2022年数学竞赛入门高中数学初等函数知识点及练习题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载函数函数的性质1 函数的图象图象变换主要有：平移变换、伸缩变换、对称变换等。引理 1 函数图象对称性的判定1） 若定义在R上的函数fx满足 fxaf bx ，则 fx 的图象关于直线2abx对称。2） 若定义在R上的函数fx 满足 fxafbx ，则 fx的图象关于点,02ab对称。引理 2 1） 函数 yfax 与函数 yfxb 的图象关于直线2abx对称。2） 函数 yfax 与函数 yf bx 的图象关于直线2abx对称。注：引理1 中 1）是对一个函数而言的，引理2 中的两个命题是对两个函数而言的。证明的思路是一样的，即任取一点求其对称点验证对称点是否在函数图象上最后由

2、点的任意性得证。2 函数的值域（最值）的求法常用方法有：（1）配方法：如果所给的函数是二次函数或可化为二次函数的形式，一般采用配方法，但在求解时，要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围。（2）判别式法：将所给函数yfx 看作是关于x 的方程。若是关于x 的一元二次方程，则可利用判别式大于等于0 来求y的取值范围，但要注意取等号的问题。（3）换元法：将一个复杂的函数中某个式子当作整体，通过换元可化为我们熟知的表达式，这里要注意所换元的表达式的取值范围。（4）利用函数单调性法：如果所给的函数是熟悉的已知函数的形式，则可利用函数的单调性来示值域，但要注意其单调区间。（5）反函数法：若某函数存在反函

3、数，则可利用互为反函数两个函数的定义域与值域互换，改求反函数的定义域。（6）利用均值不等式法。（7）构造法：通过构造相应图形，数形结合求出最值。3.函数的单调性及其应用（1）函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性。（2）对于复合函数yfg x，若 yf u 与 ug x 的单调性相同，则yfg x是增函数；若yf u 与 ug x 的单调性相反，则yfg x是减函数。（3）若 fx 与 g x 是定义在同一区间上的两个函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载当 fx 与 g x 都是增（减）

4、函数时，fxg x 也必为增（减）函数；当 fx 与 g x 恒大于 0，且 fx 与 g x 都是单调递增（减）的，则 fxg x 也是单调递增（减）的。（4）函数的单调性主要有以下应用：利用函数的单调性求函数的值域（或最值）；利用函数的单调性解不等式；利用函数的单调性确定参数的取值范围；利用函数的单调性解方程等等。4.函数的奇偶性及其应用（1）函数是奇函数的充要条件是图象关于原点对称；函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。（2）定义域关于原点对称的任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和的形式。（3）若函数是奇函数，则其反函数也为奇函数，反之亦然。（4）函数的奇偶性主要有

5、以下应用：求函数值；求函数表达式；判断函数的单调性：如果已知具有奇偶性的函数fx 在区间,a b0ab 上的单调性，由奇偶函数的对称性可直接判断fx 在,ba 上的单调性。5 函数的周期性对于函数fx ，如果存在一个不为零的正数T，使得当x 取定义域中的每一个数时，fxTfx 总成立，那么称fx 是周期函数，T称为这个周期函数的周期。1） 若定义在R上的函数fx 满足 fxafxb ，ab，则 fx 是周期函数，且周期为 ba 。2） 若定义在R上的函数fx 满足 fxafxb ，ab，则 fx 是周期函数，且周期为 2 ba 。6 函数的对称与周期的关系：1） 若定义在R上的函数fx 既关于

6、直线xa 对称，又关于直线xb对称，且ab，则fx 是周期函数，且2 ba 是周期。2） 若定义在R上的函数fx 既关于直线xa对称，又关于点,0b对称， 且ab， 则 fx是周期函数，且4ba 是周期。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载巩固练习：一选择题1 下面列举的四个函数中，满足性质122xyffxfy的函数f 是（） 。Alg xB1xC3xD3x2 已知3sin4fxaxbx（,a b 为实数），且3lglog105f，则lglg3f的值是（） 。A5B3C3D 随,a b 的值而定3 设

7、 fx是 定 义 在 实 数 集R上 的 函 数 ， 且 满 足 ： （ 1）1010fxfx； （ 2）2020fxfx 。则 fx 是（） 。A 偶函数，又是周期函数B 偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D 奇函数，但不是周期函数4 对于一切实数x 、y，函数 f 满足方程1fxyfxfyxy ，且11f，那么，1fnn n的整数 n的个数共有（）个。A0B1C2D3x5 函数122xxxfx（） 。A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C既是偶函数又是奇函数D 既不是偶函数也不是奇函数6 若2525log 3log 3log 3log 3xyxy，则（） 。A0 xy

