2022年数列分知识点讲解绝对好题 .pdf

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1、数列大盘点（一）第一节数列的概念知识点：数列概念、单调性、周期性、通项公式、递推公式例题 1 、写出下列数列的一个通项公式练习：3,5,7,912nan-1，7，-13,19)56(1nnna225, 8,29,2,2122nan7,77,777,7777，)1(9710nna11,22,5,213nan6461,3229,1613,85,41,212213nnnna1,0 ， 1,0 2111nna例题 2、根据下列条件，确定数列an的通项公式。aaannnn111, 1)2(n分析：累乘nan1nnsn23223nns56nan)2() 1(521nnnna例题 3、已知数列an满足11a

2、，)2(113naannn，求aa32,；证明：213nna分 析 ： 134,413, 132321aaa； 由 已 知)2(113naannn得)2(311nnnnaa，故aaaaaaaannnnn112211)()()(211333321nnn例题 4、设an是首项为1 的正数列，且)3,2,1(0) 1(1221nnnaaaannnn，求他的通项公式an分析：对所给式子因式分解得：0) 1()(11aaaannnnnn，01aann；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页aannnn1)1(，12)2()1(,

3、 112211aaaaaannnnnnnan1法 2 累乘法例题 5、数列an的前 n 项和asnn21，求其通项公式an。分析：121asnn，22111asnn两式相减得)(2111aassannnnnaann21，又aa111212，11a，所以数列an是以 -1 为首项， 2 为公比的等比数列，所以21nna练习 1、数列,41,83,21,21的一个通项公式_an2) 1(1nnn2、数列an中，11a，对于所有的2n都有naaaan2321，则_3a493、在数列an中，11a中，对任意Nn, 有aaannn11，则_10a1014、已知数列an满足10a，) 1(110naaaa

4、nn，则当1n时，an（ C ）A、2n B、)1(21nn C、21n D、12n5、已知数列1929922nnn， （1）求这个数列的第10 项； （2）10198是不是该数列中的项，为什么？（3）求证：数列中的各项都在区间（0,1）内分析： （ 1）31281323)13)(13()23)(13(nnnnnnan（2）不是，3100n（3）13311323nnnan10an6、设函数) 10(2)(loglog2xxxfx，数列an满足)3, 2, 1(,2)(2nnafn（1）求数列an的通项公式； （2）判断数列an的单调性。分析：由,2)(loglog2xxxf得naafannn2

5、22)(log2log22，即naann21，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页0122aannn， 且由10 x， 得22010an， 即0an， 解得)(12Nnannn第二节等差数列知识点： 等差数列定义、等差中项、通项公式、求和公式、性质例题 1 已知两个等差数列5、8、11和 3,7,11都有100 项，问它们一共有多少相同的项？并求所有相同项的和。分析：设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新的数列an，则111a，因为数列5,8,11 与 3,7,11 公差分别是3和 4 ， 所以an的公差43d，

6、 所以112nan， 又因数列 5,8,11 与 3,7,11 的前100 项分别是302 与 399，所以302112nan，即25.25n，又Nn，所以连个数列有25 个相同的项。例题 2、已知数列an满足41a，)2(441naann，令21abnn（1）求证数列bn是等差数列； （2）求数列an的通项公式分析： （ 1）由)2(114naann，得) 1(2121211naann，即211bbnn（ 2）nan22例题 3 设等差数列an的前 n 项和为sn，已知0, 0,1213123ssa。（1）求公差d 的范围；（2）指出sss1221,中哪一个值最大，并说明理由。分析： （ 1

7、）由题意得：02) 113(131302) 112(1212113112ddasas；即06011211ddaa又由123a得da2121代入上式，所以3724d（2）saaaaaaass677613112113120002)(1302)1200(最大。例题 4、有两个等差数列an、bn满足327321321nnbbbbaaaann，求ba55精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页分析：126555ba练习： 1、已知an是一个等差数列，5, 152aa（1）求an的通项an（2）求an的前 n 项和sn的最大值。分析

8、： （1）52nan（2）)2(2244nnsnn，sn的最大值是4.2、 （1）等差数列中，若24)(2)( 31310753aaaaa，则_13s26 （2）已知数列an是一个等差数列，且101021aaa，20201211aaa，求_504241aaa50 3、设数列an的通项)(72Nannn，则_1521aaa153 4、已知数列an的前 n 项和)40(nnsn，则下列判断正确的是（）A、0, 02119aa B 、0,02120aaC、0, 02119aaD、0,02019aa分析：由)40(nnsn得412nan选 C 5、等差数列an中，24321aaa，78201918aa

9、a，则此数列前20 项和等于（ B ） A 、160 B 、180 C 、200 D 、220 6、已知数列an中，11a，且)2( ,1211nsssnnn，求an分析：由21112111sssssnnnnn，又11111as，故sn1是首项为1，公差为2 的等差数列。122)1(111nns，)(121Nsnnn,当2n时，)32)(12(21nnssannn故)2()32)(12(2) 1( , 1nnnnan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页第三节等比数列知识点等比数列定义、等比中项通项公式、求和公式、性质

10、例题 1 已知正项数列an中，1002736251aaaaaa，362645342aaaaaa，求数列an的通项公式an和前 n 项和sn。26 nna，2664nns或,22nna)1(212nns例题 2、 （2009 年全国）设数列an前 n 项和为sn，已知11a，241asnn（1）设aabnnn21，证明数列bn是等比数列。（2）求数列an的通项公式。分析： （1） 证明：由已知241asnn，241212aaas， 解得52a，32121aab由241asnn得，2412asnn， 两式相减得)2(22112aaaannnn， 即bbnn21，所以数列bn是以 3 为首项， 2

