2022年圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲 .pdf

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1、椭圆一、椭圆的定义1 、 椭 圆 的 第 一 定 义 ： 平 面 内 一 个 动 点P到 两 个 定 点1F、2F的 距 离 之 和 等 于 常 数)2(2121FFaPFPF，这个动点P的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形。二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为 c）（1）当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac；（2）当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba，其中222ba

2、c；2、两种标准方程可用一般形式表示：221xymn或者mx2+ny2=1 三、椭圆的性质（以12222byax)0(ba为例 ）1、对称性 ：对于椭圆标准方程12222byax)0(ba：是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。2、范围 ：椭圆上所有的点都位于直线ax和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页by。3、顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆12222byax)0(ba与坐标轴的四个交

3、点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1aA，)0,(2aA，),0(1bB，),0(2bB。线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221，bBB221。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4、离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作acace22。 因为)0(ca，所以e的取值范围是)10(e。e越接近 1，则c就越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ba时，0c，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为ayx22。 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处

4、的位置无关。注意：椭圆12222byax的图像中线段的几何特征（如下图）：ePMPFPMPF2211)2(21aPFPF)2(221caPMPM5、椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e， （0 e1）的点的轨迹为椭圆（edPF |） 。即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有ePMPFPMPF2211。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页焦点在x 轴上：12222byax（ab0）准线方程：cax2焦点在y 轴上：12222bxay（ ab0）

5、准线方程：cay26、椭圆的内外部需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝 .上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲 (详细解答 )” 或者搜 .店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab（2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab四、椭圆的两个标准方程的区别和联系标准方程12222byax)0(ba12222bxay)0(ba图形性质焦点)0,(1cF，)0 ,(2cF), 0(1cF，), 0(2cF焦距cFF221cFF221范围ax，bybx，

6、ay对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点)0,( a，), 0(b), 0(a，)0,( b轴长长轴长 =a2，短轴长 =b2离心率) 10(eace准线方程cax2cay2焦半径01exaPF，02exaPF01eyaPF，02eyaPF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页五、其他结论需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝 .上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲 (详细解答 )” 或者搜 .店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”1、若000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的

7、切线方程是00221x xy yab2、若000(,)P xy在椭圆22221xyab外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab3、椭圆22221xyab(a b0)的左右焦点分别为F1，F2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb4 、 椭 圆22221xyab（ a b 0 ） 的 焦 半 径 公 式 ：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc, 2( ,0)F c00(,)M xy) 5、设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结

8、AP 和 AQ 分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N 两点，则MF NF。6、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF。7、AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。8、若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab9、若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是220022

9、22x xy yxyabab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页双曲线一、双曲线的定义1、 第 一 定 义 ： 到 两 个 定 点F1与F2的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ |F1F2|） 的 点 的 轨 迹（21212FFaPFPF（a为常数） 。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a|F1F2|。当|MF1|MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线

10、上以F1、F2为端点向外的两条射线；当 2a |F1F2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义： 动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（222acb，其中 |1F2F|=2c）需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝 .上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲 (详细解答 )” 或者搜 .店.铺.“龙奇迹【学习资料网】”三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线2、直线与双曲线四、双曲线与渐近线的关系五、双曲线与切线方程精选学

11、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页六、双曲线的性质七、弦长公式1、若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,x x分别为 A、B 的横坐标，则221212()()ABxxyy，22221212121141|ABkxxkxxx xka，若12,y y分别为 A、B 的纵坐标，则21212122211114AByyyyy ykk。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B 两点，则弦长abAB22|。3、若弦 AB 所在直线方程设为xkyb，则AB2121kyy。4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦

12、点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解八、焦半径公式九、等轴双曲线十、共轭双曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页抛物线一、抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l (l 不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。二、抛物线的性质三、相关定义1、通径： 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2称为通径；通径：|H1H2|=2P 2、弦长公式：2121221|1|1|ABkxxyyk3、焦点弦： 过抛物线22ypx(0)p焦点F的弦AB，若1122(,

13、),(,)A x yB xy，则(1) |AFx0+2p， (2)12x x42p，12y yp2(3) 弦长)(21xxpAB,pxxxx21212，即当 x1=x2时,通径最短为2p (4) 若 AB 的倾斜角为 ，则AB=2sin2 p（5）AF1+BF1=P2四、点、直线与抛物线的位置关系需要详细的抛物线的资料，请在淘 .宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲 (详细解答 ) ”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页圆锥曲线与方程一、圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定

14、点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当 0e1 时，轨迹为椭圆；当e=1 时，轨迹为抛物线；当e 1时，轨迹为双曲线。特别注意：当0e时，轨迹为圆（ace，当bac,0时） 。二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质三、曲线与方程四、坐标变换1、坐标变换：2、坐标轴的平移：3、中心或顶点在(h,k) 的圆锥曲线方程【例】以抛物线xy382的焦点F为右焦点 ,且两条渐近线是03yx的双曲线方程为_. 解：抛物线xy382的焦点F为)0, 32(，设双

