为麦克斯韦玻耳兹曼分布律，适用于保守上式称为麦克斯韦玻耳兹曼分布律，适用于保守场中的系统。场中的系统。 3/2/0()2kTmfekT 玻耳兹曼因子玻耳兹曼因子4 4、能量均分定理、能量均分定理 确定运动物体在空间位置所需要的独立坐标数目确定运动物体在空间位置所需要的独立坐标

22、数目. .一、自由度一、自由度双原子分子：双原子分子：刚性刚性 i=5i=5非刚性非刚性 i=6i=6多原子分子：多原子分子：刚性刚性: i=6: i=6非刚性非刚性: i : i 3n 3n 气体分子运动自由度：气体分子运动自由度： 单原子分子：单原子分子：3 3个平动自由度个平动自由度, i=3, i=3二、能量按自由度均分定理二、能量按自由度均分定理21322mvT理想气体的平均平动能为理想气体的平均平动能为222211112222xyzmvmvmvmv在平衡状态下在平衡状态下222213xyzvvvv22211112222xyzmvmvmvT每个平动自由度上的平均动能都等于每个平动自由

23、度上的平均动能都等于kT/2kT/2能量均分定理：能量均分定理：t t：平动自由度数；：平动自由度数；r r：转动自由度数；：转动自由度数；s s：振动自由度数：振动自由度数平衡态时，各个自由度上运动的机会均等且能量均平衡态时，各个自由度上运动的机会均等且能量均分，任何一种运动都不比另一种运动更占优势。分，任何一种运动都不比另一种运动更占优势。分子的平均总能量分子的平均总能量221trsT 在温度为在温度为T T的平衡态下的平衡态下, , 物质分子的任何一个物质分子的任何一个自由度上均分配有自由度上均分配有kT/2kT/2 的平均热运动动能。的平均热运动动能。三、理想气体的内能与热容三、理想气

24、体的内能与热容 1mol1mol理想气体的内能：理想气体的内能： mol mol理想气体的内能：理想气体的内能：理想气体的内能是温度的单值函数理想气体的内能是温度的单值函数 U =U(T)mol()22AiiUNkTRT2iURT,V mQdUCdTdT理想气体定容摩尔热容：理想气体定容摩尔热容：32R52R单原子分子气体单原子分子气体双原子刚性分子气体双原子刚性分子气体122trs R例例 求在温度为求在温度为3030时氧气分子的平均平动动能时氧气分子的平均平动动能, , 平平均动能均动能, , 平均能量以及平均能量以及4.04.0 1010-3-3 kg kg的氧气的内能的氧气的内能( (

25、常常温下可以认为是刚性分子，不考虑振动能温下可以认为是刚性分子，不考虑振动能) )。解解: :氧分子是双原子分子，平动自由度氧分子是双原子分子，平动自由度t=3t=3，转动自由度转动自由度r=2r=2。平均平动动能平均平动动能平均动能平均动能平均能量平均能量内能内能2136.28 10(J)22ttkTkT2051.05 10(J)22ktrkTkT201.05 10(J)k257.87 10 (J)2MURT例例 星体周围大气的稳定性。试计算气体在大气中的逃星体周围大气的稳定性。试计算气体在大气中的逃逸速率与方均根速率之比。其中大气温度逸速率与方均根速率之比。其中大气温度 T=290K, T

26、=290K, 地地球质量球质量M Me e= 6.0= 6.010102424kg, kg, 地球半径地球半径R Re e=6.4=6.410106 6m.m.解解: :设无穷远处引力势能为零设无穷远处引力势能为零, ,在地球表面附近大气层中的在地球表面附近大气层中的分子具有引力势能为：分子具有引力势能为：分子逃逸条件：分子逃逸条件：而对于气体分子，其方均根速而对于气体分子，其方均根速率为率为分子逃逸速率分子逃逸速率epeM mEGR212pkEEmv2eeGMvR逃23RTv故两速率之比故两速率之比: :223eevGMKR RTTv逃气体种类气体种类氢气氢气氦气氦气氮气氮气氧气氧气二氧化碳

27、二氧化碳速率之比速率之比5.95.98.38.322.122.123.623.627.727.7气体的两速率比值愈小表明分子愈容易逃脱地球气体的两速率比值愈小表明分子愈容易逃脱地球引力场作用空间，这是大气层中氢气和氦气成分远引力场作用空间，这是大气层中氢气和氦气成分远小于氮气和氧气的原因之一小于氮气和氧气的原因之一 由由K K的表达式知，由臭氧层破坏形成温室效应及植的表达式知，由臭氧层破坏形成温室效应及植被破坏等因素引起的温度升高都会降低地球周围大被破坏等因素引起的温度升高都会降低地球周围大气的气的K K值，从而改变大气结构并影响其稳定性，直接值，从而改变大气结构并影响其稳定性，直接威胁到人类的生存环境。威胁到人类的生存环境。2vKTv逃本章基本要求本章基本要求1 1、理解速率分布函数和麦克斯韦速率分布律，并能、理解速率分布函数和麦克斯韦速率分布律，并能导出三种速率的统计值；了解速度分布律的意义；导出三种速率的统计值；了解速度分布律的意义；2 2、了解玻耳兹曼分布律、玻耳兹曼因子和粒子在重、了解玻耳兹曼分布律、玻耳兹曼因子和粒子在重力场中按高度分布的公式；力场中按高度分布的公式；3 3、掌握能量均分定理的意义及其物理基础，能由它、掌握能量均分定理的意义及其物理基础，能由它导出理想气体内能公式；导出理想气体内能公式；