2022年微积分初步形成性考核册答案 .pdf

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1、- 1 - / 19 微积分初步形成性考核册作业（一）解答函数，极限和连续一、填空题（每小题2 分，共 20分）1函数)2ln(1)(xxf的定义域是解：020)2ln(xx，23xx所以函数)2ln(1)(xxf的定义域是), 3()3,2(2函数xxf51)(的定义域是解：05x，5x所以函数xxf51)(的定义域是)5,(3函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是解：04020)2ln(2xxx，2221xxx所以函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是2, 1()1,2(4函数72) 1(2xxxf，则)(xf解：72)1(2xxxf6) 1(61222xxx所以)(xf62x5函

2、数0e02)(2xxxxfx，则)0(f解：)0(f22026函数xxxf2) 1(2，则)(xf解：xxxf2) 1(21) 1(11222xxx，)(xf12x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页- 2 - / 19 7函数1322xxxy的间断点是解：因为当01x，即1x时函数无意义所以函数1322xxxy的间断点是1x8xxx1sinlim解：xxx1sinlim111sinlimxxx9若2sin4sinlim0kxxx，则k解： 因为24sin44sinlim4sin4sinlim00kkxkxxxkkx

3、xxx所以2k10若23sinlim0kxxx，则k解：因为2333lim33lim00kxxsimkkxxsimxx所以23k二、单项选择题（每小题2 分，共 24 分）1设函数2eexxy，则该函数是（）A奇函数B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数解：因为yeeeexyxxxx22)()(所以函数2eexxy是偶函数。故应选B 2设函数xxysin2，则该函数是（）A奇函数B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数解：因为yxxxxxysin)sin()()(22所以函数xxysin2是奇函数。故应选A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

4、-第 2 页，共 19 页- 3 - / 19 3函数222)(xxxxf的图形是关于（）对称AxyBx轴Cy轴 D坐标原点解：因为)(222222)()()(xfxxxfxxxx所以函数222)(xxxxf是奇函数从而函数222)(xxxxf的图形是关于坐标原点对称的因此应选D 4下列函数中为奇函数是（）Axxsin Bxln C)1ln(2xxD2xx解：应选C 5函数)5ln(41xxy的定义域为（）A5x B4x C5x且0 xD5x且4x解：0504xx，54xx，所以应选D 6函数) 1ln(1)(xxf的定义域是（）A), 1 (B), 1()1 ,0(C),2()2 ,0(D)

5、,2()2, 1(解：010)1ln(xx，12xx，函数) 1ln(1)(xxf的定义域是),2()2, 1(，故应选D7设1)1(2xxf，则)(xf（）A)1(xxB2xC)2(xxD)1)(2(xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页- 4 - / 19 解：1)1(2xxf2)1)(1()1)(1(xxxx)2()(xxxf，故应选C 8下列各函数对中，（）中的两个函数相等A2)()(xxf，xxg)( B2)(xxf，xxg)( C2ln)(xxf，xxgln2)(D3ln)(xxf，xxgln3)(解：

6、两个函数相等必须满足定义域相同函数表达式相同所以应选 D 9当0 x时，下列变量中为无穷小量的是（）. Ax1BxxsinC)1ln(xD2xx解：因为0)1ln(lim0 xx，所以当0 x时，)1ln(x为无穷小量所以应选C 10当k（）时，函数0,0, 1)(2xkxxxf，在0 x处连续 . A0 B1C2D1解：因为1)1(lim)(lim200 xxfxx，kf)0(若函数0,0, 1)(2xkxxxf，在0 x处连续则)(lim)0(0 xffx，因此1k。故应选B 11当k（）时，函数0,0, 2)(xkxexfx在0 x处连续 . A 0 B1C2D3解：3)2(lim)(l

7、im)0(00 xxxexffk，所以应选D 12函数233)(2xxxxf的间断点是（）A2, 1 xx B3xC3,2, 1xxxD无间断点解：当2, 1 xx时分母为零，因此2, 1 xx是间断点，故应选A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页- 5 - / 19 三、解答题（每小题7 分，共 56分）计算极限423lim222xxxx解：423lim222xxxx4121lim)2)(2()2)(1(lim22xxxxxxxx2计算极限165lim221xxxx解：165lim221xxxx2716lim)1

