极限计算方法总结名师制作优质教学资料.docx

《极限计算方法总结名师制作优质教学资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极限计算方法总结名师制作优质教学资料.docx（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品名师归纳总结极限运算方法总结（简洁版）一、极限定义、运算法就和一些结果 1定义：（各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材,这里不一一表达）。 说明：（ 1）一些最简洁的数列或函数的极限（极限值可以观看得到）都可以用上面的极限严格定义证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明,例如： limb0 a,b为常数且 a0 。 lim 3x15 。 lim qn0 , 当| q | 1时。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nan等等x2n不存在,当 | q |1时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）在后面求极限时, （ 1）中提到的简洁极限作为已知

2、结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。2. 极限运算法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1 已知limf x , limg x 都存在,极限值分别为A, B,就下面极限都存在,且有（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf xg xAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） limf xg xAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） limf xA , 此时需 B0成

3、立 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g xB说明：极限号下面的极限过程是一样的。同时留意法就成立的条件,当条件不满意时,不能用。3. 两个重要极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）limsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）lim 11x xel i m11 xe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0。xx说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身,仍应能够娴熟运用它们的变形形式,作者简介：靳一东,男, （1964）,副教授。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

4、师归纳总结例如：limsin 3x1 , lim 112 x 2 xe , lim 1x3 3e 。等等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x03xx0xx4. 等价无穷小定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍旧是无穷小（即极限是0）。x定理 3 当 x0 时,以下函数都是无穷小（即极限是0）,且相互等价,即有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x sinx tanx arcsinx arctanx ln1x e1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2说明：当上面每个函数中的自变量x 换成g x 时（g x0

5、 ）,仍有上面的等价可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关系成立,例如： 当 x0 时,e3 x1 3x。 ln1x2 x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 4 假如函数f x, g x,f1 x, g1 x 都是 xx0 时的无穷小, 且f x f1 x ,g x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g xlimf1 x存 在 时 ,limf x也 存 在 且 等 于f xlimf1 x, 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1, 就 当

6、xx0g1 xxx0g xxx 0g1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf x= limf 1 x。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx 0g xxx0g1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 洛比达法就定理 5 假设当自变量 x 趋近于某肯定值（或无穷大）时,函数f x 和gx 满意：（ 1）f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和 g x 的极限都是0 或都是无穷大。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2

7、）f x 和g x都可导,且g x 的导数不为 0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） limf xg x存在（或是无穷大） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就极限l i mf x也肯定存在,且等于fl i m x,即l i mf x= limf x。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g xg xg xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：定理 5 称为洛比达法就,用该法就求极限时,应留意条件是否满意,只要有一条不满意,洛比

8、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结达法就就不能应用。特殊要留意条件（1）是否满意,即验证所求极限是否为“0 ”型或“”型。条件0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）一般都满意,而条件（3）就在求导完毕后可以知道是否满意。另外,洛比达法就可以连续使用,但每次使用之前都需要留意条件。6. 连续性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即假如x0 是函数f x 的定义去间内的一点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有 limf xf x0 。可编

9、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx07. 极限存在准就定理 7（准就 1） 单调有界数列必有极限。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 8（准就 2） 已知 xn , yn , zn 为三个数列,且满意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） ynxnzn, n1,2,3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）lim ynna, lim znan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

10、纳总结就极限lim xn n肯定存在,且极限值也是a ,即lim xna 。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、求极限方法举例1. 用初等方法变形后,再利用极限运算法就求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1lim3x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x13x1 2223x33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = limlim。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 x13x12x1 x13x124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：此题也可以用洛比达法就。可编辑资料 - - -

11、欢迎下载精品名师归纳总结例 2limnn n2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解：原式 = limn n2 n2n1n1分子分母同除以nlimn33。12112nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3limn1 n3n2n3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式上下同除以 3nlimn1) n131 。2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结132. 利用函数的连续性（定理6）求极限1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

12、纳总结例 4 limx2 ex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于 x02 是函数f x1x2 ex的一个连续点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1所以原式 = 22 e 24e 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 利用两个重要极限求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5lim 1cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x03x 22 sin 2 x2 sin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

13、名师归纳总结解：原式 = lim2lim21。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x03x 2x012 x 262可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：此题也可以用洛比达法就。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6lim 13sin2x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = lim 13sin x13sin x6 sin x xlim 13sin x13sin x 6sin x xe 6。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载

14、精品名师归纳总结例 7lim nnn2) n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 13 nn 13n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = lim 13 3n 1lim 13 3 n 1e 3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1nn14. 利用定理 2 求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8lim x2 sin 1x0x解：原式 =0 （定理 2 的结果）。5. 利用等价无穷小代换（定理4）求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9limx ln13

15、x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0 arctan x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：x0时,l n13x 3x , a r c t axn2 x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 3 x原式 = lim23 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10x0xexesin xlim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 0xsin xesin x exsin x1esin x xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = limlim1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

16、名师归纳总结x0xsin xx0xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：下面的解法是错误的：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x原式 = lim e1sin xlim xsin x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e1x0xsin xx0 xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正如下面例题解法错误一样：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t a nx l i ms i nx3xxl i m30 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

17、例 11limtanx2sin 1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0解：当 xsin x0 时,x 2sin 1x是无穷小,tan x 2sin1 与x2xsin1 等价 ,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,原式 = limx2 sin 1xlimxsin 10 。（最终一步用到定理2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0x6. 利用洛比达法就求极限说明： 当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时, 洛比达法就仍可以连续使用。可编辑资料 -

18、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12lim 1cos x2（例 4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x03x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = limsin x1。（最终一步用到了重要极限）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x06x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13limcos x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = limsinx22。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x112可编辑资料 - - - 欢迎下载精

19、品名师归纳总结例 14lim xsin x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = lim 1cos x= limsin x1。（连续用洛比达法就,最终用重要极限）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x03x 2x06x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 15limsin xx cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x2 sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式limsin xx cos xlimcos xcos xxsin x可编辑资料 -

20、- - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x 2xx03x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：limx sin x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 18x03x3lim 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 0xln1x解： 错误会法： 原式 = lim 11 0 。x0xx正确解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式limln1xxlimln1xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x ln1xx0x x11lim 1xlimx1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x02xx0 2x1x2可

21、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应当留意,洛比达法就并不是总可以用,如下例。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 19limx2 sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3 xcos x012 cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：易见：该极限是“”型,但用洛比达法就后得到：lim,此极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0不存在,而原先极限却是存在的。正确做法如下：x3sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1原式 = limx32sin x xcos xx（分子、分母同时除以x） =1（

22、利用定理 1 和定理 2）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 利用极限存在准就求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 20 已知 x12 , xn 12xn, n1, 2, ,求lim xn n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：易证：数列 xn单调递增, 且有界（ 0 xn2 ）,由准就 1 极限limnxn 存在,设lim xna 。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对已知的递推公式xn 12 xn两边求极限,得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

23、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a,解得： a2 或 a1（不合题意,舍去） 。所以lim xn2 。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 21lim 111222nn1n2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2解： 易见：nn1122n1n21n22nnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 limnnn2n1 , limn1n1n2111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以由准就2 得：lim nn21n221 。n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载