2022年微积分基本概念 .pdf
《2022年微积分基本概念 .pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年微积分基本概念 .pdf(26页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、第 1 页 共 26 页浙江博成教育微积分基本概念第一章函数、极限连续重点:函数性质与函数的图形函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试 ,故不作复习重点,不作任何要求 ,也不做练习题 . 一、函数一函数的概念1函数的定义【定义 1.1 】 设在某一变化过程中有两个变量x和y,假设对非空集合D中的每一点x,都按照某一对应规则f,有惟一确定的实数y与之相对应 ,则称y是x的函数 ,记作.),(Dxxfyx称为自变量 ,y称为因变量 ,D称为函数的定义域,
2、y的取值范围即集合Dxxfyy),(|称为函数的值域 . xoy平面上点的集合Dxxfyyx),(|),(称为函数)(xfy的图形 . 定义域D(或记fD)与对应法则f是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同. 2函数的表示方法函数的表示方法一般有三种:解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观 ,解析法便于运算,在实际中经常结合使用. 3函数定义域的求法由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体,这种定义域称为自然定义域 ,自然定义域通常不写出,需要我们去求出,因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件.
3、二函数的几何特性1单调性1 【定义1.2 】设函数)(xf在实数集D上有定义 ,对于D内任意两点21,xx,当1x2x时,假设总有)(1xf)(2xf成立 ,则称Dxf在)(内单调递增 或单增;假设总有)(1xf)(2xf成立 ,则称)(xf在D内严格单增,严格单增也是单增.当)(xf在D内单调递增时,又称Dxf是)(内的单调递增函数. 类似可以定义单调递减或严格单减. 单调递增或单调递减函数统称为单调函数. 2 可以用定义证明函数的单调性,对几个常用的基本初等函数,可以根据熟悉的几何图形,找出其单调区间 .对一般的初等函数,我们将利用导数来求其单调区间. 2有界性【定义1.3 】设函数内有定
4、义在集合 Dxf)(,假设存在实数M 0,使得对任意Dx,都有|)(|xfM,则称)(xf在D内有界 ,或称)(xf为D内的有界函数. 【定义 1.4 】设函数内有定义在集合 Dxf)(,假设对任意的实数M0,总可以找到一Dx,使得|)(|xfM,则称)(xf在D内无界 ,或称)(xf为D内的无界函数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 26 页第 2 页 共 26 页浙江博成教育有界函数的图形完全落在两条平行于x轴的直线之间 . 函数是否有界与定义域有关,如nxy10,+上无界 ,但在 1,e上是有界的 . 有 界 函
5、数 的 界 是 不 惟 一 的 ,即 假 设 对 任 意Dx, 都 有|( ) |f xM,则 也 一 定 有|)(|xf)0,0(aMaM. 3奇偶性【定义1.5 】设函数)(xf在一个关于原点对称的集合内有定义, 假设对任意Dx, 都有)()()()(xfxfxfxf或, 则称)(xf为D内的奇偶函数. 奇函数的图形关于原点对称, 当)(xf为连续的函数时,)(xf=0, 即)(xf的图形过原点. 偶函数的图形关于 y 轴对称 . 关于奇偶函数有如下的运算规律:设)()(21xfxf为奇函数 ,)(),(21ygxg为偶函数 , 则)()(21xfxf为奇函数;)()(21xgxg为偶函数
6、;)()(11xgxf非奇偶函数;)()(11xgxf为奇函数;)()(),()(2121xgxgxfxf均为偶函数 . 常数C是偶函数 , 因此 , 奇函数加非零常数后不再是奇函数了. 利用函数奇偶性可以简化定积分的计算. 对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 【例】判断以下函数的奇偶性: (1)21)(1)(xxnxf; (2).0,1,0,1)(xexexgxx【解】(1) 因为)1(1)(1(1)(22xxnxxnxf22221111)1)(1(1xxnxxxxxxn),()1(12xfxxn所以)1(1)(2xxnxf是奇函数 . (2) 因为)(0, 10,10, 10,1)