8、)(1()6)(1(lim11xxxxxxxx3329lim223xxxx解：329lim223xxxx234613lim)3)(1()3)(3(lim33xxxxxxxx 4计算极限4586lim224xxxxx解：4586lim224xxxxx3212lim)4)(1()4)(2(lim44xxxxxxxx5计算极限6586lim222xxxxx解：6586lim222xxxxx234lim)3)(2()4)(2(lim22xxxxxxxx6计算极限xxx11lim0解：xxx11lim0) 11(lim) 11() 11)(11(lim00 xxxxxxxxx21111lim0 xx7计

9、算极限xxx4sin11lim0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页- 6 - / 19 解：xxx4sin11lim0) 11(4sin)11)(11(lim0 xxxxx81) 11(44sin1lim41) 11(4sinlim00 xxxxxxxx8计算极限244sinlim0 xxx解：244sinlim0 xxx)24)(24()24(4sinlim0 xxxxx16)24(44lim4)24(4sinlim00 xxxsimxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

10、 - - - - -第 6 页，共 19 页- 7 - / 19 微积分初步形成性考核册作业（二）解答导数、微分及应用一、填空题（每小题2 分，共 20分）1曲线1)(xxf在)2, 1 (点的斜率是解：xxf21)(，斜率21)1 (fk2曲线xxfe)(在) 1 , 0(点的切线方程是解：xexf)(，斜率1)0(0efk所以曲线xxfe)(在)1 ,0(点的切线方程是：1xy3曲线21xy在点)1, 1(处的切线方程是解：2321xy，斜率21211231xxxyk所以曲线21xy在点)1, 1(处的切线方程是：)1(211xy即：032yx4)2(x解：)2(xxxxx22ln22ln

11、2125若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则y(0) = 解：6)3)(2)(1()0(y6已知xxxf3)(3，则)3(f=解：3ln33)(2xxxf，)3(f3ln27277已知xxfln)(，则)(xf=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页- 8 - / 19 解：xxf1)(，21)(xxf8若xxxfe)(，则)0(f解：xxxeexf)(，xxxxxxeexeeexf2)()()0(f29函数yx312()的单调增加区间是解：0)1(6 xy，1x所以函数yx312()的单调增加区间是),

12、 1 10函数1)(2axxf在区间),0(内单调增加，则a 应满足解：02)(axxf，而0 x，所以0a二、单项选择题（每小题2 分，共 24 分）1函数2)1(xy在区间)2, 2(是（ D ）A单调增加 B单调减少C先增后减 D先减后增2满足方程0)(xf的点一定是函数)(xfy的（ C ）. A极值点B最值点 C驻点D间断点3若xxfxcose)(，则)0(f=（C ）A. 2 B. 1 C.- 1 D.- 2 4设yxlg2，则dy（B ）A12dxxB1dxxln10Cln10 xxdD1dxx5设)(xfy是可微函数，则)2(cosdxf（ D ） Axxfd)2(cos2Bx

13、xxfd22sin)2(cos Cxxxfd2sin)2(cos2 Dxxxfd22sin)2(cos6曲线1e2xy在2x处切线的斜率是（ C ）A4e B2e C42e D2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页- 9 - / 19 7若xxxfcos)(，则)(xf（ C ）AxxxsincosBxxxsincosCxxxcossin2Dxxxcossin28若3sin)(axxf，其中a是常数，则)(xf（ C ）A23cosaxBax6sinCxsinDxcos9下列结论中（ A ）不正确 A)(xf在0 x

14、x处连续，则一定在0 x处可微 . B)(xf在0 xx处不连续，则一定在0 x处不可导 . C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若)(xf在 a，b内恒有0)(xf，则在 a，b内函数是单调下降的. 10若函数f (x)在点 x0处可导，则 ( B ) 是错误的 A函数 f (x)在点 x0处有定义 BAxfxx)(lim0，但)(0 xfA C函数 f (x)在点 x0处连续 D函数 f (x)在点 x0处可微11下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（ B ）AsinxBe xCx 2 D3 - x12. 下列结论正确的有（ A ）Ax0是 f (x)的极值点，且f(x0)存在，则

15、必有f(x0) = 0Bx0是 f (x)的极值点，则x0必是 f (x)的驻点C若f(x0) = 0，则 x0必是 f (x)的极值点D使)(xf不存在的点x0，一定是 f (x)的极值点三、解答题（每小题7 分，共 56分）设xxy12e，求y解：xxxxexexexxey1121212)1(2xex1) 12(2设xxy3cos4sin，求y. 解：xxxysincos34cos423设xyx1e1，求y. 解：211121xexyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页- 10 - / 19 4设xxxycos

