2022年数学公式和知识点 2.pdf

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1、公式和知识点（数学）1. 数集的表示：实数集R；有理数集Q；整数集Z；自然数集N；复数集C2. 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。3. 若有限集合A有n个元素，则A的子集有n2个，真子集有12n个，非空子集有12n个，非空真子集有22n个。4. “且”用表示， “或”用表示， “全称”用表示， “存在”用表示。5. 全称命题的否定是特称命题，即Mx，)(xp的否定是Mx0，)(0 xp，反之亦可。6. 原命题与逆否命题真假性一致，逆命题与否命题真假性一致。7.BA，则A是B的充分条件；AB，则A是B的必要条件。8. 函数的定义域：分母不为0，偶次方根被开方数大于等于0，对数的真

2、数大于0，底数大于0 且不为 1，零次幂的底数不为0，正切的角终边不在y轴上。9. 函数的定义含有三要素，即定义域、对应关系、值域。当两个函数的三要素都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。10. 函数奇偶性的定义：对于函数)( xf的定义域内的任意一个x，都有)()(xfxf，则为奇函数。对于函数)(xf的定义域内的任意一个x，都有)()(xfxf，则为偶函数。11. 函数奇偶性的性质：奇、偶函数的定义域关于原点对称，若奇函数的定义域包括0，则0)0(f，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，奇函数在其对称区间上的单调性相同，而偶函数相反。12. 函数单调性的定义：若函数)(x

3、f在区间D内的21xx 、，当21xx时，都有)()(21xfxf时，则)(xf是区间D上的增函数，都有)()(21xfxf时，则)(xf是区间D上的减函数。13. 周期函数的定义：对于函数)(xf存在非 0 常数T，使得在其定义域内有)()(Txfxf，则)(xf是以T为周期的周期函数。14. 反函数的定义：一个函数中的x与y调换位置，即xy2的反函数为yx2，原函数的反函数图像关于xy对称。15. 函数图像的对称性：若)()(Rbaxbfbxf、在定义域成立，则)(xf关于2bax对称。16. 幂运算公式：)0(10aa，)(1Qpaapp，*,0(Nnmaaanmnm、，且)1n，nmn

4、maaa，mnnmaa)(，nnnbaab)(，nmnmaaa17. 对数定义：若)1,0(aaNab，那么b叫做a为底N的对数，记作bNalog，其中a称对数的底，N叫真数。当10a时称常用对数，记为Nlg；当a无理数)7. 2(ee时，记为Nln18. 对数运算公式：01loga；1logaa；NaNalog；NMMNaaaloglog)(log；NMNMaaalogloglog；MnMaNaloglog；aNNmmalogloglog（换底公式）19. 指数函数) 1,0(aaayx的图像总体特征：定义域为R；值域为),0(；恒过点)1 ,0(部分特征：当1a时，在R上是增函数；当10a

5、时，在R上是减函数。20. 对数函数)1,0(logaaxya的图象总体特征：定义域为),0(；值域为R；恒过点)0 , 1 (精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页部分特征：当1a时，在), 0(上是增函数；当10a时，在),0(上是减函数。21. 幂函数)(Raxya22. 函数零点的定义：方程0)(xf有实根)( xf的图象与x轴有交点)(xf有零点；函数零点的判断方法：若)(xf在,ba上为单调函数，且有0)()(bfaf，则)(xf在,ba有零点。23. 导数的概念：设函数)( xf在0 xx处附近有定义，当x

6、在0 xx处增加x时，则y也有相应的增量)()(00 xfxxfy，因此平均变化率为xxfxxfxy)()(00，当这个数无限接近于某个常数时，就把这个常数称为函数)(xf在0 xx处的导数，即xxfxxfxfx)()(lim)( 000024. 函数)(xf在点0 x处的导数的几何意义是曲线)( xf在点)(,(00 xfx处的切线的斜率。25. 导数公式：0C(C为常数 ) ；)()(1Qnnxxnn；xxcos)(sin；xxsin)(cos；xxee )(；aaaxxln)(；xx1)(ln；axxaln1)(log26. 导数运算法则：)( )( )()(xgxfxgxf；)( )(