7、()(xgxexexexexgxxxx4周期性【定义1.6 】设函数内有定义在集合 Ddxf)(,如果存在非零常数T,使得对任意Dx,恒有)()(xfTxf成立 ,则称)(xf为周期函数 .满足上式的最小正数T,称为)(xf的基本周期 ,简称周期 . 我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求 ),除此以外知之甚少. xxy是以1 为周期的周期函数 .xy与xxy的图形分别如图1-1(a)和图 1-1(b)所示 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 26 页第 3 页 共 26 页浙江博成教育图 1-1 三初等函数1基本初等
8、函数1常数函数Cy,定义域为 (-,+),图形为平行于x轴的直线 .在y轴上的截距为c. 2幂函数xy,其定义域随着的不同而变化.但不管取何值 ,总在 1,+内有定义,且图形过点 1,1.当0 时,函数图形过原点图1-2 a(b) 图 1-2 3指数函数)1, 0(xy,其定义域为-,+ . 当 01 时,函数严格单调递减.当1 时,函数严格单调递增.子数图形过点0,1.微积分中经常用到以e为底的指数函数,即xey图 1-34对数函数) 1,0(logxy,其定义域为1,+ ,它与xy互为反函数 .微积分中常用到以e 为底的对数 ,记作nxy1,称为自然对数.对数函数的图形过点1,0 图 1-
9、4(图 1-3) (图 1-4) 另有两类基本初等函数:三角函数与反三角函数,不在考纲之内. 对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如 ,设fbaxbaxf),(,),()(对任意区间内二阶可导在)(x0. 则(1)f)(x在),(ba内严格单调减少; 2)(xf在), 1( b上为凸弧 ,均不充分 . 此题可以用举例的方法来说明1 、 2均不充分.由初等函数的图形可知,4xy为凸弧 .y=34x在 ,上严格单调递减,但y=-122x0,因此 1,2均不充分 ,故选E.此题假设把题干改成f)(x0,则 1 ,2均充分 ,差异就在等于零与不等于零.
10、可见用初等函数图形来判断非常便捷 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 26 页第 4 页 共 26 页浙江博成教育2反函数【定义1.7 】设函数)(xfy的定义域为D,值域为R,如果对于每一个Ry,都有惟一确定的Dx与之对应 ,且满足)(xfyx是一个定义在R以y为自变量的函数,记作.),(1Ryyfx并称其为)(xfy反函数 . 习惯上用x作自变量 ,y作因变量 ,因此)(xfy反函数常记为Rxxfy),(1. 函数)(xfy与反函数)(1xfy的图形关于直线xy对称 . 严 格 单 调 函 数 必 有 反 函 数 ,
11、且 函 数 与 其 反 函 数 有 相 同 的 单 调 性 .xyayaxlog与互 为 反函.xxy,20,+的反函数为xy,而xxy,2 ,0的反函数为xy图 1-2b . 3复合函数【定义1.8 】已知函数ffRyDuufy,),(.又Dxxu),(,uR,假设ffRD非空,则称函数fDxxxxfy)(|),(为函数)()(xuufy与的复合函数 .其中y称为因变量 ,x称为自变量 ,u称为中间变量. 4初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式. 四隐函数假设函数的因变量y明显地表示成)(xfy的形式 ,则
12、称其为显然函数.1),13(1,222xyxnyxy等. 设自变量x与因变量y之间的对应法则用一个方程式0),(yxF表示 ,如果存在函数)(xfy不管这个函数是否能表示成显函数,将其代入所设方程,使方程变为恒等式:fDxxfxF,0)(,(其中fD为非空实数集 .则称函数)(xfy由方程0),(yxF所确定的一个隐函数. 如方程1yx可以确定一个定义在0,1 上的隐函数 .此隐函数也可以表示成显函数的形式,即 1 , 0,)1()(2xxxfy但并不是所有隐函数都可以用x的显函数形式来表示,如0yxexy因为y我法用初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意 ,并不是任何一个方程都能确定隐
13、函数,如0122yx. 五分段函数有些函数 ,对于其定义域内的自变量x的不同值 ,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如. 0,1, 0, 1)(.0, 1,0, 1)(2xnxxexgxxxxxfx都是定义在,上的分段函数. 分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义. 二、极限不在考试大纲内,只需了解即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 26 页第 5 页 共 26 页浙江博成教育极限是微积分的基础. 一数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如nnaaaa21,称为
