2022年数值计算方法教案_数值积分 .pdf

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1、名师精编精品教案第四章 数值积分一问题提出：（1）针对定积分baIfx dx，若5fxx ,a=0,b=1 ，即有161500166xIx dx，但当sin xfxx，2sinfxx ，时，很难找到其原函数。（2）被积函数并没有具体的解析形式，即fx 仅为一数表。二定积分的几何意义定积分baIfx dx的几何意义为，在平面坐标系中I 的值即为四条曲线所围图形的面积，这四条曲线分别是yfx ，y=0，x=a，x=b。aby=f(x)xy三机械求积公式1. 中矩形公式2baabIfx dxbaf；几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

2、结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师精编精品教案aby=f(x)xya+b22. 梯形公式2babaIfx dxfafb梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：aby=f(x)xy3. 辛普生公式462babaabIfx dxfaff b辛 普 生 公 式 的 几 何 意 义 ： 阴 影 部 分 的 面 积 为 抛 物 线 曲 边 梯 形 ， 该 抛 物 线 由,( ) ,( )22ababa f afb f b三点构成。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页名师精编精品教案aby=

3、f(x)xya+b24. 求积公式的一般形式0nbkkakfx dxA fx，其中kx 称为节点，kA 称为求积系数，或权。5. 求积公式的代数精度（衡量求积公式准确度的一种方法）含义：衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。定义：若某积分公式对于0,1,kxkm 均能准确成立，但对于1mx不能准确成立。则称该公式具有 m次代数精度。解释：代数精度只是衡量积分公式好坏的1 种标准。例 1研究中矩形公式2baabfx dxbaf的代数精度及几何意义。解：当01fxx时，公式左边1bbaafx dxdxba ，公式右边ba，左=右；当

4、1fxx 时，公式左边22222bbbaaaxbafx dxx dx，公式右边2222abbaba，左=右；当2fxx 时，公式左边333233bbbaaaxbafx dxx dx，公式右边22abba，左右；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师精编精品教案故中矩形公式具有1 次代数精度 。从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。aby=a+bxxya+b2例 2研究梯形公式2babaIfx dxfafb的代数精度及几何意义。解：当01fx

5、x时，公式左边1bbaafx dxdxba ，公式右边ba，左=右；当1fxx 时，公式左边22222bbbaaaxbafx dxx dx，公式右边2222babaab，左=右；当2fxx 时，公式左边333233bbbaaaxbafx dxx dx，公式右边222baab，左右。故梯形公式也具有1 次代数精度 。从定积分的几何意义知， 当被积函数为一条直线时， 其积分值本身就是一个梯形的面积，如下图所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师精编精品教案aby=a+bxxy例 3研究辛普生公式462babaabI

6、fx dxf affb的代数精度及几何意义。解：当01fxx时，公式左边1bbaafx dxdxba ，公式右边ba，左=右；当1fxx 时，公式左边22222bbbaaaxbafx dxx dx，公式右边224622baabbaab，左=右；当2fxx 时，公式左边333233bbbaaaxbafx dxx dx，公式右边233222242226263baabbabaabaabb，左=右；当3fxx 时，公式左边444344bbbaaaxbafx dxx dx，公式右边344334624baabbaab，左=右；当4fxx 时，左右；故梯形公式具 有 3 次代数精度。当被积函数为一条直线或一

7、条抛物线时，过其曲线上3 个点构造的抛物线就是其本身曲线，所以积分公式严格成立。当被积函数为3 次多项式时，辛普生公式也严格成立，如下图所示，两个曲边梯形面积刚好相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师精编精品教案abxy6. 求积公式的确定方法一：待定系数法。例 1. 构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。分析：构造一次代数精度的公式，即当1fx及 fxx 时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2 个参数的积分公式。解：设积分公式为：01bafx dxA f aA f b 。针对1fx及 fx

8、x ，代入积分公式的左边和右边，有：01220112baAAbaA aAb，解得012Aba，112Aba于是有积分公式：22bababafx dxfafb。该公式即为 梯形求积公式。例 2. 构造一个至少具有2 次代数精度的求积公式。解：设积分公式为0122baabfx dxA faA fA fb。针对1fx， fxx 及2fxx ，代入积分公式的左边和右边，有：0122201223322012122132baAAAabbaA aAA babbaA aAA b，解得：016Aba，123Aba，216Aba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

9、 -第 6 页，共 11 页名师精编精品教案积分公式为：462babaabIfx dxf aff b该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是2 次，而是 3 次的。方法二，插值法 （插值型求积公式），即过函数 f(x) 的 n+1节点 x0，x1， xn，作n 次多项式函数nPx ，根据拉格朗日公式：0nnkkkPxlx fx，则有00nnbbbnkkkkaaakkfx dxPx dxlx dxfxA fx，其中，bkkaAlx dx代数精度的分析：若被积函数fx 是次数小于 n 的多项式函数，那么由其曲线上的n+1节点构成的n 次多项式函数nPx 即是被积函数 fx 本身。

