2022年微分方程2 .pdf

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1、常微分方程数值解法1 引言2 欧拉法和改良的欧拉法3 龙格 -库塔法4 阿当姆斯方法1 引言在高等数学里我们已经接触过常微分方程，对于一些典型的常微分方程，有求解析解的基本方法，但多数情况下，遇到的问题比较复杂，此时，只能利用近似方法求解，一般有两种近似方法。实际求解的常微分方程，大多是定解问题满足指定条件的特解本章讨论常微分方程，数值解的最简单问题一阶方程初值问题，即函数 f(x) 满足以下微分方程和初值条件：在几何问题是 (6-1) 表现为一簇曲线，称(6-1)的积分曲线，初值问题(6-1) (6-2) 就是要求一条过(x0 ,y0) 的积分曲线方程的精确解y(x) 称为积分曲线。方程是否

2、有解，解是否唯一？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页定理 1 对初值问题 (6-1)(6-2) ，假设 f(x,y) 在区域 G= a xb , |y| 内连续， 且关于 y 满足李普希兹条件，即存在常数L，使|f(x , y1)-f(x , y2)| L|y1-y2| 6-3对 G 中任意两个y1,y2 均成立，其中L 是与 x,y 无关的常数，则初值问题(6-1)(6-2) 在(a,b)内存在唯一解，且解是连续可微的。设 f(x，y)在带形区域R： axb，- y +上为x，y 的连续函数，且对任意的y满足李普

3、希茨 (Libusize) 条件f(x ，y1)-f(x ，y2) L y1-y2其中 ( x ，y1)、( x ，y2)R，L 为正常数。在求初值问题 (6-1)(6-2) 的数值解时， 我们通常采用离散化方法，求在自变量x 的离散点a=x0 x1x2 xn=b 上的准确解y(x) 的近似值y0，y1， y2，yn 常取离散点x0， x1，x2，xn 为等距，即x i+1-xi =h ，i=0， 1，2，n-1 h 称为步长。 图表示为初值问题(61) (6 2)在 n+1 个离散点上的准确解y(x)的近似值。数值解法的重点不在于求准确解即解析解，而是直接求一系列点上的近似解。初值问题(6.

4、2)的数值解法的基本特点是：求解过程顺着节点排列的顺序一步步向前推进，也即按递推公式由y0，y1.yi 推 yi+1 ，下面各种方法的实质是建立递推公式。2 欧拉法和改良的欧拉法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页2几何意义欧拉公式有很明显的几何意义。我们知道初值问题(6.1) 中的微分方程的解是xoy 平面上的一簇积分曲线，这簇积分曲线上任意点(x，y)的斜率为f(x，y)，而初值问题 (6.1) (6.2) 的解是过点 (x0，y0)的一条特定的积分曲线。y(x) 过点 P0(x0,y0)， 从 P0 出发以 f

5、(x0,y0) 为斜率做一直线与直线x=x1 交于点 p1(x1,y1),显然有:y1=y0+hf(x0,y0), 再从 p1 出发 ,以 f(x1,y1) 为斜率做一直线推进到x=x2 上一点 p2(x2,y2), 依此类推 ,这样得到解曲线的一条近似曲线,它就是折线p0p1p2 所以欧拉方法又叫欧拉折线法欧拉法是用yi 通过yi+1=y i + hf(x i ,y i) i=0,1,求 yi+1,这样利用y0y1y2计算 yi+1 用前一步的y i单步法计算 yi+1 用前几步的yi-n 多步法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3

6、 页，共 16 页二、欧拉方法的误差分析定义 1(p146) 对于初值问题，当假设yi 是准确的时，用某种方法求yi+1 时所产生的截断误差称为该方法的局部截断误差。我们来看在第i+1 步使用欧拉方法所得yi+1 的局部截断误差y(xi+1)-yi+1 假定 yi 是准确的 ,即 yi=y(xi) 由 y(xi+1)=y(xi+h) ，应用泰勒展开y(xi+1)=y(xi+h) =y(xi)+hy(xi)+y ()/2*h2 而由欧拉公式算出yi+1=yi+hf(xi,yi)= y(xi)+hf(xi,y(xi)=y(xi)+hy(xi) y(xi+1)=y(xi+h)= y(xi) + hy

7、(xi) + y ()/2*h2 yi+1=yi+hf(xi,yi)=y(xi) + hf(xi,y(xi) = y(xi) + hy(xi) 两式相减得y(xi+1)-yi+1=(h2/2)* y()=O(h2) 即欧拉方法所得yi+1 的局部截断误差为O(h2) 称为局部截断误差的主项注意 :只计算了一步，事实上每一步都有可能产生误差，有时误差会原来越大，有时又会得到很好的控制，因此还要考虑整体截断误差。)( 22yh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页定义 2 设 yi 是用某种方法计算初值问题(6-1)(6-

8、2) 在 xi 点的近似解，而y(xi) 是它的精确解，则称为该方法的整体截断误差，也称为该方法的精度。补：假设某方法的局部截断误差为O(hp+1) ，则该方法的精度为p 阶的。欧拉方法的精度为O(h)，一阶的。三、改良的欧拉法欧拉法虽然形式简单，计算方便，但比较粗糙，精度也低。特别当y=y(x) 的曲线曲率较大时，欧拉法的效果更差。为了构造较高精度的数值解法，对初值问题再做分析iiiyxy)(00)(),(yxyyxfy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页一般来说，这是一个非线性方程除非f 对 y 是线性的，可用我

9、们前面讲过的非线性方程的各种方法求解，比方用迭代法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页四、预报 -校正方法我们看到梯形法虽然提高了精度，但其算法复杂，每算一点，都需进行反复迭代，为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步计算，以简化算法。具体地说，我们先用欧拉公式求一个初步的近似值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页预报 -校

10、正公式的截断误差为O(h3) 证明， p150) 预报 -校正公式的整体截断误差为O(h2) 预报 -校正公式是单步显式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页3 龙格库塔法假设用这种方法研究欧拉公式，可以发现欧拉公式仅取一个点(xi,yi) 的斜率 f(xi,yi) 代替 k* ，梯形公式却是利用xi 与 xi+1 两个点的斜率值它也启发我们假设设法在xi,xi+1 上多找几个点的斜率值，然后将它们加权平均作为K* 的近似值，则有可能构造出精度更高的计算公式，这就是Runge-Kutta方法的基本思想。即jjijirj

11、jhyhxfK),(1*精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页二、 Runge-Kutta公式我们以两点xi，xi+p=xi+ h 为例，说明 (6-14)式中系数的求法其中 1， 2，为待定参数),(),(12122111kyhxhfkyxhfkkkyyiiiiii精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页精选学习资料 - -

12、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页对积分式分别采用矩形和梯形面积公式可得到欧拉公式和改良欧拉公式(梯形法 )，截断误差分别为O(h2) 和 O(h3) 。假设追溯到数值积分原理，梯形法则实际上是用节点x i 和 x i+1 的线性插值函数代替 f(x ，y) 而得到的。为此，我们自然可以想到，假设用更高次的插值多项式来代替f(x ，y)，则所得公式的精度会更高。- 这就是线性多步法的起源思想。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页