2022年必修二立体几何复习+经典例题 .pdf

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1、1 一、判定两线平行的方法1、 平行于同一直线的两条直线互相平行2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、 在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、 判定线面平行的方法1、 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、 如 果 平 面 外 的 一 条 直 线 和 这 个 平 面 内 的 一 条 直 线 平 行 ， 则 这 条 直 线 和 这 个平面平行3、 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、 平面外的两条平行直

2、线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、 如果一条直线和一个平面内的

3、两条相交线垂直，则线面垂直3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、 定义：成90角2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、 一条直线如果和两条平行直线中的

4、一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、 二面角的平面角为90精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是：90090,02、直线与平面所成的角的取值范围是：90090,03、斜线与平面所成的角的取值范围是：90090,04、二面角的大小用

5、它的平面角来度量；取值范围是：1800180,0十、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点【例题分析】例 2在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M，N 分别是 AB，PC 的中点，求证： MN平面 PAD【分析】 要证明“线面平行” ，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加 )中位线辅助证明证明： 方法一，取PD 中点 E，连接 AE，NE底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是 AB，PC 的中点，MACD，.21CDMAE 是 PD 的

6、中点，NECD，.21CDNEMANE，且 MANE，AENM 是平行四边形，MN AE又 AE平面 PAD， MN 平面 P AD，MN平面 PAD方法二取 CD 中点 F，连接 MF ，NF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 MFAD，NFPD，平面 MNF 平面 PAD，MN平面 PAD【评述】 关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：ac，bc，a ，a a ，b b a， babababa b(2)证明线面平行：a ab b ，aaaaa(3)证明面面平行： a ，ba ，a ， a

7、，b ，a b A 例 3在直三棱柱ABCA1B1C1中， AA1AC，ABAC，求证： A1CBC1【分析】 要证明“线线垂直” ，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C 垂直于经过 BC1的平面即可证明： 连接 AC1ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1平面 ABC，ABAA1又 AB AC，AB平面 A1ACC1，A1CAB又 AA1AC，侧面 A1ACC1是正方形，A1CAC1由，得A1C平面 ABC1，A1CBC1【评述】 空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABAC”都要将其向“线面垂直”进行转化精选学习资料

8、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 例 4在三棱锥PABC 中，平面 P AB平面 ABC，ABBC，AP PB， 求证：平面 PAC平面 PBC【分析】 要证明 “面面垂直” ，可通过 “线面垂直” 进行转化， 而“线面垂直” 又可以通过“线线垂直”进行转化证明：平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，且 ABBC，BC平面 PAB，APBC又 AP PB，AP平面 PBC，又 AP平面 PAC，平面 PAC平面 PBC【评述】 关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：ac，bc，aba

9、bab(1)证明线面垂直：a m，anab，b ，a ， lm，n ，m nAa ，alaaaa(1)证明面面垂直：a ，a 例 5如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，A1AB60， E，F 分别是 AB1，BC 的中点()求证：直线EF平面 A1ACC1；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 ()在线段 AB 上确定一点G，使平面EFG平面 ABC，并给出证明证明： ( )连接 A1C， A1E侧面 A1ABB1是菱形，E 是 AB1的中点，E 也是 A1B 的中点，

10、又 F 是 BC 的中点， EFA1CA1C平面 A1ACC1，EF平面 A1ACC1，直线 EF平面 A1ACC1(2)解：当31GABG时，平面EFG平面 ABC，证明如下：连接 EG，FG侧面 A1ABB1是菱形，且A1AB60， A1AB 是等边三角形E 是 A1B 的中点，31GABG， EGAB平面 A1ABB1平面 ABC，且平面A1ABB1平面 ABCAB，EG平面 ABC又 EG平面 EFG ，平面EFG平面 ABC例 6如图，正三棱柱ABCA1B1C1中， E 是 AC 的中点()求证：平面BEC1平面 ACC1A1； ()求证： AB1平面 BEC1【分析】 本题给出的三

11、棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考证明： ( )ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面 ABC，BEAA1 ABC 是正三角形，E 是 AC 的中点， BEAC， BE平面 ACC1A1，又 BE平面 BEC1，平面 BEC1平面 ACC1A1()证明：连接B1C，设 BC1B1CDBCC1B1是矩形， D 是 B1C 的中点，DE AB1又 DE平面 BEC1，AB1平面 BEC1，AB1平面 BEC1例 7在四棱锥PABCD 中，平面PAD平面 ABCD， ABDC， PAD 是等边三角形，已知 BD 2A