16、ln，求y. 解：xxxxxytan23cossin235设)(xyy是由方程422xyyx确定的隐函数，求yd. 解：两边微分：0)(22xdyydxydyxdxxdxydxxdyydy22dxxyxydy226设)(xyy是由方程1222xyyx确定的隐函数，求yd. 解：两边对1222xyyx求导，得：0)(222yxyyyx0yxyyyx，)()(yxyyx，1ydxdxydy7设)(xyy是由方程4ee2xxyx确定的隐函数，求yd. 解：两边微分，得：02xdxdyxedxedxeyyxdxxeedyxeyxy)2(，dxxexeedyyyx28设1e)cos(yyx，求yd解：两

17、边对1e)cos(yyx求导，得：0)sin()1 (yeyyxy0)sin()sin(yeyyxyyx)sin()sin(yxyyxey)sin()sin(yxeyxyydxyxeyxdxydyy)sin()sin(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页- 11 - / 19 微积分初步形成性考核册作业（三）解答不定积分，极值应用问题一、填空题（每小题2 分，共 20分）1若)(xf的一个原函数为2ln x，则)(xf2ln2xxxc。2若)(xf的一个原函数为xx2e，则)(xf24xe。3若cxxxfxed)(

18、，则)(xf1xx e4若cxxxf2sind)(，则)(xf=2cos 2x5若cxxxxflnd)(，则)(xf1x6若cxxxf2cosd)(，则)(xf4cos2x7xxded22xedx8xx d)(sinsin xc9若cxFxxf)(d)(，则xxfd)32(1232Fxc10若cxFxxf)(d)(，则xxxfd)1(22112Fxc二、单项选择题（每小题2 分，共 16 分）1下列等式成立的是（）A)(d)(ddxfxxfxB)(d)(xfxxfC)(d)(dxfxxfD)()(dxfxf解：应选A 2若cxxxfx22ed)(，则)(xf（）. A.)1 (e22xxx B

19、.xx22e2C.xx2e2 D.xx2e解：两边同时求导，得：xxexxexf22222)()1(e22xxx所以应选A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页- 12 - / 19 3若)0()(xxxxf，则xxfd)(（）. A.cxx B.cxx2C.cxx23223 D.cxx2323221解：应选 A 4以下计算正确的是（）A3ln3dd3xxxB)1(d1d22xxxCxxxddD)1d(dlnxxx解：应选A 5xxf xd)(（）A.cxfxfx)()( B. cxfx)(C. cxfx)(212

20、 D. cxfx)() 1(解：xxfxd)(cxfxfxdxxfxfxxfxd)()()()()(所以应选A 6xaxdd2=（）Axa2Bxaaxdln22Cxaxd2Dcxaxd2解：应选 C 7如果等式Cxxfxx11ede)(，则)(xf（）A.x1 B. 21x C. x1 D. 21x解：两边求导，得：2111)(xeexfxx所以21)(xxf，故应选B 三、计算题（每小题7 分，共 35分）1xxxxxdsin33解：xxxxxdsin33xdxdxxdxxsin13精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 1

21、9 页- 13 - / 19 cxxxcos32ln3232xxd)12(10解：xxd)12(10cxxdx11010)12(110121)12()12(21cx11)12(2213xxxd1sin2解：xxxd1sin2cxxdx1cos)1(1sin4xxxd2sin解：xxxd2sin)2cos2cos(212cos21xdxxxxxdcxxx2sin412cos215xxexd解：xxexdcexedxexexdexxxxx)(四、极值应用题（每小题12 分，共 24 分）1设矩形的周长为120 厘 M，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最

22、大。解：设矩形的一边长为x厘 M，则另一边长为x60厘 M，以x60厘 M 的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积V为：)60(2xxV，即：3260 xxV23120 xxdxdV，令0dxdV，得：0 x（不合题意，舍去），40 x，这时2060 x由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘 M 、另一边长为60厘 M时，才能使圆柱体的体积最大。2欲用围墙围成面积为216 平方 M的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设矩形的长为xM ，则矩形的宽为x216M ，从而所用建筑材料为：xxL21632，即：xxL6

23、48226482xdxdL，令0dxdL得：18x（取正值），这时12216x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页- 14 - / 19 由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18M ，宽为12M 时，才能使所用建筑材料最省五、证明题（本题5 分）函数xexxf)(在（)0 ,是单调增加的证明：因为xexf1)(，当x（)0,时，xexf1)(0所以函数xexxf)(在（)0 ,是单调增加的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页-