8、B0 xyC0 xyD0 xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载二解答题1 设0,1A。若 f 是从A到R的一个映射，且满足（1）0fx，对任何0,1x；（2）121fxfxfyfy，对任何,0,1x y。证明：存在一个实数0b ，使得对任何0,1x均有0fxb 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载2 函数 fx 定义在,00,上，对定义域中任意数x，在定义域中存在1x ，2x ，使12xxx ，12fx

9、fx，且满足以下三个条件：若12,00,x x，12fxfx或120 xxa ，则1212211fxfxfxxfxfx；1fa（ a 是正常数）；当02xa时，0fx。试证： （1） fx 是奇函数；（2） fx 是周期函数，并求出其周期；（3） fx 在0,4a 内是减函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载3.若函数21321)(2xxf在区间,a b上的最小值为2a，最大值为2b，求,a b. 4.函数fx在0,1上连续，01ff，且对任意不同的12,0,1x x，都有1212f xfxxx，

10、求证：1212f xf x。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载答案提示：一、选择题：1.C 2. C 3.C 4.B 5.A 6.B 二、解答题：1. 分析：要证此问题，因f 是从A到R的映射，所以只要证明对任意,0,1x y均有fxfy 即可。证明：由（ 1） ， （2）得1121fxfyfxfyfy fy令 xs，1ys，任意0,1s。则22121fsfsfs fs即210fsfs又210fsfs10fsfs，即1fsfsfs 关于12x对称。由 fx 的对称性可知1fxfx ，1fyfy ，任

11、意的,0,1x y（ 2）式变成2fxfxfyfy即 fxfy 。再由, x y的任意性可知，又有fyfx ，于是fxfy 。存在一个实数0b 使得，对任意0,1x均有0fxb 。2. 证明： （1） 对任意,00,x， 由条件知， 在定义域内存在12,x x ， 使12xxx ，且12fxfx，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载12122112122111fxfxfxfxxfxfxfxfxfxfxfxxfx所以 fx 为奇函数。（2）因 fx 是奇函数，1fa， 故1fa，于是120fa f a

12、fafaafafa，（）若0fx则211222fxfafxafxafafxfx，则1142212fxafxaaf xfxafx（）若0fx则1111fxfafxafxafafx，1321fxafxaafxa314303fxa fafxafxaafafxa可见仍有4fxaf x综上所述，fx为周期函数，4a是一个周期。（3）先证fx在区间0,2a上是减函数。事实上，任取1x，2x满足1202xxa，则2102xxa，又有24220fafaafa，根据题设条件，有10fx，20fx，且21211210f xfxfxxfxfx，故12fxf x，知fx在区间0,2a上是减函数。当2 ,4xaa时，又

13、任取3x，4x，满足3424axxa，则340222xaxaa，有34220fxafxa，1222fxfxaafxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载343443112211220fxfxfxafxafxafxa所以，fx在2 ,4aa内也是减函数。虽然，由上述推导过程知，对于任意的1204xxa，总有12f xfx，即fx在区间0,4a内是减函数。3. 解：由条件知函数fx是顶点为30,2，对称轴为0 x，开口向下的抛物线，在区间,a b上的最小值为2a，最大值为2b，对区间,a b的位置分别讨论

14、如下：（1）若0ab，则fx在区间,a b上单调递减，故满足22f abf ba，即22113222113222abba，解得1a，3b，区间,1,3a b。（2） 若0ab， 则fx在,0a上单调递增， 在0,b上单调递减， 故13022fb， 即134b。由0a，故20a，而21131339024232f b，所以f x在xa时取最小值2a，即2113222aa，解得217a。所以13,217,4a b。（3）若0ab，则fx在区间,a b上单调递增，即22f aaf bb，即22113222113222aabb，由于方程21132022xx两根相异，故满足0ab的区间不存在。故所求区间,

15、 a b为1,3或13217,4。4. 证明：因为f x在0,1上连续，所以fx在0,1上有最大值和最小值。不妨设最大值1Mf t，最小值2mf t，12,0,1t t。（1）当1212tt时，12121212fxfxf tf ttt，所以1212fxfx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载（2）当1212tt时，若12tt，即2112tt，121212121221 =010101112f xfxf tf tf tfff tf tfff ttttt若21tt，同样可得1212fxfx。由（ 1） （2）可知，对任意不相等的12,0,1x x，都有1212fxfx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页