2022年数值分析部分思考题答案 .pdf

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1、数值分析部分思考题答案有错很正常，不要吐槽就好! 5、解： （1） 局部收敛性： 设2( ),f xCa b， 若x为( )f x在,a b上的根， 且()0fx，则存在x的某邻域()Ux使得任取初始值0()xUx，Newton 法产生的序列kx收敛到x。（ 2）证明：令( )( )( )f xg xxfx，则2()()()01()f xfxg xfx显然( )g x在,a b上连续，故存在x的某邻域()Ux，使()xUx，有( )1g x由微分中值定理，( )( )()g xxgxxxxxx其中 介于 与之间( )(,)()g xxxUx令()max ( ) )x UxMgx，则01M，且(

2、 )( )()g xxgxxxxM xx其中 介于 与之间110()()0kkkkxxg xg xM xxMxxk， 于是序列kx收敛到x由 Taylor 展开：2212()0()()()()()2!()( )()()2!()()(),2()2()kkkkkkkkkkkkkkkff xf xfxxxxxxxff xxxxxfxfxxxfxfkfxfxxx其中介于与之间证毕精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页6、解： （1）迭代函数2( )20/(210)g xxx，则22401( )1,1.5(210)xg xxxx

3、故迭代格式2120/ (210)kkkxxx收敛（2）迭代函数23( )(202) /10g xxx，则(34)( )1,1.510kkxxgxx故迭代格式231(202) /10kkkxxx发散（3）对于 Newton 迭代，令32( )21020f xxxx，则2( )34100,1.5fxxxx故 Newton 迭代格式1( )( )kkf xxxfx收敛7、解：（1）牛顿迭代法：迭代格式31241121kkkkkxxxxx。取初值00 x，迭代得60.5000 x，收敛。（2）迭代格式：3114kkxx。取初值00 x，迭代得90.5000 x，收敛。（3）迭代格式：3114kkxx，

4、取00 x，迭代知,kkx，发散。一般情况，取适当的初值牛顿迭代法较基于不动点的迭代法能较快的得到结果。8、解：令20120( )( )2( )4( )3( )Hxxxxx。012( ),( ),( )xxx均为三次式，且满足：0000111122220000(0)1,(1)0,(2)0,(1)0(0)0,(1)1,(2)0,(1)000,(1)0,(2)1,(1)0(0)0,(1)0,(2)0,(1)1（1）不 妨 设0()(1 ) (2 ) ()xxxa xb。 由0(0)21b得12b； 由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2

5、页，共 10 页01(1)()02a得12a。即201( )(1) (2)2xxx。（2）不妨设1( )(2)()xx xpxq。由1(1)()1pq及1(1)0p得，( ,)(0,1)p q。即1( )(2)xx x。（3）不妨设2( )(1)()xx xsxt。由2(2)2(2)1st及2(1)0st得11( , )(,)22s t。即221( )(1)2xx x。（4）不妨设0( )(1)(2)xkx xx。 由0( 1 )1k得1k。即0()(1 ) (2 )xxxx32335( )5122Hxxxx插值余项(4)2( )( )(1) (2)4!fR xx xx，其中与x有关。9、解：

6、不妨设300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxyxyx。0101( ),( ),( ),( )xxxx均为三次式，为计算简便不妨设010,1xx，则0000111100001111(0)1,(1)0,(0)0,(1)0(0)0,(1)1,(0)0,(1)0(0)0,(1)0,(0)1,(1)0(0)0,(1)0,(0)0,(1) 1不妨设20( )(1)()xxaxbxc， 由0( 0 )1c得1c； 由0( 0 )10b得1b；由0(1)20a得2a。故20( )(1) (21)xxx用类似的方法可以求得：212021( )( 23)( )(1)( )(1)xxxxx x

7、xxx回到原题，令10hxx，则0000300110011( )()()()()xxxxxxxxHxyyhyhyhhhh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页其中20212021( )(1) (21)( )( 23)( )(1)( )(1)xxxxxxxx xxxx插值余项：(4)22301( )( )( )( )() ()4!fR xf xHxxxxx10、解：记1998 年为第 1 年，设拟合曲线方程rabt，带入数据得正规方程组：836160.4636204910.7abab解得( , )( 0.15,4.49)