7、)()( )()(xgxfxgxfxgxf)0)()()( )()()( )()(2xgxgxgxfxgxfxgxf；xuuyxuf)(27. 当0)( xf在,ba恒成立，则)(xf在,ba上单调递增；当0)( xf在,ba恒成立，则)(xf在,ba上单调递减。28. 极值、最值的判断：若在0 x的左侧0)( xf，右侧0)( xf，则)(0 xf是极大值；若在0 x的左侧0)( xf，右侧0)( xf，则)(0 xf是极小值。各极值的和定义域的函数值比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。29. 定积分dxxfba)(的几何意义：x轴、曲线)(xf以及直线bxax、所围成的曲边梯形的面积

8、。30. 微积分定理：若)()( xfxF，且)(xf在,ba上可积，则)()()()(aFbFxFdxxfbaba31. 向量的概念：既有大小又有方向；模为0 的向量为零向量，模为1 的向量为单位向量；零向量与任何向量平行 ( 共线 ) ；方向相同或相反的向量为平行( 共线 ) 向量；长度相等且方向相同的向量为相等向量；两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a与b的数量积为cosbaba，规定零向量与任何非零向量的数量积等于0；向量b在a方向上的投影为abab cos32. 平面向量的坐标运算：若),(),(),(),(22112211yxbyxayxByxA、( 两个向量的是非零向量) ，则

9、),(2121yyxxba、),(1212yyxxAB、2211yxyxba；2121yxa；若ba，则01221yxyx；若ba，则02211yxyx；若a与b的夹角为，则222221212121cosyxyxyyxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页33. 弧度制与角度制的转化：rad180，rad180134. 弧长公式：(rl为圆心角的弧度数) ，扇形面积公式：lrrS2121235. 同角三角函数的关系：1cossin22；tancossin),2(Zkk36. 诱导公式：sin)2sin(k、cos)2c

10、os(k、tan)2tan(k；sin)sin(、cos)cos(、tan)tan(；sin)sin(、cos)cos(、tan)tan(；sin)sin(、cos)cos(、tan)tan(；cos)2sin(、sin)2cos(、cos)2sin(、sin)2cos(37. 两角和公式：sincoscossin)sin(；sinsincoscos)cos(；tantan1tantan)tan(38. 二倍角公式：cossin22sin；2222sin211cos2sincos2cos；2tan1tan22tan39. 辅助角公式：)sin(cossin22xbaba(为辅助角 ) 40.

11、函数)0, 0)(sin(AxA可由xysin的图象作如何变换得到：)sin(sinxyxy，将xysin图象上所有点向左)0(或向右)0(平移个单位；)sin()sin(xxy，将)sin(xy图象上所有横坐标伸长) 10(或缩短)1(到原来的1倍；)sin()sin(xAyxy，将)sin(xy图象上所有纵坐标伸长)1(A或缩短)10(A到原来的A倍。41. 三个常用三角函数的性质：xysinxycosxytan定义域RRkx2值域1 , 1 1 , 1R最小正周期22对称中心)0,(k)0,2(k)0,(k对称轴2kxkx无递增区间kxk2222kxk22kxk22递减区间kxk2232

12、2kxk22无精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页42. 正弦定理：RRCcBbAa(2sinsinsin为ABC外接圆的半径 ) 43. 余弦定理：Abccbacos2222；Baccabcos2222；Cabbaccos222244. 俯角是视线在水平线下方的角；仰角是视线在水平线上方的角。45. 三角形面积公式：aahSABC(21是底、h是高 ) ；AbcBacCabSABCsin21sin21sin2146. 等差数列有关概念定义：若数列na满足dNnndaann*,2(1为常数 ) 通项公式：dnaan)

