2020届高考数学（文）课标版二轮复习训练习题：基础考点第5讲　数学文化 .docx

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1、第5讲数学文化一、选择题1.我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(u)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是()A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸答案B设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列an,公差为d,a1=15,a13=135,则15+12d=135,解得d=10.所以a2=15+10=25,所以小暑的晷长是25寸,即二尺五寸,故选B.2.

2、秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的n,x的值分别为3,3,则输出的v的值为()A.15B.16C.47D.48答案D执行程序框图,n=3,x=3,v=1,i=20,v=13+2=5,i=10,v=53+1=16,i=00,v=163+0=48,i=-10),则12(6x+x2)=72,解得x=1.设OA=y,则(y-1)2+9=y2,解得y=5.由余弦定理得cosAOB=25+25-36255=725,故选D.11.中国传统文化中

3、很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑、白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义:图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.给出下列命题:对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个; 函数f(x)=ln(x2+x2+1)可以是某个圆的“太极函数”;正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”;函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题为()A.B.C.D.答案A过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,故对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数

4、个,故正确;函数f(x)=ln(x2+x2+1)的大致图象如图所示,故其不可能为圆的“太极函数”,故错误;将圆的圆心放在正弦函数y=sin x图象的对称中心上,则图象可以将圆的周长和面积等分成两部分,所以正弦函数y=sin x是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”,故正确;函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“太极函数”,但函数y=f(x)是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故错误,故选A.二、填空题12.我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等

5、?”意思是:“今有蒲草第1天长高3尺,莞草第1天长高1尺.以后,蒲草每天长高前一天的一半,莞草每天长高前一天的2倍.问第几天蒲草和莞草的高度相同?”根据上述的已知条件,可求得第天时,蒲草和莞草的高度相同.(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:lg 30.477 1,lg 20.301 0)答案3解析由题意得,蒲草的高度组成首项为a1=3,公比为12的等比数列an,设其前n项和为An;莞草的高度组成首项为b1=1,公比为2的等比数列bn,设其前n项和为Bn,则An=31-12n1-12,Bn=2n-12-1,令31-12n1-12=2n-12-1,化简得2n+62n=7(nN*),解得2

6、n=6,所以n=lg6lg2=1+lg3lg23,即第3天时蒲草和莞草高度相同.13.(2019山东安丘、诸城、五莲、兰山模拟理)周髀算经中有一个问题:从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为.答案15.5尺解析设此等差数列an的公差为d,则a1+a4+a7=3a1+9d=37.5,a1+11d=4.5,解得d=-1,a1=15.5.14.将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的体积为.答案2053解析如图,在长方体中可找到符合题意的三棱锥P-ABC,则球O的直径2R=PC=PA2+AC2=20=25,所以R=5.故球O的体积V=43R3=2053.