2022年微分方程模型 .pdf

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1、1求微分方程的解析解 , 并画出图形，y= y + 2 x, y(0) = 1, 0 x dsolve(Dy*(1/x)-y*(1/x)-2=0,y(0)=1,x) ans = 3*exp(x) - 2*x - 2 作图： fplot(3*exp(x)-2*x-2,0,1,1,4.5) 图 1 微分方程 y= y + 2 x 的图形解00.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.522.533.544.5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页2求微分方程的数值解 , 并画出图形，cos0,(0)1,(

2、0)0yyxyy先把原方程化为一阶方程组。令1yy ，2yy ，则有122112cos(0)1,(0)0yyyyxyy首先建立 M-文件函数 : function f=jie(x,y) f=y(2);-y(1)*cosx; 计算: x,y=ode23(jie,0,2*pi,1,0) x = 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页y = 1.0000 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页作图： y1=y(:,1); y2=y(:,2);

3、 plot(x,y1,x,y2,r),gtext(y1),gtext(y2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页图 2 微分方程cos0,(0)1,(0)0yyxyy的图形解01234567-10-505精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页3两种相似的群体之间为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时， 往往是竞争力较弱的种群灭亡， 而竞争力较强的种群到达环境容许的最大数量。假设有甲、乙两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环

4、境中，均服从Logistic 规律。1)(),(21txtx是两个种群的数量；221,rr是它们的固有增长率；321,nn是它们的最大容量；4)(12mm为种群乙 (甲)占据甲 ( 乙) 的位置的数量，并且. 1122;xmxm计算)(),(21txtx, 画出图形及相轨迹图。解释其解变化过程。根据给定的具体数据，得到以下方程组1112222(1)1000.5(1)100dxxxdtdxxxdt12(0)10(0)10 xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页编制程序如下：1、建立 m文件 jingzheng.m如下

5、：function dx=jingzheng(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-(x(1)+2)/100);dx(2)=x(2)*(1-(x(2)+0.5)/100);2、在命令窗口执行如下程序：t,x=ode45(jingzheng,0:0.1:15,10,10) plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*),grid 图 3 种群数量与时间的关系图13、画出相轨迹图：plot(x(:,1),x(:,2) 051015102030405060708090100精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

6、7 页，共 12 页图 4 相轨迹图从图 3 可以看出，在开始阶段，两个种群的数量都随着时间增长；随着时间的推移，大约经过6 个单位时间，种群数量到达饱和；当时间足够长时，两者都将趋向于环境的最大容量。同时也看出，两个种群的数量基本持平，而种群二略占优势。2改变20102121,xxnnrr，而，不变，计算并分析结果；假设=1.5 ，=0.7，再分析结果。由此能得到什么结论。改变固有增长率12,r r假设种群甲的固有增长率从11r增为11.5r，种群乙的固有增长率从21r降为20.3r，其他参数保持不变，因此模型修改为：1020304050607080901001020304050607080

7、90100精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页11122221.5(1)1000.50.3(1)100dxxxdtdxxxdt12(0)10(0)10 xx图 5 种群数量与时间的关系图2【注：蓝色线代表种群甲，绿色线代表种群乙，下同】比较图 3 与图 5 可知，当其他参数不变，而固有增长率改变时，可以看出曲线形状发生了变化；但是，无论增长率如何变化，当时间足够长之后，种群的数量都趋向于环境最大容量。改变最大容量12,n n假设种群甲的最大容量从1100n减为150n，种群乙的最大容量从2100n增为2230n，其他

8、参数保持不变，因此模型修改为：051015102030405060708090100精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页1112222(1)500.5(1)230dxxxdtdxxxdt12(0)10(0)10 xx图 6 种群数量与时间的关系图3比较图 3 和图 6 可知，当其他参数不变，而最大容量改变时，可以看出曲线形状发生了变化；但是，当时间足够长之后，种群的数量都趋向于各自的环境最大容量。改变初值12(0),(0)xx假设种群甲的初值从1(0)10 x增加为1(0)30 x，种群乙的初值从2(0)10 x减为

9、2(0)5x，其他参数保持不变，因此模型修改为：051015050100150200250精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页1112222(1)1000.5(1)100dxxxdtdxxxdt12(0)30(0)5xx图 7 种群数量与时间的关系图4比较图 3 和图 7 可知，当其他参数不变，而种群初值改变时，可以看出曲线起点发生了变化；但是，当时间足够长之后，种群的数量都趋向于环境最大容量。改变1.5,0.7假设1.5,0.7，其他参数保持不变，因此模型修改为：112122121.5(1)1000.7(1)10

10、0dxxxxdtdxxxxdt12(0)10(0)10 xx0510150102030405060708090100精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页图 8 种群数量与时间的关系图5比较图 3 和图 8 可知，当其他参数不变，而,改变时，可以看出曲线形状发生了变化；而且，由于，种群甲最终灭绝；当时间足够长之后，种群乙的数量都趋向于环境最大容量，而种群甲最终灭绝。实验心得与体会通过这次的上机实验，我学会了用MATLAB 求简单微分方程的解析解还有数值解，加深对微分方程概念和应用的理解；也通过了课堂的学习， 掌握了对一些实际问题建立数学模型的方法， 但是这目前对于我来说还是很有难度的，希望通过更多的学习可以更加熟练地掌握相关的知识。本次实验提高了我对微分方程模型的认知，掌握利用软件求解微分方程的过程，也了解微分方程模型解决问题思维方法及技巧，体会到了微分方程建模的艺术性。0510150102030405060708090100精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页