13、1(1，也可以写成*)()(Nmndmnaamn、等差中项：若三数bAa、成等差，则A为ba、的等差中项，且有2baA性质：若qpnm，则qpnmaaaa；nnnnnSSSSS232、也成等差。数列前n项和：2)1(2)(11dnnnanaaSnn47. 等比数列有关概念定义：若数列na满足0*,2(1qNnnqaann的常数 ) 通项公式：11nnqaa，也可以写成*)(Nmnqaamnmn、等比中项：若三数bGa、成等比，则G为ba、的等比中项，且有abG2性质：若qpnm，则qpnmaaaa；nnnnnSSSSS232、也成等比。数列前n项和：当1q时，1naSn；当1q时，qqaaqq

14、aSnnn11)1(1148.na与nS关系：)2()1(11nSSnSannn( 任何数列都可用) 49. 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和体积公式：直棱柱侧面积cchS(为底面周长，h为高 ) ；正棱锥侧面积cchS( 21为底面周长， h为斜高 ) ；正棱台侧面积( ) (21cchccS、分别为上、下底面周长， h为斜高 ) ；棱柱体积SShV(为底面积，h为高 ) ；棱锥体积SShV(31为底面积，h为高) ；棱台体积()(31SShSSSSV、为上、下底面积，h为高 ) 50. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式：圆棱柱侧面积rrhS(2为底面半径，h为高 ) ；圆锥侧面积rrlS(为底

15、面半径，l为母线长 ) ；圆台侧面积() (rrlrrS、为上、下底面半径，l为母线长 ) ；圆柱体积SShV(为底面积，h为高 ) ；圆锥体积SShV(31为底面积，h为高 ) ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页棱台体积()(31SShSSSSV、为上、下底面积，h为高 ) 51. 球的表面积和体积公式：24 RS，RRV(343为球的半径）52. 平面直观图 - 斜二测画法特点：45yox；平行于yx、轴的线段在直观图中平行于yx 、轴的线段；平行于x轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段在直观图中为原

16、长的一半。53. 直线与平面平行判定与性质定理(nmba、为线段，A为点，、为平面 ) 判定定理：若baba、，则a；性质定理：若baa、，则ba54. 平面与平面平行判定与性质定理：判定定理：若、baAbaba则；性质定理：若ba、，则ba55. 直线与平面垂直判定与性质定理：判定定理：若Anmnmnama、，则a；性质定理：若ba、，则ba56. 平面与平面垂直判定与性质定理：判定定理：若aa、，则；性质定理：若abab、，则a57. 空间向量的坐标运算：( 可仿照 32. 的公式 ) 58. 平面法向量的求法：设平面的法向量),(zyxn，在平面内任意找两个不共线的向量a和b，由n可得0

17、na和0nb，由此解得zyx、的关系式，按比例设数字可得到),(zyxn59. 点到平面的距离公式：设法向量n为平面的法向量， 点A是平面外的一定点， 点B是平面内的任意一点，则点A到平面的距离nnABd60. 倾斜角：直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，范围为, 0；斜率：过两点)(,(),(212211xxyxByxA、时，倾斜角不为90，则斜率1212tanxxyyk；当21xx时，倾斜角为90，斜率不存在。61. 直线的截距： 直线与x轴的交点的横坐标为直线在x轴上的截距； 直线与y轴的交点的纵坐标为直线在y轴上的截距。62. 直线方程的基本形式( 由于有两种形式少用，就不写了

18、) 一般式：BACByAx、(0不全为 0) ；点斜式：直线过点),(00yx且斜率为k，则直线方程为)(00 xxkyy；斜截式：已知直线的斜率为k且在y轴上的截距为b，则直线方程为bkxy63. 两直线平行、垂直的充要条件：若不重合的直线21ll 、的斜率分别是21kk 、，则2121kkll ；12121kkll64. 中点坐标公式：若),(),(2211yxByxA、两点间的中点),(yxM，则222121yyyxxx、65. 两点间距离公式：若),(),(2211yxByxA、，则221221)()(yyxxAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

