2022年数列练习题以及基础知识点训练篇 .pdf

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1、数列基础知识点总结及训练主讲人：河南师范大学数学院毋老师A、1概念与公式：等差数列： 1 .定义：若数列),(1nnnnadaaa则常数满足称等差数列；2 .通项公式：;)()1(1dknadnaakn3 .前 n 项和公式：公式：.2)1(2)(11dnnnaaanSnn等比数列：1 .定义若数列qaaannn1满足（常数） ，则na称等比数列；2 .通项公式：;11knknnqaqaa3 .前 n 项和公式：),1(1)1 (111qqqaqqaaSnnn当 q=1 时.1naSn2简单性质：首尾项性质：设数列,:321nnaaaaa1 .若na是等差数列，则;23121nnnaaaaaa

2、2 .若na是等比数列，则.23121nnnaaaaaa中项及性质：1 .设 a，A，b 成等差数列，则 A 称 a、b 的等差中项，且;2baA2 .设 a,G,b 成等比数列，则 G 称 a、b 的等比中项，且.abG设 p、q、r、s 为正整数，且, srqp1 . 若na是等差数列，则;srqpaaaa2 . 若na是等比数列，则;srqpaaaa顺次 n 项和性质：1 .若na是公差为 d 的等差数列，nknnknnkkkkaaa121312,则组成公差为 n2d 的等差数列；2 . 若na是公差为 q 的等比数列，nknnknnkkkkaaa121312,则组成公差为 qn的等比数

3、列 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页（注意：当 q=1，n 为偶数时这个结论不成立）若na是等比数列，则顺次 n 项的乘积：nnnnnnnaaaaaaaaa3221222121,组成公比这2nq的等比数列 . 若na是公差为 d 的等差数列 , 1 .若 n 为奇数，则,:(21nnaaaaSSnaS中中中偶奇中即指中项注且而 S 奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2 .若 n 为偶数，则.2ndSS奇偶（二）学习要点：1学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意公差d 0 的等差数列的通项

4、公式是项 n 的一次函数 an=an+b;公差 d 0 的等差数列的前n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;公比 q 1 的等比数列的前n 项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的 . 2解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题. 3 巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如： 三数成等差数列，可设三数为“ a,a+m,a+2m（或 a-m,a,a+m ） ”三数成等比数列，可设三数为“ a,aq,aq2(或qa，a,aq)”四数成等差数列，可设四数为 “

5、);3,3(3,2,mamamamamamamaa或” 四 数 成 等 比 数 列 ， 可 设 四 数 为“),(,3332aqaqqaqaaqaqaqa或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 例 1解答下述问题：（）已知cba1,1,1成等差数列，求证：（1）cbabacacb,成等差数列；（2）2,2,2bcbba成等比数列 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页解析该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,.)(2)()(2)()1 (),(22211222

6、2222成等比数列成等差数列bcbbabbcabacbcbacbabacacbbcacabcaaccacabacabacbccbaacbcabacbaccabca评析判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，. （）等比数列的项数 n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2128，求项数 n. 解析设公比为2421281024,142531nnaaaaaaaq)1(24211nqa.7,23525,2)2() 1(,2)(2) 1(221281024235252352112353211235321nnqanqaaaaannnn得代

7、入得将而（ ） 等 差 数 列 an 中 ， 公 差d 0 ， 在 此 数 列 中 依 次 取 出 部 分 项 组 成 的 数 列 ：,17,5, 1,32121kkkaaankkk其中恰为等比数列求数列.项和的前 nkn解析,171251751aaaaaa成等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页.1313132,132) 1(2) 1(323, 34,2,00)2()16()4(111111115111121nnSnkkdkddkaadaaadaaaqadaddaddaadannnnnnnnknnkknnn项

8、和的前得由而的公比数列评析例 2 是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. 例 3解答下述问题：（）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数. 解析设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为ad, a, a+d，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232)()4()32)(22222或原三数为或得或adddddaadddadaaadada（）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四

