函数的单调性知识点与题型归纳.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高考明方向1. 懂得函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2. 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.备考知考情1. 函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点， 常见问题有：求单调区间，判定函数的单调性，求参数的 取值，利用函数单调性比较数的大小， 以及解不等式等客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简洁应用2. 题型多以挑选题、填空题的形式显现，如与导数交汇命题，就以解答题的形式显现.一、学问梳理 名师一号 P15留意：争论函数单调性必需 先求函数的定义域， 函数的单调区间是 定义域的子集单

2、调区间 不能并 ！学问点一函数的单调性1. 单调函数的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2.单调性、单调区间的定义如函数 fx在区间 D 上是增函数或减函数 ，就称函数 fx 在这一区间上具有 严格的 单调性， 区间 D 叫做 fx的单调区间 .留意：1、名师一号 P16 问题探究 问题 1关于函数单调性的定义应留意哪些问题？1定义中

3、x1， x2 具有任意性 ，不能是规定的特定值2函数的 单调区间必需是定义域的子集 。3定义的两种变式 ：设任意 x1，x2 a，b且 x10 . fx在a，b上是增函数。x1 x2fx1fx20 . fx在a，b上是减函数2、名师一号 P16问题探究问题 2单调区间的表示留意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“ ”联结，也不能用 “或”联结学问点二单调性的 证明 方法： 定义法及导数法名师一号 P16高频考点例 1规律方法(1) 定义法 :利用定义证明函数单调性的一般步骤是：任取 x1、x2 D，且 x10，就fx在区间 D 内

4、为增函数。假如f x0，就1为减增函数，fx为增 减函数 fx3互为反函数的两个函数有相同的单调性4yfgx是定义在 M 上的函数， 如 fx与 gx的单调性相同，就其复合函数 fgx为增函数。如 fx、gx的单调性相反，就其复合函数 fgx为减函数 简称”同增异减 ”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反函数单调性的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

5、结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师一号 P17特色专题1求某些函数的值域或最值2比较函数值或自变量值的大小3解、证不等式4求参数的取值范畴或值5作函数图象二、例题分析：（一函数单调性的判定与证明例 1. （ 1）名师一号 P16对点自测1判定以下说法是否正确1函数 fx2x1 在 ， 上是增函数 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2函数 fx在其定义域上是减函数x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3已知 fxx，gx 2x，就 y fx gx在定义域上是增函数 答案： 例 1. （ 2）名师一号 P16高频考点例 1（

6、1） 2021 北京卷 以下函数中，在区间 0， 上为增函数的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -xAyx1B y x12Cy2Dy log0.5x1答案： A.例 2. （ 1）名师一号 P16高频考点例 1（2）判定函数 fx ax 在1， 上的单调性，并证明x1法一：定义法设 1x1x2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

7、结就 fxfx ax1 ax2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12x1 1x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax1x2 ax2x1x1x2ax1x2x1x2 1x1x2，x1 x20，x2 10.当 a0 时， fx1 fx20， 即 fx1fx2，函数 yfx在1， 上单调递增可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -

8、 - -同理当 a0， 即 fx1fx2，函数 yfx在1， 上单调递减法二：导数法留意：名师一号 P17高频考点例 1规律方法1.判定函数的单调性应先求定义域。2.用定义法判定 或证明 函数单调性的一般步骤为： 取值 作差变形 判号 定论，其中变形为关键， 而变形的方法有因式分解、 配方法等。3.用导数判定函数的单调性简洁快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例 1. 名师一号 P16高频考点例 2（1）求函数 y x |1x|的单调增区间。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx|1x|1，x1，2x 1， x0.就 x3.可编辑资料 - - - 欢迎下载

9、精品名师归纳总结函数 y log13x24x 3的定义域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结， 13， 又 ux2 4x3 的图象的对称轴为x2，且开口向上， u x24x 3 在，1上是减函数， 在3， 上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而函数 y log13u 在0， 上是减函数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料wor

10、d 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 y log13x24x 3的单调递减区间为 3， ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调递增区间为 ， 1留意：名师一号 P17高频考点例 2规律方法求函数的单调区间的常用方法1利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间2定义法：先求定义域，再利用单调性定义3图象法：假如 fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间4导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

11、例 2.（2） 补充 ylog 1 x4log 1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1答案：增区间：, 4。减区间：0, 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习:y2log 2 xlog 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：增区间：2,。减区间：0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -

12、 - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小例 1. （ 1）名师一号 P17特色专题典例1已知函数 fxlog2x1，如 x11,2，x22，1x就Afx10，fx20Bfx10 Cfx10，fx20， fx2 0【规范解答】函数 fxlog2x1在1， 上为1x增函数，且 f2 0，当 x11,2时， fx1f20，即 fx10.例 1. （ 2）名师一号 P17特色专题典例22x 4x3，x0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知函数 fxx2 2x3，x0，就不等式可编辑