14、通项 . 1极限定义【定义1.9 】 设数列na,当项数n无限增大时 ,假设通项na无限接近某个常数A,则称数列na收敛于 A,或称 A 为数列na的极限 ,记作Aannlim否则称数列na发散或nnalim不存在 . 2数列极限性质1四则极限性质设byaxnnnnlim,lim,则).0(limlimlim.limlimlim.limlim)(lim.limlimbbayxyxabyxyxbayxyxcaxccxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn2axaxknnnnlimlimk为任意正整数. .limlimlim122axxaxnnnnnn3假设axnnlim,则数列nx是
15、有界数列 . 4夹逼定理设存在正整数0N,使得0Nn时,数列nnnzyx,满足不等式nnnyxz. 假设azynnnnlimlim,则axnnlim. 利用此定理可以证明重要极限ennn11lime2.718,是一个无理数. 5单调有界数列必有极限设数列nx有界 ,且存在正整数0N,使得对任意0Nn都有nnxx1或nnxx1,则数列nx的极限一定存在. 利用此定理可以证明重要极限ennn11lime2.718,是一个无理数. 二函数的极限1x时的极限【定义 1.10 】设函数)(xf在)0(|aax上有定义 ,当x时,函数)(xf无限接近常数A,则称)(xf当x时以 A 为极限 ,记作.)(l
16、imAxfn当x或x时的极限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 26 页第 6 页 共 26 页浙江博成教育当x沿数轴正 负方向趋于无穷大,简记xx时,)(xf无限接近常数A,则称)(xf当xx时以 A 为极限 ,记作.)(lim)(lim)(lim).)(lim()(limAxfAxfAxfAxfAxfnnnnn30 xx时的极限【定义 1.11 】设函数)(xf在0 x附近可以不包括0 x点有定义 ,当x无限接近)(00 xxx时,函数)(xf无限接近常数A,则称当0 xx时,)(xf以 A 为极限 ,记作.)(lim0
17、Axfxx4左、右极限假设当x从0 x的左侧0 xx趋于0 x时,)(xf无限接近一个常数A,则称 A 为0 xx时)(xf的左极限 ,记作.)(lim0Axfxx或Axf)0(0假设当x从0 x的左侧0 xx趋于0 x时,)(xf无限接近一个常数A,则称 A 为0 xx时)(xf的右极限 ,记作.)(lim0Axfxx或Axf)0(0.)(lim)(lim)(lim000AxfAxfAxfxxxxxx三函数极限的性质1惟一性假设 ,BxfAxfxxxx)(lim,)(lim00则 A=B . 2局部有界性假设Axfxx)(lim0.则在0 x的某邻域内点0 x可以除外 ,)(xf是有界的 .
18、 3局部保号性假设Axfxx)(lim0.且 A0或 A0,则存在0 x的某邻域点0 x可以除外 ,在该邻域内有)(xf0或)(xf0。假设Axfxx)(lim0。且在0 x的某邻域点0 x可以除外有)(xf0或)(xf0,则必有A0或 A0 。4不等式性质假设Axfxx)(lim0,Bxgxx)(lim0, 且 AB , 则存在0 x的某邻域点0 x可以除外, 使)(xf)(xg. 假设Axfxx)(lim0,Bxgxx)(lim0.且在0 x的某邻域 点0 x可以除外 有)(xf)(xg或 )(xf)(xg ,则 AB。5四则运算同数列四无穷小量与无穷大量1无穷小量的定义精选学习资料 -
19、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 26 页第 7 页 共 26 页浙江博成教育【定义 1.12】 假设0)(lim0 xfxx,则称)(xf是0 xx时的无穷小量。假设,)(lim0 xgxx则称)(xf是0 xx时的无穷大量 。2无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量;无穷大量的倒数是无穷小量。3无穷小量的运算性质i有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。ii无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。iii 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4无穷小量阶的比较设0)(lim, 0)(lim00 xxaxxxx,.)()(,)()(,0),()
