2022年排列组合复习总结 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载排列组合、二项式定理复习总结一、分类计数与分步计数原理的区别和联系分类计数（或加法）原理分步计数（或乘法）原理联系分类计数原理和分步计数原理， 回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别一完成一件事情共有n 类办法，关键词是 “ 分类”完成一件事情 ,共分 n 个步骤，关键词是 “ 分步”区别二每类办法都能独立完成这件事情，任意两类办法具有相互独立性和排斥性。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。区别三12.nNmmmN12nNm mm二、排列数与组合数公式1(1)(2)(

2、1)! =!mnmAn nnnmnnm共个、（多用于计算）（多用于证明）(1)(2)(121 2 3! =!mmnmn nnnmCmnmnm共个共个、（多用于计算）（多用于证明）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习好资料欢迎下载1-1-111210123=5=+6;72mmmmnmnnmnnmnnnnnkkkkkkkkmmnnnnnnACACCCCCCCCCCCCCC、； 4、；、；、三、解排列组合应用题的常用方法解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1） 、认真审题弄清要做什么事。2） 、 怎样做才能完成所要

3、做的事, 即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类。3） 、确定每一步或每一类是排列问题(有序) 还是组合(无序) 问题, 元素总数是多少及取出多少个元素。4） 、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。1、相异元素允许重复的排列。允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地，从 n 个相异元素中允许重复地取出m 个元素（1mn） ，没有限制地安排在 m 个位置上 的排列数mNn 。例 1、3 名同学报名参加4 个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，有多少种不同的报名方案？（34

4、N）例 2、把 5 封信投入 6 个邮箱，不同的投法共有（65 种）2、不尽相异元素的全排列。有n 个元素，其中有1m个元素相同，又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习好资料欢迎下载有2m 个元素相同又有km个元素相同，（1m+2m +kmn） ，则这 n 个元素的全排列数1212kknnmmmmmmANA AA例 3、 三个 1， 四个 2， 三个 4 能排成多少个 10 位数 （有1010343343ANA A A个）3、环排问题。 一般地, 如果从 n 个不同元素中不许重复地取出 m个元素作圆形排列共有mn

5、ANm种例 4、 5 人围桌而坐 , 共有多少种坐法 ?（555AN种）4、特殊元素和特殊位置优先策略。位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主, 需先安排特殊元素, 再处理其它元素.若以位置分析为主, 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件例 5、由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排 ,以免不合要求的元素占了这两个位置， 先排末位共有13C，然后排首位共有14C，最后排其它位置共有34A，由分步计数原理得13C14C3

6、4A=288 种5、相邻元素捆绑策略。要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题. 即先将需要相邻的元素合并为一个元素, 再与其它元素一起作排列,最后要注意合并元素内部也必须排列。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习好资料欢迎下载例 6、某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为（ 20 ）6、不相邻问题插空策略。元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。例7 、 一 个 晚 会 的 节 目 有4个 舞 蹈 , 2个 相 声

7、, 3个独唱, 舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？解: 分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有55A种，第二步将 4舞蹈插入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空位共有46A种不同的方法由分步计数原理,节目的不同顺序共有55A46A种7、定序问题倍缩空位插入策略。定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。例 8、7 人排队, 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法？解、(倍缩法 )对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数 , 则共有不同排法种数是：7733AA。（空位法）设

8、想有7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A种方法，其余的三个位置甲、乙、丙坐共有1 种坐法，则共有47A种方法。（插入法 )先排甲乙丙三个人 , 共有 1 种排法, 再把其余 4 四人依次插入共有 4x5x6x7 种方法。8、多排问题直排策略。一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑 ,再分段研究。例 9、8 人排成前后两排 , 每排 4 人, 其中甲乙在前排 , 丁在后排 , 共有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习好资料欢迎下载多少排法？解:8人排前后两排 ,相当于 8人坐 8把椅子 ,可以把椅