24、 15 - / 19 微积分初步形成性考核册作业（四）解答定积分及应用、微分方程一、填空题（每小题2 分，共 20分）1._d)2cos(sin112xxxx解：3222cossind)2cos(sin10211211112dxxdxxxdxxxxxx这里用到了性质：若)(xf是奇函数，则0)(aadxxf若)(xf是偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(2._d)cos4(225xxxx解：22225225cos)4(d)cos4(xdxdxxxxxxx2sin2cos22020 xxdx3已知曲线)(xfy在任意点x处切线的斜率为x，且曲线过)5,4(，则该曲线的方程是。解：由cxd

25、xx2332得所求的曲线方程由cxy2332确定因为曲线过)5 ,4(，所以c234325，解得：31c因此所求的曲线方程为313223xy4若dxxx)235(113解：dxxx)235(113442)35(1011113dxdxdxxx5由定积分的几何意义知，xxaad022= 。解：由定积分的几何意义知，xxaad022就等于圆222ayx在第象限的面积，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页- 16 - / 19 圆222ayx面积的41，因此xxaad022241a6e12d)1ln(ddxxx. 解：e

26、12d)1ln(ddxxx0 7xxde02=解：xxde0202020221lim)2(lim21limbxbbxbbxbexdedxe21)1(lim212bbe8微分方程1)0(,yyy的特解为 . 解：由yy得ydxdy，dxydy，两边同时积分，得cxyln因为1)0(y，所以c01ln，所以0c从而xyln，因此微分方程1)0(, yyy的特解为xey9微分方程03yy的通解为 . 解：03yy，03ydxdy，03dxydy，13lncxyxcy3ln1，xcey31，即xceey31所以微分方程03yy的通解为xcey310微分方程xyxyysin4)(7)4(3的阶数为解：微

27、分方程xyxyysin4)(7)4(3的阶数为4阶二、单项选择题（每小题2 分，共 20 分）1在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（A）Ay = x2 + 3By = x2 + 4C22xyD12xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页- 17 - / 19 2若10d)2(xkx= 2，则 k =（A）A1B - 1 C0D213下列定积分中积分值为0 的是（A）Axxxd2ee11Bxxxd2ee11Cxxxd)cos(3Dxxxd )sin(24设)(xf是连续的奇函数，则定积分aa

28、xxf-d)(（D）A0-d)(2axxfB0-d)(axxfCaxxf0d)(D 0 5xxdsin22-（D）A 0BC2D26下列无穷积分收敛的是（B）A0dexxB0dexxC1d1xxD1d1xx7下列无穷积分收敛的是（B）A0dinxxsB02dexxC1d1xxD1d1xx8下列微分方程中，（D ）是线性微分方程 Ayyyxln2Bxxyyye2Cyyxye Dxyyxyxlnesin9微分方程0y的通解为（ C ） ACxy BCxy CCy D0y10下列微分方程中为可分离变量方程的是（B）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

29、 -第 17 页，共 19 页- 18 - / 19 A.yxxydd；B. yxyxydd；C. xxyxysindd；D. )(ddxyxxy三、计算题（每小题7 分，共 56分）1xxxd)e1(e22ln0解：xxxd)e1(e22ln0319389)1(31)1 ()1 (2ln0322ln0 xxxeede2xxxdln51e1解：xxxdln51e1eexdxxdx11)ln51 ()ln51 (51ln)ln51(21)16(101)ln51 (215112ex3xxexd10解：xxexd101) 1(10101010eeeedxexexdexxxx40d2sinxxx解：0

30、d2sinxxx002cos2)2(2sin2xxdxdxxdxxdxxxx0002cos2)2cos2cos(242sin4)2(2cos400 xxdx520dsinxxx解：20dsinxxx)coscos(cos202020 xdxxxxxd1sin20 x6求微分方程12xxyy满足初始条件47)1(y的特解解：微分方程的通解为)()()(cdxexqeydxxpdxxp这里xxp1)(，1)(2xxq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页- 19 - / 19 代入得微分方程的通解为)2141(124cx

31、xxy将初始条件47)1(y代入上式，解得1c所以微分方程的特解为) 12141(124xxxy7求微分方程xxxyy2sin2的通解。解：微分方程的通解为)()()(cdxexqeydxxpdxxp这里xxp1)(，xxxq2sin2)(代入得微分方程的通解为)2cos(cxxy四、证明题（本题4 分）证明等式aaaxxfxfxxf0)()()(dd。证明：aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(考虑积分0)(adxxf，令tx，则dtdx，从而aaaaadxxfdttfdttfdttfdxxf00000)()()()()(所以aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(aaadxxfxfdxxfdxxf000)()()()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页