13、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fa2 4f3a的解集为 A2,6B1,4C 1,4D 3,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【规范解答】 作出函数 fx的图象， 如下列图，就函数fx在 R 上是 单调递减的由fa24f3a，可得 a2 43a，整理得 a2 3a40， 即a1a 40，解得 1a4， 所以不等式的解集为 1,

14、4留意: 本例分段函数的单调区间可以并.（四）已知单调性求参数的值或取值范畴例 1.1名师一号 P17特色专题典例3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已 知函 数 fxa2x, xx11,x22满 足对 任意 的 实数2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2，都有f x1f x2 0 成立，就实数a 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8围为x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A ， 2B. ，13C ， 2D.138 ， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学

15、习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【规范解答】 函数 fx是 R 上的减函数，a20，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是有1由此解得 a 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 ，2 1，8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8即实数 a 的取值范畴是，13 .例 2.1（补充） 假如函数 fxax22x3 在区间，4上单调递增，就实数a

16、的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案1， 04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析1当 a0 时， fx2x3，在定义域 R 上单调递增，故在 ，4上单调递增。，a2当 a0时，二次函数 fx的对称轴为直线x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 fx在，4上单调递增，所以a0，且14，解a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1得 a0，就由 f x0 得 x 2a，当 x2a时，f x0，fx单调增，当2ax2a时，fx单调减，fx的单调减区间为 2a，2a，从而2a2，a 2.变式： 如 fxx3 6ax 在区间

17、2,2单调递减， 就 a 的取值范畴是？点评 fx的单调递减区间是 2,2和 fx在 2，2上单调递减是不同的， 应加以区分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -本例亦可用 x2 是方程 f x3x26a 0 的两根解得 a2.例 2.3 （补充）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数f xlog 12 x3ax在3, 2上单

18、调递减，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就实数 a 的取值范畴是（）A 9，12B4，12C 4，27D9，27答案： A温故知新 P23 第 9 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数 fxlog 1x22ax3a在区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2,上单调递减，就实数a 的取值范畴是计时双基练 P217基础 7计时双基练 P217基础 8、10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、设函数 fxax1x2a在区间2,上是增函数 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢

19、迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案:1,10、设函数 fxxxa xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如 a0 且 fx在区间 1,内单调递减 ,求 a 的取值范畴 .答案:1,（五）抽象函数的单调性例 1.（补充） 已知 fx为 R 上的减函数，那么满意1可编辑资料 - - - 欢迎下载

20、精品名师归纳总结f|f1的实数 x 的取值范畴是 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1,1B0,1C 1,00,1D ， 11， 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： C1解析：由于 fx为减函数，f|x1|1，就|x|1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 x0，即 x 1,00,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - -

21、 - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习：yf x 是定义在1,1 上的增函数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解不等式f 1xf 1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：0,1温故知新 P12第 8 题留意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例 2. 计时双基练 P216培优 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 f x 的定义域为0,，且对一切 xx0, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都有 f yf xfy ， 当 x1 时，有f x0。可编辑资料 -

22、- - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ） 求f 1的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ） 判定f x 的单调性并加以证明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ） 如f 42 ，求f x 在 1,16 上的值域 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案: 单调增 ;0,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - -

23、- - - - - - -留意： 有关抽象函数单调性的证明通常立足定义练习:计时双基练 P218培优 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 f x 的定义域为0,，且对一切x, yR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都有 f xfyf xy ，当 x0 时，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0, f12 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求证:f x 在 R 上是减函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 求f x 在3,3 上的最大值与最小值 .

24、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案:2;2课后作业一、计时双基练 P217 基础 1-10课本 P16-17 变式摸索 1、2。二、计时双基练 P217 基础 11、培优 1-4课本 P18 对应训练 1、2、3预习 其次章第四节函数的奇偶性与周期性补充：练习 1：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - -

25、 欢迎下载精品名师归纳总结函数 fx x 3a，x0 且 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 R 上的减函数，就a 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 0,1B13， 1C 0，123D0， 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： fx在 R 上为减函数，故 fxaxx 0为减函数， 可知 0a1，又由 fx在 R 上为减函数可知， fx在 x0 时的值恒大于 fx在 x0 时的值，从而 3a1.解析： fx在 R 上单调递减，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0a1，3a1.1 a1.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 2：已 知 fx3 a x 4ax1 ，又由 fx在， 1上单增，3 a0，a3 ，又由于 fx在 R 上是增函数，为了满意单调区间的定义， fx在 ， 1 上的最大值 35a 要小于等于 fx在1， 上的最小值50，才能保证单调区间的要求， 3 5a 0，即 a3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由可得1a3.解法 2：令 a 分别等于应选 D.35、0、1，