12、D8，542DCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 ()设 M 是 PC 上的一点，证明：平面MBD 平面 PAD；()求四棱锥PABCD 的体积【分析】 本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M 是 PC 上的动点分析知，MB，MD 随点 M 的变动而运动，因此可考虑平面MBD 内“不动”的直线BD 是否垂直平面PAD证明： ( )在 ABD 中，由于 AD 4， BD8，54AB，所以 AD2BD2AB2故 ADBD又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BD平面 A

13、BCD，所以 BD 平面 PAD，又 BD平面 MBD ，故平面MBD平面 PAD()解：过 P 作 POAD 交 AD 于 O，由于平面 PAD平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD因此 PO 为四棱锥PABCD 的高，又 P AD 是边长为4 的等边三角形因此.32423PO在底面四边形ABCD 中， ABDC， AB2DC，所以四边形ABCD 是梯形，在RtADB 中，斜边AB 边上的高为5585484，即为梯形 ABCD 的高，所以四边形ABCD 的面积为.2455825452S故.316322431ABCDPV9.如图 4, 在边长为1 的等边三角形ABC中,D E分别是,AB A

14、C边上的点 ,ADAE,F是BC的中点 ,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起 ,得到如图5 所示的三棱锥ABCF, 其中22BC. (1) 证明 :DE/ 平面BCF; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 图 5DGBFCAE图 4GEFABCD(2) 证明 :CF平面ABF; (3) 当23AD时, 求三棱锥FDEG的体积FDEGV. 形ABC中,ADAE9.【答案】(1) 在等边三角ADAEDBEC,在折叠后的三棱锥ABCF中也成立 ,/ /DEBC ,DE平面BCF, BC平面BCF,/ /DE平面BCF

15、; (2) 在等边三角形ABC中,F是BC的中点 , 所以AFBC,12BFCF. 在三棱锥ABCF中,22BC,222BCBFCFCFBFBFCFFCFABF平面; (3) 由(1) 可知/ /GECF, 结合 (2) 可得GEDFG平面. 1 11 1 113133 23 2 3323324FDEGEDFGVVDG FG GF4. 如图，四棱锥PABCD 中， ABCD 为矩形， PAD 为等腰直角三角形，APD=90 ，面 PAD面 ABCD ，且 AB=1 ，AD=2 ，E、F 分别为 PC 和 BD 的中点（1）证明： EF面 PAD；（2）证明：面PDC面 PAD；（3）求四棱锥P

16、ABCD 的体积4. 如图，连接AC ，ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点，AC 必经过 F 1 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 又 E 是 PC 的中点，所以， EFAP 2 分EF 在面 PAD 外， PA 在面内， EF面 PAD （2）面 PAD面 ABCD ，CDAD ，面 PAD面 ABCD=AD ， CD面 PAD，又 AP面 PAD， AP CD 又 APPD，PD 和 CD 是相交直线，AP面 PCD 又 AD面 PAD，所以，面PDC面 PAD （3）取 AD 中点为 O，连接 PO

17、，因为面 PAD面 ABCD 及 PAD 为等腰直角三角形，所以PO面 ABCD ，即 PO 为四棱锥PABCD 的高AD=2 ， PO=1，所以四棱锥PABCD 的体积1233VPO AB AD1. 如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90 ，AC=BC=12AA1，D 是棱AA1的中点( ) 证明：平面BDC1平面 BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 1. 【解析】 （）由题设知BC1CC,BCAC ，1CCACC, BC面11ACC A, 又1DC面11ACC A，1DCBC,由题设知01145A DCADC, 1CDC=090,即1DCDC, 又DCBCC, 1DC面BDC, 1DC面1BDC，面BDC面1BDC；（）设棱锥1BDACC的体积为1V，AC=1，由题意得，1V=1121 132=12，由三棱柱111ABCA B C的体积V=1，11() :VVV=1:1，平面1BDC分此棱柱为两部分体积之比为1:1. B1C B A D C1A1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页