9、数. 解析设此四数为)15(15, 5,5,15aaaaa, 2521251,2551251125,125)(45004)()2()15() 5()5()15(2222222amamamamamamamamamammaNmmaaaa且均为正整数与解得),(1262不合或aa所求四数为 47，57，67，77 评析巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法 . ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页B、由递推公式求通项公式的方法一、1( )nnaaf n型数列，

10、 （其中( )f n不是常值函数 ) 此 类 数 列 解 决 的 办 法 是 累 加 法 ， 具 体 做 法 是 将 通 项 变 形 为1( )nnaaf n， 从 而 就 有21321(1),(2),(1).nnaafaafaaf n将上述1n个式子累加，变成1(1)(2)(1)naafff n，进而求解。例 1. 在数列na中,112,21,.nnnaaana求解：依题意有213211,3 ,23nnaaaaaan逐项累加有221(1 23)(1)1323(1)212nnnaannnn，从而223nann。注：在运用累加法时 ,要特别注意项数 ,计算时项数容易出错 . 变式练习：已知na满

11、足11a,)1(11nnaann,求na的通项公式。二、)(1nfaann型数列， （其中( )f n不是常值函数 ) 此 类 数 列 解 决 的 办 法 是 累 积 法 ， 具 体 做 法 是 将 通 项 变 形 为1( )nnaf na， 从 而 就 有32121(1),(2),(1)nnaaafff naaa将上述1n个式子累乘，变成1(1)(2)(1)nafff na，进而求解。例 2. 已知数列na中11123,(2)321nnnaaann，求na的通项公式。解：当2n时，324123113523,57921nnaaaanaaaan将这1n个式子累乘，得到11 3(21)(21)na

12、ann，从而21 311(21)(21)341nannn，当1n时，1211413an，所以2141nan。注：在运用累乘法时 ,还是要特别注意项数 ,计算时项数容易出错 . 变式练习：在数列na中, na0,221112,(1)nnnnananaaa,求na. 提示：依题意分解因式可得11(1)()0nnnnnanaaa，而na0, 所以1(1)0nnnana，即11nnanan。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页三、qpaann 1型数列此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求

13、解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设)(1mapmann，展开整理1nnapapmm，比较系数有pmmb，所以1bmp，所以1nbap是等比数列，公比为p ，首项为11bap。二是用作差法直接构造，1nnapaq,1nnapaq，两式相减有11()nnnnaap aa，所以1nnaa是公比为 p 的等比数列。例 3. 在数列na中，11a，当2n时，有132nnaa，求na的通项公式。解法 1：设13()nnamam，即有132nnaam对比132nnaa，得1m，于是得113(1)nnaa，即3111nnaa所以数列1na是以112a为首项，以 3 为公比的等比数列则12 31nna

14、。解法 2：由已知递推式，得1132,32,(2)nnnnaaaan，上述两式相减，得113()nnnnaaaa，即311nnnnaaaa因此，数列1nnaa是以214aa为首项，以 3 为公比的等比数列。所以114 3nnnaa，即1324 3nnnaa，所以12 31nna。变式练习：已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式 . 注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式. 四、nfpaann 1型数列（ p 为常数）此类数列可变形为111nnnnnpnfpapa，则nnpa可用累加法求出，由此求得na. 例 4 已知数列na满足11

15、11,32nnnaaa,求na. 解 : 将 已 知 递 推 式 两 边 同 除 以12n得1131222nnnnaa, 设2nnnab, 故 有132(2)2nnbb，15322nnnb,从而11532nnna. 注：通过变形 ,构造辅助数列 ,转化为基本数列的问题 ,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法. 若( )f n为 n 的一次函数 ,则na加上关于 n 的一次函数构成一个等比数列; 若( )f n为 n 的二次函数 , 则na加上关于 n的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解. 例 5已知数列na满足1111,2,21,.2nnnanaana当时求精选学习资料 -