9、子排成一排 .先在前 4 个位置排甲乙两个特殊元素有24A种,再排后 4 个位置上的特殊元素有14A种,其余的 5 人在 5个位置上任意排列有55A种,则共有24A14A55A种。9、正难则反总体淘汰策略。有些排列组合问题, 正面直接考虑比较复杂, 而它的反面往往比较简捷, 可以先求出它的反面, 再从整体中淘汰。例 10、从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数， 使其和为不小于 10 的偶数 ,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10 的偶数很困难 ,可用总体淘汰法。这十个数字中有5 个偶数 5 个奇数, 所取的三个数含有3 个偶数的取法有35C种，只含有

10、1 个偶数的取法有15C25C和为偶数的取法共有35C+15C25C种，再淘汰和小于 10的偶数共 9 种，故符合条件的取法共有35C+15C25C-9 种。10、合理分类与分步策略。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。例 11、在一次演唱会上共10 名演员 , 其中 8 人能唱歌 ,5 人会跳舞 ,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法 ? 解：10 演员中有 5 人只会唱歌， 2 人只会跳舞 3 人为全能演员，以只精选学习资料 - - - - -

11、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习好资料欢迎下载会唱歌的 5 人是否选上唱歌人员为标准进行研究；只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有2233C C种； 只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员有112534C C C种；只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有2255C C种，由分类计数原理共有2233C C+112534C C C+2255C C种本题还有如下分类标准：*以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准； *以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准；*以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准，都可经得到正确结果。11、实

12、际操作穷举策略。对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图，会收到意想不到的结果。例 12、 设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2 ， 3,4,5 的五个盒子 ,现将 5 个球投入这五个盒子内 , 要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有25C种，还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法， 如果剩下 3,4,5号球, 3,4,5号盒，3 号球装4 号盒时，则 4,5 号球有只有 1 种装法，同理 3 号球装 5 号盒时,4,5号球有也只有 1 种装法 ,由分步计

13、数原理有225C种 。12、分解与合成策略。分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略 , 把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决, 然后依据问题分解后的结构, 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 , 每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习好资料欢迎下载例 13、 30030 能被多少个不同的偶数整除？解：先把 30030分解成质因数的乘积形式30030=235 7 1113 依题意可知偶因数必先取2, 再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积

14、，所有的偶因数为：0123455555555232CCCCCC个13、化归策略。处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题， 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题。例 14、 25 人排成 55 方队,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列 , 不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成9 人排成 33 方队,现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列, 有多少种选法。这样每行必有1 人从其中的一行中选取 1 人后, 把这人所在的行列都划掉，如此继续下去. 从 33 方队中选 3 人的方法有111321C C C种。再从

15、55 方队选出 33 方队便可解决问题。从55 方队中选取 3 行 3 列有3355C C种选法，所以从55 方队中选不在同一行也不在同一列的3 人有3355C C111321C C C=600 种选法。例 15、正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线？解：我们先从8 个顶点中任取4 个顶点构成四面体，共有4812C=58个四面体，每个四面体有3 对异面直线 ,所以正方体中的8 个顶点可连成 3（4812C）=174对异面直线。14、平均分组问题除法策略。平均分成的组 ,不管它们的顺序如何 ,都精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7

16、页，共 13 页学习好资料欢迎下载是一种情况 ,所以分组后要一定要除以nnA(n 为均分的组数 )避免重复计数。例 16、 6 本不同的书平均分成3 堆,每堆 2 本共有多少种分法？解: 分三步取书得222642C C C 种方法 ,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF 若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF， 该分法记为 (AB,CD,EF), 则222642C C C 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF), (CD,EF,AB)，(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有33A种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF) 一种分法 ,故共有

17、22264233C C CA种分法。四、二项式定理1、展开式(a b)n所表示的定理叫做二项式定理。注：1）. 项数规律：展开式共有n+1 个项。2）. 指数规律： （1）各项的指数和均为n； （2）二项和的第一项a 的指数由 n 逐次降到 0，第二项 b 的指数由 0 逐次升到 n。3）. 注意区别二项式系数与项的系数的概念，二项式系数为knC ；项的系数为：二项式系数与数字系数的积。4）. (ab)n的展开式与 (ba)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同2、通项：Tk1kn kknC ab为二项展开式的第K+1项，称其为二项展开式的通项。二项展开式的通项公式T