11、为公比的等比数列。（2） 由 （1） 知道等比数列bn中31b， 公比2q， 所以21132nnnaa， 于是432211nnnnaa又2121a，所以数列2nna是首相为21，公差为43的等差数列，414343)1(212nnnna22)13(nnna例题 2、等比数列an的公比为q，前 n 项的和为sn，若sss10155,成等差数列，求证：ssss1020105,2成等比数列。证明：若 q=1，则as155，as11515，as11010，由01a够不成等差。1q，sss20155,成等差数列，sss105152即qqqqaqaqa1)1(1)1(1)1(210151151，整理得210

12、125510qqq0116921)1()21(1)1(222210qaqas，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页)(1(121)1(1)1(1)1 (2)(22010521012015110205)1(qqqqaqaqaqasssqqq)1()21()21()1(1169211122422qaqa)(210205210ssss，且010s，所以ssss1020105,2成等比数例题 3、已知数列an前 n 项和为sn，已知11a，)(21Nsannnnn求证： （ 1）数列nsn是等比数列； （2）22)1(nnn

13、a证 明 ： 因 为ssannn11， 又)(21Nsannnnn， 所 以sssnnnnn21， 则ssnnnn)1(21，即nnssnn211，又01111as，所以数列nsn是以 2 为公比， 1 为首项等比数列。（2）由（1）得221111nnnssn，所以21nnns。2n时，222222211)1()1(2)1(nnnnnnnnnnnnssa1n时11a时也适合上式。所以)()1(22Nannnn练习1、数列nn) 1(的前 2010 项的和s2010为（ D ）A、2010 B 、1005 C 、2010 D、1005 2、各项均为正数的等比数列an前 n 项和为sn，若2sn，

14、143sn，则sn4等于（）BA、80 B、30 C、26 D、16 3、已知an是等比数列，22a，415a，则aaaaaann13221( )C A、)1 (164n B、)1(162nC 、)1(3324nD、)1 (3322n4、等差数列an中，21a，公差不为0，且aaa1131,恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比等于_4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页5、在数列an中，aannc1，c为非零常数，且前n 项和为knns3，则实数_k-1 6、在正数列an中，21a，点)2)(,(1naa

15、nn在直线02yx上，则数列an的前n项和_sn221nna第四节数列求和知识点(1)等比数列求和讨论公比q 是否为 1 （3）错位相减法（3）分组转化（ 4）裂项相消_)1(1nn_) 12)(12(1nn_)2)(1(1nnn_1ba（4）倒序相加（5）公式法 (数学归纳法证明) 12)(1(612221221nnnnknkk例题 1 求下列各式的和（1）nkknkks1)13)(23(1分析：)2, 1)(131231(31)13)(23(1nkkkkk13)131231()7141()411(31nnnnsn（2）12121531311nnsn分析：)1212(2112121nnnn)

16、112(21)1212()35()13(21nnnsn（3）)0()12(5311anaaasnn分析：当1a时，nsnn2) 12(531当1a时，)1 ()12(5311asnnnaa)2()12(5332aaaasnnna精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页（1）-（2）得aannaaaaaaasnnnnn1)1(2)12(1) 12()(21)1(112)1 (21)1 (21)12(1aaasnnnaan例题 2 若公比为c的等比数列an的首项11a，且满足)4 ,3(221naaannn（1）求c的值；（

17、2）求数列ann的前n项和sn。分析： （ 1）221aaannn，)1(2222cacann0122cc解得21c或1c（2）当1c时，)(1Nann，则2)1(321nnnSn当21c时，)21(1nnnna则) 1(3)21(21)21()21(12nnns)2(322121)21()21()21(32nnns（1）- （2）得)(32491)2(1Nsnnnn例题 3、已知数列an中，11a，当2n时，其前n 项和sn满足)21(2sasnnn，（1）求sn的表达式，（2）设12nsbnn，求bn的前 n 项和Tn。分析：（1）)21(2sasnnn，又)2(1nssannn，所以)2

18、1)(12ssssnnnn即ssssnnnn112，由题意得01ssnn，所以2111ssnn，所以数列sn1是首项为11111as，公差为2 的等差数列。12) 1(211nnsn，121nsn（2）)121121(21) 12)(12(112nnnnnsbnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页12)121121()5131()311 (2121nnnnbbbTnn练习：1、 已知数列an中，01a，naann21， 那么_2011a4042110 2、数列an的通项公式11nnan，若前 n 项和为 10 ，则

19、项数为_120 3、已知数列an前 n 项的和)34(211713951) 1(1nnns，则_312215sss-76 分析：)34() 1(1nnna，297)4(1515as，同理61,443122ss4、若nan321，则数列an1的前 n 项和_sn12nn5、若数列an的通项公式122nnna，则数列an的前 n 项和为_答案：222nsnn6、数列an满足11a，22a，3 ,2, 1,2)21(sincos222nnnaann（1）求aa43,的值，并求数列an的通项公式。（2）设aabnnn212，bbbsnn21，求sn分析：（1）当 n=1 时，212)21(12123s

20、incosaaa当 n=2 时，422)221(2sincos22224aaa当 n 为奇数时，12;02sincos22nn当 n 为奇数时，, 12aann11a，nan 12当 n 为偶数时，02; 12sincos22nn当 n 为偶数时，aann2221a，22nna（n 为奇数）222121nnna精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页（n 为偶数）由（1）知2nnnb，222213213221nnnnns222221432132121nnnnns由 -得：2222221132113221)211 (nnnnnnnns，222nnns精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页