16、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页解 : 作nnbaAnB, 则nnabAnB,11(1)nnabA nB代 入 已 知 递 推 式 中得:11111(2)(1)2222nnbbAnAB. 令1202111022AAB46AB这时112nnbb且46nnban显然,132nnb,所以13462nnan. 注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较 ,把问题转化成基本数列 ,从而使问题得以解决. 变式练习： （1）已知na满足11122,2nnnaaa，求na。（2）已知数列na，nS表示其前 n项和，若满足231nnSa

17、nn，求数列na的通项公式。提示： （2）中利用111,2nnnSnaSSn，把已知条件转化成递推式。五、CBaAaannn型数列（CBA,为非零常数）这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为1nnapaq型数列。例 6已知数列na满足1122,2nnnaaaa,求na. 解:两边取倒数得 :11112nnaa,所以1111(1)22nnnaa，故有2nan。变式练习：数列na中，11112,22nnnnnaaaa，求na的通项。六、nnnqapaa12型数列（,p q为常数）这种类型的做法是用待定糸数法设nnnnaaaa112构造等比数列。例 7数

18、列na中，,3, 221aa且2,211nNnaaannn，求na. C、求数列前n项和一. 公式法 : 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页最重要的方法。(1) 等差：dnnnaaanSnn2) 1(2)(11; 等比：) 1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnaSnnn; (2) 6) 12)(1(3212222nnnn; 233332)1(321nnn例 1. 求和221nxxx(0,2 xn) 二. 分组法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这

19、类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例 2. 求数列12( )3nnn的前 n 项和三. 错位相减法： （考试重点）主要用于求数列an bn 的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差和等比. 求和时一般在已知和式的两边都乘以等比数列的公比q；然后再将得到的式子和原式相减，转化为同倍数的等比数列求和。注意事项： 1.公比是未知数要讨论当公比x=1 时的特殊情况；2.错位相减时要注意末项例 3. 求和：nn212423132例 4. 求和：.0127531132aanaaan四. 裂项法 : 实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能

20、消去一些项，最终达到求和的目的.前面剩几项后面剩倒数第几项，对称性. 例 5求和) 12)(12(1751531311nn例 6.求数列,11,321,211nn的前n项和 . 五. 并项求和法(或者奇数项和+偶数项和 )一定是正负相间. 例 7. 求和1357( 1) (21)nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页数列部分测试题一、选择题1、 如果一个数列既是等差数列，又是等比数列， 则此数列（）（A）为常数数列（B）为非零的常数数列（C）存在且唯一（D）不存在2.、 在等差数列na中，41a,且1a,5a,13

21、a成等比数列， 则na的通项公式为（）（A）13nan（B）3nan（C）13nan或4na（D）3nan或4na3、 已知cba,成等比数列， 且yx,分别为a与b、b与c的等差中项， 则ycxa的值为（）（A）21（B）2（C）2（D） 不确定4、 互不相等的三个正数cba,成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项， 那么2x，2b，2y三个数（）（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列na的前n项和为nS,nnSn24212,则此数列的通项公式为（）（A）22nan（ B）28na

22、n（C）12nna（ D）nnan26、 已知)(4)(2zyyxxz， 则（）（A）zyx,成等差数列（B）zyx,成等比数列（C）zyx1,1,1成等差数列（D）zyx1,1,1成等比数列7、 数列na的前n项和1nnaS， 则关于数列na的下列说法中， 正确的个数有（）一定是等比数列，但不可能是等差数列一定是等差数列，但不可能是等比数列可能是等比数列，也可能是等差数列可能既不是等差数列，又不是等比数列可能既是等差数列，又是等比数列（A）4 （ B）3 （C）2 （D）1 8、 数列 1,1617,815,413,21,前n项和为（）（A）1212nn（B）212112nn（C）1212n

