2022年数列证明题型总结附答案 .pdf

《2022年数列证明题型总结附答案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数列证明题型总结附答案 .pdf（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 / 18一、解答题：1在数列an中， a11，an12an2n. ()设 bnan2n1，证明：数列bn是等差数列；()求数列an的前 n 项的和 Sn. 【答案】()因为 bn1bnan12nan2n1an12an2n2n2n1 所以数列 bn 为等差数列()因为 bnb1(n1) 1n所以 ann 2n1所以 Sn1 202 21 n 2n12Sn1 212 22 n 2n两式相减得Sn(n 1) 2n1 2在数列 an中， a112， an112an12n1. ()设 bn2nan，证明：数列 bn是等差数列；()求数列 an的前 n 项和 Sn. 【答案】()由 an112an12

2、n1，得 2n1an12nan1bn1 bn1，则 bn 是首项 b11，公差为1 的等差数列故 bnn， ann2n. ()Sn1122122 3123(n1)12n1n12n12Sn11222123 3124(n1)12nn12n1两式相减，得：12Sn1212212312nn2n112（112n）112n2n1112nn2n1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页2 / 18Sn212n1n2n3数列 an的各项均为正数，前n 项和为 Sn，且满足4Sn(an 1)2(nN*)()证明：数列 an 是等差数列，并

3、求出其通项公式an；()设 bnan2an(nN*)，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 【答案】()n1 时， 4a1(a11)2? a212a110，即 a11 n2 时， 4an4Sn4Sn1(an1)2(an11)2 a2na2n12an2an1? a2na2n12an2an10 ? (anan1)(anan1)2 0 an0anan12 故数列 an是首项为a11，公差为d2 的等差数列，且an2n 1(nN*) ()由()知 bnan2an (2n1)22n1Tn b1b2bn(121)(323)(2n1)22n1 13(2n1) (2123 22n1) n22（122n）1422

4、n13n22322n13n2234数列 an的各项均为正数，前n 项和为 Sn，且满足2Snan1(n N*)()证明：数列 an 是等差数列，并求出其通项公式an；()设 bnan 2n(nN*)，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 【答案】()由 2 Snan1(nN*)可以得到 4Sn(an 1)2(nN*) n1 时， 4a1(a11)2? a212a110，即 a11 n2 时， 4an4Sn4Sn1(an1)2(an11)2a2n a2n1 2an2an1? a2na2n12an2an10 ? (anan1)(anan1)2 0 an0anan12 故数列 an是首项为a11，公差

5、为d2 的等差数列，且an2n1(nN*) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页3 / 18()由()知 bnan 2n(2n1) 2nTn (1 21)(3 22) (2n 3) 2n1(2n1) 2n 则 2Tn(1 22)(3 23)(2 n 3) 2n(2n1) 2n1 两式相减得：Tn (1 21)(2 22) (2 2n)(2n1) 2n1 22（12n）122(2n1)2n1 (32n) 2n1 6 Tn (2n3) 2n16(或 Tn(4n6) 2n6) 5已知数列 an ，其前 n 项和为 Sn32

6、n272n(nN*)()求 a1，a2；()求数列 an的通项公式，并证明数列an是等差数列；()如果数列 bn满足 anlog2bn，请证明数列bn是等比数列，并求其前n 项和 Tn. 【答案】()a1S15，a1a2S232 2272 213，解得 a28. ()当 n2 时，anSnSn132n2(n 1)272n(n1) 32(2n1)72 3n2. 又 a15 满足 an3n2，an3n2(nN*)anan1 3n23(n1)2 3(n2 ，nN*)，数列 an是以 5 为首项， 3 为公差的等差数列()由已知得bn2an(n N*)，bn1bn2nn12an2an1an238(nN

7、*)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页4 / 18又 b12a132，数列 bn是以 32 为首项， 8 为公比的等比数列Tn32（1 8n）18327(8n 1)6已知函数f(x)2xx2，数列 an满足： a143， an1 f(an)()求证：数列1an为等差数列，并求数列an的通项公式；()记 Sna1a2a2a3anan1，求证： Sn83. 【答案】证明： ()an1f(an)2anan2，1an11an12，即1an11an12，则1an成等差数列，所以1an1a1(n1)1234(n1)122n1

8、4，则 an42n1. ()anan142n142n3812n112n3，Sna1a2 a2a3anan181315151712n 112n 381312n383. 7已知数列 an 的前三项依次为2，8，24，且 an2an1 是等比数列()证明an2n是等差数列；()试求数列 an的前 n 项和 Sn的公式【答案】()a22a14，a32a28， an2an1是以 2 为公比的等比数列an2an14 2n2 2n. 等式两边同除以2n，得an2nan12n11，an2n是等差数列()根据 ()可知an2na12(n1) 1n， ann 2n. Sn1 22 223 23n 2n，2Sn1