10、则： 插值型积分公式具有至少n次代数精度。解释：若 fx 是一条直线，那么过其曲线上3 个点构造的抛物线22012Pxaa xa x ，其中必有20a，即2Pxfx ；同理，若fx 是一条抛物线，那么过其曲线上 4 个点构 造的3 次多项式函数2330123P xaa xa xa x ，其中必有30a，即3Pxfx 。四牛顿 - 柯特斯公式1. 牛顿柯特斯公式（ 等间距的插值型求积公式）把区间 a，b分为 n 等份，步长为 h h（ba）/n 则 n+1 个点分别为：,0,1,kxakhkn 。由这 n1 个点构造的插值型求积公式为：0nkkkIbaC fx该公式称为牛顿柯特斯公式，kC 称为

11、柯特斯系数 ，01nbjkajkjjkxxCdxbaxx当 n1 时（即 2 个点， 1 等份） ，有梯形公式（ 1 次代数精度）：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页名师精编精品教案12baIfafb当 n2 时（即 3 个点， 2 等份） ，有公式辛普生公式（ 3 次代数精度）：2462baabIf aff b当 n4 时（即 5 个点， 4 等份） ，有柯特斯公式（ 5 次代数精度）4012347321232790baIfxfxfxfxfx,0,1,2,3, 4,4kbaxakhkh2. 复化求积公式1.复化梯

12、形求积公式11101222nnnkkkkkhhTfxfxf af bfx2.复化辛普生公式1111110012244266nnnnkkkkkkkkhhSfxfxfxfafbfxfx3. 变步长算法梯形公式的逐次分半算法含义：把区间 a，b分成 n 等份计算其 n 个小梯形面积nT ；再把区间 a，b分成 2n 等份计算其 2n 个小梯形面积2nT。预备知识：2213nnnITTT则有：22nnnITTT先计算12,T T ，若21TT，再计算4T ，直到2nnTT为止，则2nT就是答案。4. 龙贝格求积公式复化积分的误差公式212nhITfbfa41180 2nhISfbfah 精选学习资料

13、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师精编精品教案6552945 4nhICfbfa龙贝格公式推导22141433nnnnnITITTSIT221161161515nnnnnISISSCIS221641646363nnnnnICICCRIC公式26416363nnnRCC称为龙贝格公式 ，龙贝格公式不是牛顿柯特斯公式。龙贝格公式求积算法T1 T2 S1 T4 S2 C1 T8 S4 C2 R1 T16 S8 C4 R2 5. 高斯公式（1）.含义：积分公式的一般形式；0nbkkakfx dxA fx以前的节点是按等间距来选择，为

14、了获得更高的代数精度节点也可以作为待定值 。（2）.一点高斯公式设一点高斯公式的形式为：00bafx dxA fx其实00,A x 都是需要待定的值。根据代数精度概念，令1,fxfxx ，使积分公式准确成立，有0220012baAbaA x解得：0Aba，02abx，故一点高斯公式为：bafx dx2abbaf，即为中矩形公式，它具有1 次代数精度。TnIT2nSnIS2nCnIC2n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师精编精品教案（3）.二点高斯公式设一点高斯公式的形式为：0011bafx dxA fxA fx

15、其实0101,A A xx 都是需要待定的值。根据代数精度概念，令231,fxfxx fxxfxx ，使积分公式准确成立，有012200113322001144330011121314baAAbaA xA xbaA xA xbaA xA x该方程组不是线性方程组，故其求解比较困难，最后解得：解得：012baAA，01,222 32 3baabbaabxx，故二点高斯公式为：bafx dx2222 32 3babaabbaabff，它具有 3 次代数精度 。n 点高斯公式具有至少2n1 次代数精度。（4）.勒让德多项式2!12!nnnndPxxndx1P xx，2213Pxx3335Pxxx42

16、43033535Pxxx。 。 。 。 。 。可以证明， 勒让德多项式的零点可以作为节点来构造高斯公式：110nkkkfx dxA fx（5）.三点高斯公式确定公式2110kkkfx dxA fx中的 6 个参数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师精编精品教案分析 3 次勒让德多项式323333!33316!555dPxxxxx xxdx则其零点为：01233,0,55xxx。 令21 ,f xf xx f xx，使积分公式准确成立，有012001 1222220011222023AAAA xA xA xA

17、xA xA x解线性方程组，得012585,999AAA，故三点高斯公式为：1153853095995fxdxfff作业：1. 数值积分公式303122fx dxff是否为差值型求积公式 ？其代数精度是多少12. 确定求积公式123bafx dxA faA f bA fa 中的参数123,A AA ，使其具有尽可能高的代数精度。3. 确定求积公式1123111133fx dxA fA fA f中的参数123,AAA ，使其具有尽可能高的代数精度。b-a=A1+A2 0.5(b2-a2)=A1a+A2b+A3 1/3(b3-a3)=A1a2+A2b2+2A3a 1/4(b4-a4)=A1a3+A2b3+3A3a2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页