23、nn（D）212112nnn9、若两个等差数列na、nb的前n项和分别为nA、nB，且满足5524nnBAnn，则135135bbaa的值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页（A）97（B）78（C）2019（D）8710、 已知数列na的前n项和为252nnSn,则数列na的前 10 项和为（）（A）56 （B）58 （C）62 （D）60 11、已知数列na的通项公式5nan为 , 从na中依次取出第3，9，27， 3n, 项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为（）（A）2)133(nn（B

24、）53n（ C）23103nn（D）231031nn12、下列命题中是真命题的是( ) A数列na是等差数列的充要条件是qpnan(0p) B已知一个数列na的前n项和为abnanSn2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C数列na是等比数列的充要条件1nnabaD如果一个数列na的前n项和cabSnn)1,0,0(bba,则此数列是等比数列的充要条件是0ca二、填空题13、各项都是正数的等比数列na，公比1q875,aaa,成等差数列，则公比q= 14、已知等差数列na，公差0d,1751,aaa成等比数列，则18621751aaaaaa= 15、已知数列na满足nnaS411,则

25、na= 16、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为三、解答题17、已知数列na是公差d不为零的等差数列，数列nba是公比为q的等比数列，46,10, 1321bbb，求公比q及nb。18、已知等差数列na的公差与等比数列nb的公比相等， 且都等于d)1,0(dd,11ba，333ba,555ba,求nnba ,。19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216 ，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。20、已知na为等比数列，324202,3aaa，求na的通项式。精选学习资料 - - - - - - - - -

26、名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页21、数列na的前n项和记为11,1,211nnnS aaSn（）求na的通项公式；（）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,ab ab ab成等比数列，求nT22、已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列na的通项公式；（II）若数列nb满足121114.4.4(1)()nnbbbbnanN，证明：nb是等差数列；数列部分参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDCAAACADDDD二、 填空题13. 25114. 292615.

27、n)31(3416. 63三、解答题17.a1b=a1,a2b=a10=a1+9d,a3b=a46=a1+45d由abn为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. q=4 又由 abn是 an中的第bna项，及abn=ab1 4n-1=3d 4n-1,a1+(bn-1)d=3d 4n-1 bn=3 4n-1-2 18.a3=3b3 , a1+2d=3a1d2 ,a1(1-3d2)=-2da5=5b5, a1+4d=5a1d4 , a1(1-5d4)=-4d,得243151dd=2，d2=1 或d2=51,由题意，d=55,

28、a1=-5。an=a1+(n-1)d=55(n-6) bn=a1dn-1=-5 (55)n-1 19.设这四个数为aaqaqaqa2,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页则36)3(216aaqaqaaqaqa由，得a3=216,a=6 代入，得3aq=36,q=2 这四个数为 3，6，12，18 20.解: 设等比数列 an的公比为q, 则q 0, a2=a3q= 2q, a4=a3q=2q所以2q+ 2q=203, 解得q1=13, q2= 3, 当q1=13, a1=18. 所以an=18 (13)n 1=1

29、83n1= 2 33n. 当q=3 时, a1= 29, 所以an=29 3n1=2 3n3. 21.解： (I)由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得112,32nnnnnaaa aan又21213aS213aa故na是首项为1，公比为3得等比数列13nna（）设nb的公差为d由315T得，可得12315bbb，可得25b故可设135,5bd bd又1231,3,9aaa由题意可得2515953dd解得122,10dd等差数列nb的各项为正，0d2d213222nn nTnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，

30、共 13 页22（I） ：*121(),nnaanN112(1),nnaa1na是以112a为首项， 2 为公比的等比数列。12 .nna即2*21().nanN（II）证法一：1211144.4(1) .nnbbbbna12(.)42.nnbbbnnb122(.),nnbbbnnb12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb，得112(1)(1),nnnbnbnb即1(1)20,nnnbnb21(1)20.nnnbnb，得2120,nnnnbnbnb即2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbb nNnb是等差数列。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页