8、a b当9t时，40.26r；当10t时，44.75r。故 2006、 20XX年我国的研究生招生人数分别为40.26 万、 44.75 万。11、目测不考！12、解： （1）代数精度：若求积公式0( )()nbkkakfx dxA f x对于不高于m次的代数多项式都准确成立，而对某一个1m次代数多项式不成立，则称求积公式具有m次代数精度。（2）令它对2( )1, ,f xx x精确成立，得2023abcacac134313abc令3( )f xx，左边0，右边0左边右边令4( )f xx，左边25，右边23左边右边故其代数精度为3 13、解：令它对2( )1, ,f xx x精确成立，得精选

9、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页012201823()016()15aa xxa xx014310101010(,)(,)(,)5555axxor令3( )f xx，左边0右边令4( )f xx，左边2435，右边3275左边右边故其代数精度为3 （2）24320.25903575e14、解：1120044arctan( )1|dxxx。令24( )1f xx，用复化Simpson 公式近似计算12041Idxx取步长14h，由复化Simpson 公式，得：4111357113(0)4( )( )()()2( )(

10、)( )(1)4688884243.14159Sfffffffff故3.14159。算法的合理性：( )f x形式简单且易于计算，用复化Simpson 公式精度较高。15、解：由题意知：302021212A300020002D000000210L002001000UJacobi迭代法的迭代矩阵为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页1200310021102BIDA其特征方程为22031110()0212112IB，得123330,6，于是33()16B故 Jacobi迭代法收敛Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵

11、为120031()002110012MDLL其特征方程为22031110()0212110012IM123110,12，于是11()112M故 Gauss-Seidel迭代法收敛16、解： （1）Jacobi方法的迭代格式：(1)( )( )123(1)()()213(1)()()3121(210)51(20)51(230)10kkkkkkkkkxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页Gauss-Seidel方法的迭代格式：(1)()( )123(1)(1)( )213(1)(1)(1)3121(210

12、)51(20)51(230)10kkkkkkkkkxxxxxxxxx（2）5211511210A5000500010D000100120L021001000UJacobi迭代方法的迭代矩阵：12105511055110105BIDAGauss-Seidel迭代方法的迭代矩阵：12105524()025253130125250MDLU（3）因为A是严格对角占优阵，所以Jacobi 迭代方法和Gauss-Seidel迭代方法均收敛。17、解： （1）Jacobi的迭代格式：( +1( )121( +1()2125kkkkxcxbxcxb）Gauss-Seidel的迭代格式：( +1( )121(+

13、1(1)2125kkkkxcxbxcxb）151cAc1001D0050Lc000cU精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页Jacobi的迭代矩阵：1050cBIDAcGauss-Seidel的迭代矩阵：120()05cMDLUc（2）两种迭代收敛的充分必要条件是其迭代矩阵的谱半径小于1。对 Jacobi迭代，其特征方程22505cIBcc，得125( )5cBc对 Gauss-Seidel迭代，其特征方程22(5)005cIMcc，得22120,5()5cMc由()1B得，5555c由()1M得，5555c故两种迭代

14、收敛的充要条件均为：5555c18、解：由题意知：211111112A200010002D000100110L011001000UJacobi迭代法的迭代矩阵为11102210111022BIDA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页其特征方程为211225|11()041122IB，解得12350,2i，于是5()12BJacobi 迭代法发散Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为11102211()0221002MDLU其特征方程为21122111|0()02221002IM，解得12310,2，于是1()12

15、MGauss-Seidel迭代法收敛19、解： （1）局部截断误差：在一步中产生的误差而非累积误差: 111()nnnTy xy其中1ny是当()nnyy x（精确解）时由Euler 法求出的值，即ny无误差。（2）Euler 方法局部截断误差总体截断误差Euler 格式2()O h( )O h隐式 Euler 格式2()O h( )O h改进的 Euler 格式3()O h2()O h精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页20、证明：由题意知：212(,)(,)(,)(,)(,)()nnnnxnnnnynnKf xt

16、h ythKf xythfxythf xyfxyO h312(1) ,(1)(,)(1)(,)(1)(,)(,)()nnnnxnnnnynnKf xt h yt hKf xyt hfxyt hf xyfxyO h123223()2(2 (,)(,)(,)(,)()2(,)(,)(,)(,)()2!nnnnnxnnnnynnnnnxnnnnynnhyyKKhyf xyhfxyhf xyfxyO hhyhf xyfxyf xyfxyO h23123()()()()()2!(,)(,)(,)(,)()2!nnnnnnnxnnnnynnhy xy xhy xyxO hhyhfxyfxyf xyfxyO h证毕21、解： （1）欧拉方法：1nnnyyhy1nnnh11nnh故只要11h，即2h时是绝对稳定的。（2）隐式欧拉法：11nnnyyhy11nnnh1111nnh故0h是绝对稳定的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页