15、曲线方程为223yx，9)32(342，双曲线方程为13922yx【例】 双曲线2224byx=1(bN)的两个焦点F1、F2，P 为双曲线上一点，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则 b2=_。解：设 F1(c,0）、 F2(c,0)、P(x,y)，则 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2)，即 |PF1|2+|PF2|250+2c2，又 |PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1| |PF2|，依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4，依已知条件有|PF1| |PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250

16、+2c2， c2317, 又 c2=4+b2317， b235， b2=1。【例】当m取何值时，直线l：yxm与椭圆22916144xy相切，相交，相离？解：22916144yxmxy 代入得22916()144xxm化简得222532161440 xmxm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页222(32 )425(16144)57614400mmm当0,即5m时，直线l与椭圆相切；当0，即55m时，直线与椭圆相交；当0，即5m或5m时，直线与椭圆相离。【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F

17、，M 是椭圆上的任意点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x 为轴的对称点M1和 M2，且 |M1M2|=3104，试求椭圆的方程。解： |MF |max=a+c，|MF |min=a c，则 (a+c)(ac)=a2 c2=b2，b2=4，设椭圆方程为14222yax设过 M1和 M2的直线方程为y=x+m 将代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0 设 M1(x1，y1)、 M2(x2，y2)，M1M2的中点为 (x0， y0)，则 x0=21(x1+x2)=224ama，y0=x0+m=244am。代入 y=x，得222444amama，由于 a

18、24， m=0，由知x1+x2=0，x1x2=2244aa，又 |M1M2|=31044)(221221xxxx，代入 x1+x2，x1x2可解 a2=5，故所求椭圆方程为：4522yx=1。【例】 某抛物线形拱桥跨度是20 米，拱高4米，在建桥时每隔4 米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长。解：以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B 坐标分别为 (10， 4）、 (10， 4）设抛物线方程为x2=2py，将 A 点坐标代入，得100=2p (4)，解得 p=12。5，于是抛物线方程为x2=25y。由题意知E 点坐标为 (2， 4)，E

19、点横坐标也为2，将 2 代入得y=0。16，从而 |EE|=(0.16)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页4)=3.84。故最长支柱长应为3.84 米。【例】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与椭圆交于P 和 Q，且 OPOQ，|PQ|=210，求椭圆方程。解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0，n0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2) 由1122nymxxy得(m+n)x2+2nx+n1=0， =4n24(m+n)(n1) 0，即 m+nmn0，由 OPOQ，所以 x1x2+y1y

20、2=0，即 2x1x2+( x1+x2)+1=0，nmnnmn2)1(2+1=0， m+n=2 又 2)210()(4nmmnnm2，将 m+n=2，代入得 m n=43由、式得m=21，n=23或 m=23，n=21故椭圆方程为22x+23y2=1 或23x2+21y2=1。【例】已知圆C1的方程为3201222yx，椭圆C2的方程为12222byaxab0，C2的离心率为22，如果 C1与 C2相交于 A、B 两点，且线段AB 恰为圆 C1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C2的方程。yxC1F2F1OAB解：由.,2,22,222222cbcaace得设椭圆方程为.122222bybx设)

21、.1 ,2().,().,(2211由圆心为yxByxA.2,42121yyxx又, 12, 12222222221221bybxbybx两式相减，得.022222122221byybxx,0)(2)(21212121yyyyxxxx又. 1.2.421212121xxyyyyxx得).2(1xyAB的方程为直线即3xy将得代入, 1232222bybxxy. 021812322bxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页. 07224.22bCAB相交与椭圆直线由.3204)(222122121xxxxxxBA得.

22、3203722422b解得.82b故所有椭圆方程.181622yx【例】过点 (1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆 C 相交于 A、B两点，直线y=21x 过线段 AB 的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆 C 的方程。BAy=12xoyxF2F1解法一：由e=22ac，得21222aba，从而 a2=2b2，c=b。设椭圆方程为x2+2y2=2b2， A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上。则 x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，(x12x22)+2(y12 y22)=0，.)(2212121

23、21yyxxxxyy设 AB 中点为 (x0， y0)，则 kAB=002yx，又 (x0，y0)在直线 y=21x 上， y0=21x0，于是002yx= 1，kAB= 1，设 l 的方程为y=x+1。右焦点 (b，0)关于 l 的对称点设为(x，y)，byxbxybxy111221解得则由点 (1，1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2，b2=89,1692a。所求椭圆C 的方程为2291698yx=1，l 的方程为 y=x+1。解法二：由e=21,22222abaac得，从而 a2=2b2，c=b。设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2， l的方程为 y=k(x1)，将 l 的方

24、程代入C 的方程，得 (1+2k2)x24k2x+2k22b2=0，则 x1+x2=22214kk，y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=2212kk。直线 l：y=21x 过 AB 的中点 (2,22121yyxx)，则2222122121kkkk，解得 k=0，或 k=1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页若 k=0，则 l 的方程为y=0，焦点F(c，0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k=0舍去，从而k=1，直线 l 的方程为y=(x1)，即 y=x+1，

