2022年数学必修二全套知识点+习题答案解析 .pdf
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1、必修二知识点+习题及答案解析第一章空间几何体1.1 柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。分类 :以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示 :用各顶点字母,如五棱柱EDCBAABCDE或用对角线的端点字母,如五棱柱AD几何特征 :两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、 对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。(2)棱锥定义 :有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类 :以底面多边形的边数作为
2、分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示 :用各顶点字母,如五棱锥EDCBAP几何特征 :侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类 :以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示 :用各顶点字母,如五棱台EDCBAP几何特征 :上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱:定义 :以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
3、 - - - -第 1 页,共 22 页几何特征 :底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图是一个矩形。(5)圆锥:定义 :以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征 :底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图是一个扇形。(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:上下底面是两个圆; 侧面母线交于原圆锥的顶点;侧面展开图是一个弓形。(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征: 球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2 空间几何体的三视图和直观
4、图1 三视图:正视图: 从前往后侧视图:从左往右俯视图:从上往下2 画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等3 直观图:斜二测画法4 斜二测画法的步骤:( 1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;( 2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于x,z 轴的线长度不变;( 3).画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴( 2)画底面( 3)画侧棱( 4)成图1.3 空间几何体的表面积与体积(一)空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2rrlS222rrlS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
5、 - -第 2 页,共 22 页4 圆台的表面积22RRlrrlS5 球的表面积24 RS(二)空间几何体的体积1 柱体的体积hSV底2 锥体的体积hSV底313 台体的体积hSSSSV)31下下上上(4 球体的体积334RV第二章直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的2 平面的画法及表示(1)平面的画法: 水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的 2 倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母、等表示,如平面、平面 等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、
6、平面 ABCD等。3 三个公理:(1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为AL BL = L D B A LA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页AB公理 1作用:判断直线是否在平面内(2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。符号表示为: A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面,使 A 、B 、C 。公理 2 作用:确定一个平面的依据。(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为: P = =L,且 PL
7、 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设a、b、c 是三条直线ab cb 强调:公理4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 注意点: a 与 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定,与O 的
8、选择无关,为简便,点O一般取在两直线中的一条上;C B A =ac共面直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页 两条异面直线所成的角(0 , ) ; 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作ab; 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内有无数个公共点(2)直线与平面相交有且只有一个公共点(3)直线在平面平
9、行没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a 来表示a a=A a2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。简记为:线线平行,则线面平行。符号表示:a b = aab 2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页平行。符号表示:a b ab = P ab2、判断两平面平
10、行的方法有三种:(1)用定义;(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。符号表示:a a ab = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。符号表示:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页= a a b = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂
11、直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L 与平面 互相垂直, 记作 L ,直线 L 叫做平面 的垂线, 平面 叫做直线 L 的垂面。 如图, 直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 L p 2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B 精选学习资
12、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页2、二面角的记法:二面角-l- 或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念:当直线l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直
13、线 l 的倾斜角 .特别地 , 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 平面(公理1、公理 2、公理 3、公理 4)空间直线、平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系直线与直线的位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页= 0 . 2、 倾斜角 的取值范围: 0 180. 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90 . 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角( 90) 的正切值叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母k 表示, 也就是 k = tan当直线l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = t
14、an0=0; 当直线l 与 x 轴垂直时 , = 90 , k 不存在 . 由此可知 , 一条直线l 的倾斜角 一定存在 , 但是斜率k 不一定存在 . 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2, 用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:斜率公式 : k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即注意 : 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提, 结论并不成立即如果k1=k2, 那么一定有L1L2 2、两条
15、直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即3.2.1 直线的点斜式方程1 、直 线 的 点 斜 式 方 程 : 直 线l经 过 点),(000yxP, 且 斜 率 为k)(00 xxkyy2、 、 直线的 斜截式 方程:已知直线l的斜率为k, 且与y轴的交点为),0(bbkxy3.2.2 直线的两点式方程1 、 直 线 的 两 点 式 方 程 : 已 知 两 点),(),(222211yxPxxP其 中),(2121yyxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共
16、 22 页22122221PPxxyyy-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程:已知直线l与x轴的交点为A)0,(a,与y轴的交点为B),0(b,其中0,0 ba3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程:关于yx,的二元一次方程0CByAx(A,B 不同时为0)2、各种直线方程之间的互化。3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标1、给出例题:两直线交点坐标L1 : 3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0 解:解方程组34202220 xyxy得 x=-2, y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为M(-2,2)3.3.2两点间距离两点间的
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