9、222 23 (n1)2nn 2n1.得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页5 / 18Sn22223 2nn 2n12（12n）12n 2n12n12n 2n1，Sn(n 1) 2n12. 8已知数列 an 的各项为正数，前n 项和为 Sn，且满足： Sn12an1an(nN*)()证明：数列 S2n 是等差数列；()设 Tn12S21122S22123S23 12nS2n，求 Tn. 【答案】()证明：当n1 时， a1S1，又 Sn12an1an(nN*)，S112S11S1，解得 S11. 当 n2 时，

10、anSnSn1，Sn12SnSn11SnSn1，即 SnSn11SnSn1，化简得S2nS2n11，S2n是以 S211 为首项， 1 为公差的等差数列()由()知 S2nn，Tn12S21122S2212nS2n，即 Tn112 2122 (n1)12n1n12n.12得12Tn 1122 (n1)12nn12n1.得12Tn12122 12nn12n112112n112n12n1112nn12n11n22n1，Tn 2n22n. 9数列 an满足 a11，an11a2n41(nN*)，记 Sna21a22 a2n. ()证明：1a2n是等差数列；精选学习资料 - - - - - - - -

11、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页6 / 18()对任意的nN*，如果 S2n1Snm30恒成立，求正整数m 的最小值【答案】()证明：1a2n11a2n4?1a2n1a21 (n1) 4?1a2n4n3，即1a2n是等差数列()令 g(n)S2n1Sn14n 114n 518n1. g(n1)g(n)0，g(n)在 n N*上单调递减，g(n)max g(1)1445.1445m30恒成立 ? m283，又 mN，正整数m 的最小值为10. 10已知数列 an是首项 a1133，公比为133的等比数列，设bn15log3ant，常数 tN*. ()求证：

12、bn为等差数列；()设数列 cn 满足 cnanbn，是否存在正整数k，使 ck1，ck，ck2成等比数列？若存在，求 k，t 的值；若不存在，请说明理由【答案】()证明： an3n3，bn1bn 15log3an1an 5， bn 是首项为 b1 t5，公差为 5 的等差数列()cn(5nt) 3n3，令 5nt x，则 cnx n3，cn1(x5) 3n13，cn2(x10) 3n23，若 c2kcn1cn2，则 (x 3n3)2(x5) 3n13 (x10) 3n23，化简得 2x2 15x500，解得 x10 或52(舍 )，进而求得n1， t5，综上，存在n1，t5 适合题意11在数

13、列 an中， a11，an1 2an2n1. ()设 bnan1an2，(nN*)，证明：数列bn是等比数列；()求数列 an的通项 an. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页7 / 18【答案】()由已知 an12an2n1得 an22an12n3，得an2an12an12an2 设 an2an1c 2(an1anc)展开与上式对比，得c 2 因此，有an2an122(an1an2) 由 bnan1an2，得 bn12bn，由 a11， a22a135，得 b1a2a1 26，故数列 bn是首项为6，公比为2 的

14、等比数列()由()知， bn6 2n13 2n则 an1anbn23 2n2，所以 ana1(a2 a1)(a3 a2)(anan1) 1(3 212)(3 222)(3 2n12) 13(222232n1)2(n 1) an3 2n2n3，当 n1 时， a13 212 13651，故 a1也满足上式故数列 an的通项为an3 2n2n3(nN*)12在数列 an中， a116，an12an11213n(nN*且 n2) ()证明： an13n是等比数列；()求数列 an的通项公式；()设 Sn为数列an的前 n 项和，求证Sn12. 【答案】()由已知，得an113n1an13n（12an

15、1213n1）13n1an13n12 an13n是等比数列()设 Anan13n，则 A1a11161312，且 q12则 An(12)n，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页8 / 18an13n12n，可得 an12n13n()Sn(121131)(122132) (12n13n) 12（112n）11213（113n）1131212n1213n122 3n2n2 6n1213已知数列 an满足 a12， an12ann1(nN*)()证明：数列 an n 是等比数列，并求出数列an的通项公式；()数列 bn 满

16、足： bnn2an2n(nN*)，求数列 bn的前 n 项和 Sn. 【答案】()证法一：由an12ann1 可得 an1(n1)2(an n)，又 a12，则 a111，数列 ann 是以 a111 为首项，且公比为2 的等比数列，则 ann 1 2n1， an2n1n. 证法二：an1（ n1）an n2ann1（ n1）ann2an2nann 2，又 a12，则 a111，数列 ann 是以 a111 为首项，且公比为2 的等比数列，则 ann 1 2n1， an2n1n. ()bnn2an2n， bnn2an2nn2nSnb1 b2bn122 (12)2n (12)n12Sn(12)2