25、以下同解法一。解法三：设椭圆方程为) 1( )0(12222babyax直 线l不 平 行 于y 轴 ， 否 则AB 中 点 在x 轴 上 与 直 线ABxy过21中 点 矛 盾 。 故 可 设 直 线)2() 1(xkyl的方程为整理得：消代入y) 1()2()3(02)(2222222222bakaxakxbak)()(2211yxByxA，设，22222212bakakxx知：代 入 上 式 得 ：又kxxkyy2)(212121221xxkk，212222222akbakkk，2122kabkk，22e又122)(22222222eacaabk，xyl1的方程为直线，222ba此时，0

26、2243)3(22bxx化为方程，0)13(8)1(241622bb33b，)4(22222byxC的方程可写成：椭圆，2222bbac又，)0( ，右焦点bF，)(00yxlF，的对称点关于直线设点，则byxbxybxy112121000000，得：在椭圆上，代入，又点)4()11(b22)1(21bb，3343b，1692b，892a所以所求的椭圆方程为：11698922yx【例】如图，已知P1OP2的面积为427，P为线段 P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、 OP2为渐近线且过点 P 的离心率为213的双曲线方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

27、- - - - - -第 12 页，共 23 页oyxPP2P1解：以 O 为原点， P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系。设双曲线方程为2222byax=1(a0，b0)，由 e2=2222)213()(1abac，得23ab。两渐近线OP1、OP2方程分别为y=23x 和 y=23x设点 P1(x1，23x1)，P2(x2，23x2)(x10，x20)，则由点 P分21PP所成的比 =21PPPP=2，得 P 点坐标为 (22,322121xxxx)，又点 P 在双曲线222294ayax=1 上，所以222122219)2(9)2(axxaxx=1，即(x1+2x2)2(x

28、12x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2,427131241321sin|211312491232tan1tan2sin21349| ,21349|212121121212222212121121xxOPPOPOPSOxPOxPOPPxxxOPxxxOPOPP又即 x1x2= 29由、得a2=4，b2=9。故双曲线方程为9422yx=1。【例】过椭圆C：)0(12222babxay上一动点P 引圆 O：x2 +y2 =b2的两条切线PA、PB，A、B 为切点，直线 AB 与 x 轴， y 轴分别交于M、N 两点。 (1) 已知 P 点坐标为 (x0，y0 )并且 x0y00 ，试求直线A

29、B 方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且1625|2222ONbOMa，求椭圆 C 的方程； (3) 椭圆 C 上是否存在点P，由 P向圆 O 所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页解： (1)设 A(x1，y1)，B(x2， y2) 切线 PA：211byyxx，PB：222byyxxP 点在切线PA、PB 上，2020220101byyxxbyyxx直线 AB 的方程为)0(00200yxbyyxx(2)在直线 AB 方程中，令y=0，则 M

30、(02xb，0)；令 x=0，则 N(0，02yb) 1625)(|22220220222222babxaybaONbOMa2b=8 b=4 代入得 a2 =25， b2 =16 椭圆 C 方程：)0( 1162522xyxy(3) 假设存在点P(x0，y0)满足 PAPB，连接 OA、OB 由|PA|=|PB|知，四边形 PAOB 为正方形， |OP|=2|OA| 220202byx又 P 点在椭圆C 上22202202baybxa由知x2222202222220,)2(babaybababab0 a2b20 (1)当 a2 2b20，即 a2b 时，椭圆C 上存在点，由P 点向圆所引两切线

31、互相垂直；(2)当 a2 2b20，即 ba0）过 M（2，2） ，N(6,1)两点， O 为坐标原点，（I）求椭圆E 的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。考点：本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系。解

32、： （1）因为椭圆E: 22221xyab（a,b0）过 M（2，2） ，N(6,1)两点 , 所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab椭圆 E 的方程为22184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OAOB, 设该圆的切线方程为ykxm。解方程组22184xyykxm得222()8xkxm,即222(12)4280kxkmxm, 则 =222222164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即22840km12221224122812kmxxkmx xk,22222222212121212222(28

33、)48()()()121212kmk mmky ykxm kxmk x xkm xxmmkkk要 使O AO B, 需 使12120 x xy y, 即2222228801212mmkkk, 所 以223880mk, 所 以223808mk又22840km,所以22238mm,所以283m,即2 63m或2 63m, 因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为21mrk,222228381318mmrmk,2 63r, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页所求的圆为2283xy,此时圆的切线ykx

34、m都满足2 63m或2 63m, 而 当 切 线 的 斜 率 不 存 在 时 切 线 为2 63x与 椭 圆22184xy的 两 个 交 点 为2626(,)33或2626(,)33满足OAOB, 综上 , 存在圆心在原点的圆2283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OAOB。因为12221224122812kmxxkmx xk,所以2222221212122224288()()4(1212kmmkxxxxxxkkk, 2222222121212228(84)|()(1)()(1)(1 2)kmABxxyykxxkk422424232 45132134413441kkkkkkk, 当0k时22321|11344ABkk。 因为221448kk所以221101844kk, 所以223232111213344kk, 所以46| 2 33AB当且仅当22k时取 ”=”。当0k时,4 6|3AB。当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为2626(,)33或2 62 6(,)33,所以此时46|3AB, 综上 , |AB |的取值范围为46| 2 33AB即: 4| 6, 2 33AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页