18、k1= knCankbk (k0,1,2， ，n)集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习好资料欢迎下载它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用使用时要注意：(1)、通项公式表示的是第 “ k1” 项，而不是第 “ k” 项；(2)、通项公式中 a 和 b的位置不能颠倒；(3)、展开式中第k1 项的二项式系数与第k1 项的系数，在一般情况下是不相同的， 在具体求各项的系数时， 一般先处

19、理符号， 对根式和指数的运算要细心，以防出差错例 1、试判断在的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由. 解：设展开式中的第r+1 项为常数项，则：由题意可知，故存在常数项且为第7 项，常数项为例 2、由展开式所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有多少项？解：展开式的通项公式为：8312xx8824 43188311122rrrrrrrrxTCCxx244063rr8 6660781172TCx1003( 32)x1003( 32)x10010010033211001003232rrrrrrrrTCxCx100,.236,0100.0,6,12,96,17.rrTrr均

20、为整数时为有理数为 的倍数 且即r 为展开式中共有项有理项精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习好资料欢迎下载3、二项展开式中的“系数”的问题。1） 、求二项式系数最大项：(1)如果 n 是偶数，则中间一项第12n的二项式系数2nnC最大；(2)如果 n 是奇数，则中间两项第12n项的二项式系数12nnC与第12n+1项的二项式系数12nnC相等并最大2） 、二项式系数的“和”的性质：（1）012.2nnnnnnCCCC（2）0241351=.=.2nnnnnnnSCCCSCCC奇偶3） 、求展开式系数最大项：如求

21、 (abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为1kT（ k=0,1,23, n ） 且1kT系 数 最 大 ， 应 用112kkkkTTTT从而解出 k 来，即得例 3、已知222()xx(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 101， 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项解：由题意知，第五项系数为4nC (2)4，第三项的系数4nC (2)2为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习好资料欢迎下载则有化简得 n25n240， 解得 n8 或 n3(

22、舍去)设展开式中的第k 项， 第 k1 项， 第 k2 项的系数绝对值分别为kT、1kT、2kT，依次为设第 k1 项的系数绝对值最大，则，解得 5k6，又 T6的系数为负，系数最大的项为T71 792x11，由 n8 知第 5 项二项式系数最大，此时T51 120 x6。4） 、用“赋值法”求“系数”的和。（1） 、对形如 (axb)n、(ax2bxc)m、(a、b、cR)的式子求其展开式的各项系数之和， 常用赋值法，只需令 x1 即可； 对(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1 即可（2） 、一般地，若 f(x)a0a1xa2x2 anxn，则 f(x)展开式

23、中各项系数之和为f(1)，即 f(1)= T奇+T偶，另外有奇数项系数之和为T奇=a0a2a4 (1)( 1)2ff偶数项系数之和为T偶=a1a3a5 (1)( 1)2ff例 4、若(3x1)7a7x7a6x6 a1xa0，求：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习好资料欢迎下载(1)a7a6 a1；(2)a7a5a3a1；(3)a6a4a2a0.解：(1)令 x0，则 a01；令 x1，则 a7a6 a1a027128， （1）a7a6 a1129.(2)令 x1，则 a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7（

24、2）由1 +22（）（）得：a7a5a3a112128(4)78 256.(3)由1 +22（）（）得：a6a4a2a012128(4)78 128.例 5、若(12x)2009a0a1x a2009x2009(xR)，则的值为 () A2；B0；C1；D2解：令 x0，则 a01，令答案C4、二项式定理的应用。1） 、利用二项式定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习好资料欢迎下载例如、 9192除以 100的余数是多少？2） 、利用二项式定理证明不等式问题时，通常是把二项展开式中的某些正项适当删去（缩小），或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。未完待续精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页