17、2 (12)3(n1)(12)nn (12)n1由，得12Sn12 (12)2 (12)3 (12)n n (12)n1121（12）n112n (12)n11 (n2)(12)n1，Sn2(n2)(12)n. 14在数列 an中， a11，2nan1(n1)an，nN*. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页9 / 18()设 bnann，证明：数列bn是等比数列；()求数列 an的前 n 项和 Sn. 【答案】()因为bn1bnan1n1nan12，所以 bn是首项为1，公比为12的等比数列()由()可知ann1

18、2n1，即 ann2n1，Sn122322423n2n1，上式两边乘以12，得12Sn12222323n12n1n2n，两式相减，得12Sn112122123 12n1n2n，12Sn22n2n，所以 Sn42n2n115设数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn(1 )an，其中 1，0. ()证明：数列 an 是等比数列；()设数列 an的公比qf( )，数列 bn满足 b112，bnf(bn1)(nN*， n2) ，求数列 bn的通项公式【答案】()由 Sn(1) an ? Sn1(1) an 1(n 2)，相减得： an an an 1，anan11(n 2)，数列 an 是等比数列

19、()f()1， bnbn1 bn1?1bn1bn11，1bn是首项为1b1 2，公差为1 的等差数列；1bn2(n1)n1， bn1n1.16在等差数列 an中， a1030，a2050. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页10 / 18()求数列 an的通项 an；()令 bn2an10，证明：数列 bn 为等比数列；()求数列 nbn的前 n 项和 Tn. 【答案】()由 ana1(n1)d， a1030，a2050，得方程组a19d30a119d50，解得 a112， d2. an12(n1) 22n10.

20、()由()得 bn2an1022n101022n 4n，bn1bn4n14n4 bn 是首项是 4，公比 q4 的等比数列()由 nbnn 4n得： Tn1 42 42n 4n4Tn1 42 (n1) 4nn 4n1相减可得：3Tn4424nn 4n14（14n）3n 4n1Tn（ 3n1） 4n14917已知 an 是等差数列，其前n 项和为 Sn，已知 a311，S9153，()求数列 an的通项公式；()设 anlog2bn，证明 bn是等比数列，并求其前n 项和 Tn. 【答案】() a1 2d119a19 82d 153解得： d 3，a15, an3n2 ()bn2an，bn1bn

21、2an12an 2an1an238， bn 是公比为 8 的等比数列又 b12a132, Tn32（18n）18327(8n1)18在数列 an中， a13，an2an1n 2(n2 ，且 n N*)()求 a2，a3的值；()证明：数列 an n 是等比数列，并求an 的通项公式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页11 / 18()求数列 an的前 n 项和 Sn. 【答案】()a13，an2an1n2(n2 ，且 nN*)，a22a1226，a32a232 13. ()证明：annan1（ n1）（2an1n

22、2） nan1n12an12n2an1n12，数列 ann 是首项为 a1 14，公比为2 的等比数列ann4 2n12n1，即 an2n1n， an 的通项公式为an2n1n(n N*)()an的通项公式为an2n1n(nN*)，Sn(222324 2n1)(123n) 22 （12n）12n （ n1）22n2n2 n82. 19已知数列 an满足 a12， an13an2(nN*)()求证：数列 an 1 是等比数列；()求数列 an的通项公式【答案】()证明：由an13an2 得 an113(an1)，从而an11an13，即数列 an1 是首项为 3，公比为3 的等比数列()由()知

23、， an13 3n13n? an3n 1. 20已知数列 an满足 a12， an14an2n1，Sn为an的前 n 项和()设 bnan2n，证明数列 bn是等比数列，并求数列 an的通项公式；()设 Tn2nSn，n 1，2，3，证明：i1nTi32. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页12 / 18【答案】()因为 bn1an12n1(4an2n1) 2n14(an2n)4bn，且 b1a1 24，所以 bn是以 4 为首项，以q4 为公比的等比数列所以 bnb1qn14n，所以 an4n2n. ()Sna

24、1a2 an(4424n)(2222n) 43(4n1) 2(2n1)13(2n1)23 2n12 13(2n11)(2n12)23(2n11)(2n1)，所以 Tn2nSn322n（ 2n1 1）（ 2n 1）3212n112n11，因此i1nTi32i1n12n112n1132121112n112 0114 026的 n 的最小值【答案】()证明： b1S13 20 ，Sn1SnSn 3n，即 Sn12Sn3n，bn1bnSn13n1Sn3n2Sn3n13nSn 3n20 ，所以 bn是等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