19、- - - - -第 5 页，共 9 页66. 点到直线距离公式：点),(00yx到直线l：0CByAx的距离2200BACByAxd67. 两平行直线间距离公式：若直线0:11CByAxl，0:22CByAxl，则1l与2l间距离为2221BACCd68. 几种特殊的对称：点),(ba关于x轴对称的点为),(ba；点),(ba关于y轴对称的点为),(ba；点),(ba关于原点对称的点为),(ba；点),(ba关于0cyx对称的点为),(bcac；点),(ba关于0cyx对称的点为),(bcac69. 圆的相关概念：定义：平面内与定点( 圆心 ) 的距离 ( 半径 ) 恒定不变的点的集合( 轨

20、迹 ) 。标准方程：222)()(rbyax，其中圆心为),(ba，半径为r一般方程：022FEyDxyx，其中圆心为)2,2(ED，半径为2422FED70. 点与圆的位置关系：若点与圆心的距离为d，半径为r，则rd点在圆上；rd点在圆内；rd点在圆外。71. 判定直线与圆的关系：几何法：直线与圆心距离为d，半径为r，则相交rd；相切rd；相离rd；代数法：由直线方程与圆的方程联立，消元得到一元二次方程，则相交0；相切0；相离072. 圆与圆之间的关系： 若两圆的半径分别为21rr 、，连心距为d， 则21rrd外离4 条公切线；21rrd外切3 条公切线；2121rrdrr相交2 条公切线

21、；21rrd内切1 条公切线；210rrd内含无公切线73. 椭圆的定义：平面内与两定点21FF 、的距离之和等于常数)2(221FFaa的点的轨迹，这两个定点为椭圆的焦点，两焦点的距离为焦距；与定点的距离和它到一条定直线的距离之比是离心率( 常数 ) )10(e的点的轨迹。74. 两种椭圆的相同点与不同点：不同点： 当焦点在x轴时，标准方程)0(12222babyax，范围bybaxa、，两焦点)0,()0,(cc、，顶点),0(),0()0,()0 ,(bbaa、；当焦点在y轴时，标准方程)0(12222babyax，范围ayabxb、，两焦点),0(), 0(cc 、，顶点)0,()0

22、,(),0(),0(bbaa、相同点：焦距c2，长轴长a2，短轴长b2，222cba，离心率)10(eace75. 双曲线的定义：平面内与两定点21FF 、的距离之差的绝对值等于常数)2(221FFaa的点的轨迹，这两个定点为双曲线的焦点，两焦点的距离为焦距；与定点的距离和它到一条定直线的距离之比是离心率 ( 常数 ) 1(e的点的轨迹。76. 两种双曲线的相同点与不同点：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页不同点：当焦点在x轴时，标准方程)0(12222babyax、，范围ax或ax，两焦点)0,()0,(cc、，顶

23、点)0,()0 ,(aa、，渐近线方程xaby；当焦点在y轴时，标准方程)0( 12222babxay、，范围),0(), 0(cc 、，顶点),0(),0(aa 、，渐近线方程xbay相同点：焦距c2，实轴长a2，虚轴长b2，222bac，离心率) 1(eace77. 抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹，定点F为抛物线的焦点，定直线为准线。78. 四种不同的抛物线：标准方程)0(22ppxy，焦点)0 ,2(p，准线方程2px，范围0 x，1e；标准方程)0(22ppxy，焦点)0,2(p，准线方程2px，范围0 x，1e；标准方程)0(22ppyx，焦点)2,

24、 0(p，准线方程2py，范围0y，1e；标准方程)0(22ppyx，焦点)2,0(p，准线方程2py，范围0y，1e；79. 直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：由直线方程与圆锥曲线的方程联立，消元得到一元二次方程，若0，则有两个交点；0，则有一个交点；0，则无交点80. 统计图表：频率分布表：反映总体频率分布的表格，表格主要有分组、频数、频率等三个项目；频率分布直方图： 在直角坐标系中用横坐标表示数据的分组区间，纵坐标表示频率与组距的比值，小矩形的面积表示相应分组的频率。81. 数字特征：众数：在一组数据中出现得最多的数据；中位数：把一组数据按大到小依次排列，处于中间位置的一个数据( 或中间