20、(,)()(,1,)()(,0)()(lim0高阶的无穷大是比称高阶的无穷小是比称记作为等价无穷小与称时特别为同阶无穷小与称xxxxxxxxkxxkxxaxx5等价无穷小常用的等价无穷小:0 x是,)0(1)1(,11,)1 (1,1axxnxxxnxexx等价无穷小具有传递性,即)()(xx,又)()(xx。等价无穷小在乘除时可以替换,即)()(),()(*xxxx,则)()(lim)()(lim*)()(00 xxxxxxxxxx或或第二讲函数的连续性、导数的概念与计算重点:闭区间上连续函数的性质、导数的定义、几何意义、基本初等函数的求导公式、复合函数求导公式、导数的四则运算。三、函数的连
21、续性一函数连续的概念1两个定义【定义 1.13 】设函数)(xfy的定义域为DxD0,。假设)()(lim00 xfxfxx,则称0)(xxf在点连续;假设Dxf在)(中每一点都连续,则称0)(xxf在点右连续。【定义 1.14 】假设)()(lim00 xfxfxx,则称0)(xxf在点右连续。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 26 页第 8 页 共 26 页浙江博成教育假设)()(lim00 xfxfxx,则称0)(xxf在点左连续。0)(xxf在点连续0)(xxf在点既左连续又右连续。2连续函数的运算连续函数经过有限
22、次四则运算或复合而得到的函数仍然连续,因而初等函数在其定义区间内处处连续。二间断点1假设)(lim)(lim00 xfxfxxxx与都存在,且不全等于)(0 xf,则称0 x为)(xf的第一类间断点。其中假设)(lim0 xfxx存在,但不等于)(0 xf或)(xf在0 x无定义,则0 x为)(xf的可去间断点。假设)(lim)(lim00 xfxfxxxx与都存在,但不相等,则称0 x为)(xf的跳跃间断点。2假设)(lim)(lim00 xfxfxxxx与中至少有一个不存在,则称0 x为)(xf的第二类间断点。三闭区间上连续函数的性质假设)(xf在区间,ba内任一点都连续,又)()(lim
23、),()(limbfxffxfbxx,则称函数)(xf在闭区间,ba上连续。1最值定理设)(xf在,ba上连续,则)(xf在,ba上必有最大值M 和最小值m,即存在,21baxx,使,)(,)(,)(11baxMxfmmxfMxf且。2价值定理设)(xf在,ba上连续,且m,M 分别是)(xf在,ba上最小值与最大值,则对任意的,Mmk,总存在一点kcfbac)(,使。【推论1】设)(xf在,ba上连续, m,M 分别为最小值和最大值,且mM0,则至少存在一点0)(,cfbac使。【推论 1】 设)(xf在,ba连续,且0)()(bfaf,则一定存在,bac使0)(cf。推论 1,推论 2 又
24、称为零值定理。第二章导数及其应用一、导数的概念1导数定义【定义 2.1 】设 y=f(x) 在 x0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量x,函数值有一相应改变量)()(00 xfxxfy,假设极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在 ,则称此极限值为函数y=f(x) 在 x0点的导数 ,此时称 y=f(x) 在 x0点可导 ,用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 26 页第 9 页 共 26 页浙江博成教育0000)(,)(xxdxxdfxxdyxdyxxyxf或或或表示 . 假设)(xfy在集合
25、D 内处处可导这时称f(x)在 D 内可导,则对任意Dx0,相应的导数)(0 xf将随0 x的变化而变化,因此它是x 的函数 ,称其为 y=f(x) 的导函数 ,记作dxxdfdxdyyxf)(,)(或或或. 2导数的几何意义假设函数f(x)在点x0处可导 ,则)(0 xf就是曲线y=f(x) 在点 x0,y0处切线的斜率,此时切线方程为)(000 xxxfyy. 当)(0 xf=0,曲线 y=f(x) 在点 x0,y0处的切线平行于x 轴,切线方程为)(00 xfyy. 假设 f(x)在点 x0处连续 ,又当0 xx时)(xf,此时曲线y=f(x) 在点 x0,y0处的切线垂直于x轴,切线方
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2022年微积分基本概念 2022 微积分 基本概念
限制150内