2020届新高考数学二轮课时作业：层级二 专题四 第3讲 立体几何中的向量方法 .doc

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1、层级二 专题四 第3讲限时50分钟满分60分解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分)1.(2019广东汕头一模)如图，四棱锥PABCD中，PA菱形ABCD所在的平面，ABC60，E是BC中点，F是PC上的点(1)求证：平面AEF平面PAD.(2)若M是PD的中点，当ABAP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由解析：证明：连接AC.底面ABCD为菱形，ABC60，ABC是等边三角形E是BC中点，AEBC.又ADBC，AEAD.PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE.又PAADA，AE平面PAD.又AE平面AEF，平面AE

2、F平面PAD.(2)解：如图，以A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系不妨设ABAP2，则AE，则A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，M(0,1,1)，(0,0,2)，(，1，2)，(，0,0)设(，2)，则(，22)设m(x，y，z)是平面AEF的一个法向量，则取z，得m(0,22，)设直线EM与平面AEF所成的角为，由(，1,1)得，sin |cos，m|，化简得1021340，解得或.故存在点F满足题意，此时，或.2(2019北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA

3、ADCD2，BC3.E为PD的中点，点F在PC上，且.(1)求证：CD平面PAD；(2)求二面角FAEP的余弦值；(3)设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由解析：(1)由于PA平面ABCD，CD平面ABCD，则PACD，由题意可知ADCD，且PAADA，由线面垂直的判定定理可得CD平面PAD.(2)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD，AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，易知：A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，由可得点F的坐标为F，由可得E(0,1,1) ，设平面AEF的法向量为：m(x

4、，y，z)，则 ，据此可得平面AEF的一个法向量为：m(1,1，1)，很明显平面AEP的一个法向量为n(1,0,0)，cosm，n，二面角FAEP的平面角为锐角，故二面角FAEP的余弦值为.(3)易知P(0,0,2)，B(2，1,0)，由可得G，则，注意到平面AEF的一个法向量为：m(1,1，1)，其m0且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内3(2019苏州三模)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD，BC2，PA2.(1)取PC中点N，连接DN，求证：DN平面PAB.(2)求直线AC与PD所成角的余弦值(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面

5、角MACD的大小为45，如果存在，求BM与平面MAC所成的角，如果不存在，请说明理由解析：取BC的中点E，连接DE与AC，相交于点O，连接AE，易知ACDE，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(2，1,0)，C(0，1,0)，D(1,0,0)，P(0，1,2)，(1)PC中点N(0,0,1)，所以(1,0,1)，设平面PAB的法向量为n(a，b，c)，由(0,0,2)，(2,0,0)，令b1，可得：n(0,1,0)，所以n0，因为DN平面PAB，所以DN平面PAB.(2)(0,2,0)，(1,1，2)，设AC与PD所成的角为，则cos .(3)设M(x，y，z)及(01)，所

6、以M(，1,2(1)，设平面ACM的法向量为m(x，y，z)，由(0,2,0)，(，2(1)，可得m(22，0，)，平面ACD的法向量为p(0,0,1)，所以cosm，p ，解得.解得M，所以，所以m，设BM与平面MAC所成角为，所以sin |cos，m|，所以.4(2020山东实验中学模拟)某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCDEFQH材料切割成三棱锥HACF.(1)若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG平面ACF；(2)已知原长方体材料中，AB2，AD3，DH1，根据艺术品加工需要，工程师必须求出三棱锥HA

7、CF的高甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角，再根据公式hAHsin ，求三棱锥HACF的高h.请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高解：证明：(1)HMMA，HNNC，HKKF，MKAF，MNAC.MK平面ACF，AF平面ACF，MK平面ACF.MN平面ACF，AC平面ACF，MN平面ACF.MN，MK平面MNK，且MKMNM，平面MNK平面ACF.又MG平面MNK，MG平面ACF.(2)如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.则有A(3,0,0)，C(0,2,0)，F(3,2,1)，H(0,0,1)，(3,2,0)，(0

8、,2,1)，(3,0,1)设平面ACF的一个法向量为n(x，y，z)， 则有令y3，则n(2,3，6)，sin ，三棱锥HACF的高为AHsin .5.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解析：(1)因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE，又BDBEB，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3.故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.