25、两个数据的平均数)；平均数： 一组数据的总和与数据个数的比值；方差：若一组数据为nxxx21、，平均数为x，则方差为nxxxxxxsn222212)()()(；方差的算术平方根为标准差。82. 用样本数字特征估计总体的数字特征：反映数据的集中趋势有中位数、众数、平均数；反映数据的离散程度有方差、标准差。83. 线性回归方程bxay ?(ba、是回归系数），公式为niiniiiniiniiixxyyxxxnxyxnyxb1211221)()(；xbya(yx、为平均数 ) 84. 计数原理：加法原理：做一件事，完成它有n类方法，在第一类办法有1m种不同方法，在第二类办法有2m种不同方法，在第n类

26、办法有nm种不同方法，则完成这件事有nmmmN21种不同方法；乘法原理：做一件事，完成它要n个步骤，第一步有1m种不同方法，第二步有2m种不同方法，第n步有nm种不同方法，则完成这件事有nmmmN21种不同方法。85. 排列：从n个不同的元素中任取)(nmm个元素，按一定顺序排成一列，用mnA表示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页公式：)!(!) 1()2)(1(mnnmnnnnAmn(123)2)(1(!nnnn为n的阶乘 ) 86. 组合 : 从n个不同的元素中任取)(nmm个元素合成一组，用mnC表示。公式：

27、)!( !)1()2)(1(mnmnmmnnnnCmn87. 二项式定理：nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(通项)2, 1 , 0(1nrbaCTrrnrnk，它展开式有1r项88. 二项式系数的性质：对称性：在展开式中，与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即rnnrnnnnCCCC,1；二项式系数先增后减，在中间取得最大值；nnnnnCCC2101531202nnnnnnCCCCC89. 事件的关系：互斥事件：不能同时发生的两个事件；对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件；对立事件一定是互斥事件，互斥时间不一定是对立事件。90. 若离散型随

28、机变量X的分布列为：XX1 X2 Xi Xn p P1 P2 Pi Pn 则数学期望 ( 均值 )nnpxpxpxEX2211；若baXY，则)(baXEEY；若X服从两点分布，则pEX；若),(pnBX，则npEX；方差nnpEXxpEXxDX2121)()(；它的算术平方根DX为标准差，用X表示；若baXY，则DXaDY2；若X服从两点分布，则)1(ppEX；若),(pnBX，则)1(pnpDX91. 正态曲线函数：2,221xe(为数学期望，为标准差 ) 性质：曲线在x轴上方，无限靠近x轴；曲线关于x对称；当x时有最大值21；在),(x时递增，在),(x时递减；曲线与x轴的面积为1；当一

29、定时，当越小，曲线越瘦高，当越大，曲线越矮肥。92. 三个特殊区间的取值概率：6826.0)(XP；9544. 0)22(XP；9974. 0)33(XP93. 复数),(Rbabia, 其中i是虚数单位，且12i，a为实部，b为虚部。94. 复数的分类：当0b时，为实数；当0b时，为虚数；当00ba、时，为纯虚数；当00ba、时，为非纯虚数；bia与bia互为共轭复数；bia可以写成坐标形式),(ba，复数坐标公式可参考上面的32. 95. 复数的四则运算：若复数biaz1，复数dicz2，则idbcazz)()(21；idbcazz)()(21；ibcadbdaczz)()(21；idca

30、dbcdcbdacdicdicdicbiadicbiazz222221)()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页96. 极坐标为),(，和两个公式：sincosyx，222yx(yx、为直角坐标系 ) 97. 基本不等式：*)(2Rbaabba、, 当且仅当ba时取等号；运用基本不等式的三要素：一正，二定，三相等。98. 绝对值不等式：bababa99. 柯西不等式：2332211332221232221)()(babababbbaaa，当且仅当11kba、22kba、33kba时，取等号。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页