25、3 页，共 18 页14 / 18()由()知 bn2n，则 cn1log2bn1 log2bn21（n1） （n2）1n11n 2，Tn121n2，Tn121n22 0114 026，n2 011，即 nmin2 012. 25已知数列 an满足： a11，an1anan 2(nN*)()求证：数列1an 1 是等比数列；()若bn1n1an1，且数列 bn 是单调递增数列，求实数 的取值范围【答案】()证明：1an112an，1an1121an 1 ，1a1120 ，所以数列1an1 是等比数列()1an12n，an12n1，bn1n1an12n，bn12n(n )，bn2n1(n1 )(

26、n 2) ，b1 适合，所以 bn2n1(n1 )(nN*)，由 bn1bn得 2n1(n1 )2n(n )， n2， (n2)min3， 的取值范围为 | 2 010 的 n 的最小值【答案】()an13an2an1(n 2) ，(an1an)2(anan1)(n 2) a12，a24， a2a120 ，anan10 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页15 / 18故数列 an1an是首项为2，公比为2 的等比数列，an1 an (a2a1)2n12n，an(anan1) (an1an2)(an2an3)(a

27、2a1)a12n1 2n2 2n3212 2（12n1）122 2n(n 2) 又 a12 满足上式，an2n(nN*)()由()知 bn2（ an 1）an211an2112n212n1，Sn2n 112112212n12n112n1122n2 112n2n 212n1. 由 Sn2 010 得：2n 212n12 010，即 n12n1 006，因为 n 为正整数，所以n 的最小值为1 006. 27已知数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 Sn+2n=2an（I）证明：数列an+2 是等比数列，并求数列an的通项公式an；（）若数列 bn满足 bn=log2（an+2） ，求数列 n1

28、b的前 n 项和 Tn【答案】（I）证明：由Sn+2n=2an，得 Sn=2an 2n，当 nN*时， Sn=2an2n，当 n=1 时， S1=2a12，则 a1=2，当 n2 时， Sn1=2an12（n1） ，得an=2an2an12，即 an=2an1+2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页16 / 18an+2=2（an1+2） ，nn 1a +2=2a+2，an+2 是以 a1+2 为首项，以2为公比的等比数列n 1na +2=4 2g，n+1na =22（）解：n+1na =22，bn=n（n+1）

29、 ，n1111=bn n+1nn+1，n12n111T =+bbbL=112+1213+11nn+1=11n+1=nn+1【解析】考点：数列的求和；等比数列的通项公式专题：综合题分析：（I）由 Sn+2n=2an，得 Sn=2an2n，由此利用构造法能够证明数列an+2 是等比数列，并求出数列an的通项公式an（）由n+1na =22，得n1111=bn n+1nn+1，由此利用错位相减法能够求出数列n1b的前 n 项和 Tn28数列 an 中， a11，当 n2 时，其前 n 项的和 Sn满足 S2nan(Sn1)()证明：数列1Sn是等差数列；()设 bnlog2SnSn2，数列 bn的前

30、 n项和为 Tn，求满足Tn6 的最小正整数n. 【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页17 / 18()S2nan(Sn1)，S2n (SnSn1)(Sn1)(n 2) ，SnSn1Sn1 Sn，即1Sn1Sn11，1Sn是 1 为首项， 1 为公差的等差数列()由()知 Sn1n， bnlog2n2n，Tn log231425364 n2nlog2（n1）（ n2）26 ，(n2)(n 1)128 ， nN*， n10 ，所以满足Tn6 的最小正整数为10 29已知数列 an的首项 a1=35，nn1n3

31、aa2a1，其中 n N+（ ）求证：数列 n11a 为等比数列；（ ）记 Sn=12n111aaaK，若 Sn100，求最大的正整数n【答案】（ ）证明： n1n21a33a， n 1n1111a3a3，1110a，n110(na N+） ，数列 n11a为等比数列（ ）解：由（ ）可求得n 1nnn121111,21a33a3n2n12n111111Sn2aaa333KK=n+1n11133n2=n+1-131-3g，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页18 / 18若 Sn100，则 n+1n11003，nm

32、ax=99【解析】考点：数列递推式；数列的求和专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（） 利用数列递推式， 变形可得n1n1111a3a3， 从而可证数列 n11a为等比数列；（）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数n30在数列 an中， a12，an14an3n1，nN*. ()证明数列 ann 是等比数列；()设数列 an的前 n 项和 Sn，求 Sn14Sn的最大值【答案】()证明：由题设an14an3n1，得 an1(n1)4(ann)，nN*. 又 a11 1，所以数列 an n是首项为 1，且公比为4 的等比数列()由()可知 ann4n1，于是数列 an 的通项公式为an4n1n. 所以数列 an 的前 n 项和 Sn4n13n（ n1）2. Sn14Sn4n113（n1）（ n2）244n13n（n1）212(3n2n4)，故 n1，最大 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页