2022年导数及其应用知识点经典习题集 .pdf

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1、名师总结优秀知识点导数及其应用1、函数的平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212注 1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2 、 导 函 数 的 概 念 : 函 数在0 xx处 的 瞬 时 变 化 率 是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处 的 导 数 ， 记 作或， 即=. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4 导数的背景（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度；（ 3）边际成本。5、常见的函数导数和积分公式函数导函数不定积分ycy0 nyx*nN1ny

2、nx11nnxx dxnxya0,1aalnxyaalnxxaa dxaxyexyexxe dxelogayx0,1,0aax1lnyxalnyx1yx1lndxxxsinyxcosyxcossinxdxxcosyxsinyxsincosxdxx)(xfyxxfxxfxyxx)()(limlim0000)(xfy0 x)(xfy0 x)(0 xf0|xxy)(0 xfxxfxxfxyxx)()(limlim0000精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页名师总结优秀知识点6、常见的导数和定积分运算公式:若 fx ， g x

3、 均可导（可积），则有：和差的导数运算( )( )( )( )f xg xfxg x积的导数运算( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x gx特别地：CfxCfx商的导数运算2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )fxfx g xf x gxg xg xg x特别地：21( )gxg xgx复合函数的导数xuxyyu微积分基本定理bafx dx（ 其 中Fxfx ）和差的积分运算特别地：积分的区间可加性7.用导数求函数单调区间的步骤:求函数f(x)的导数( )fx令( )fx0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间 .令( )fx0,解不等式，得

4、 x 的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。8.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数 f(x)的导数( )fx(3)求方程( )fx=0 的根(4) 用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/( )fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值9.利用导数求函数的最值的步骤:求)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：求)(xf在ba,上的极值；将)(xf的各极值

5、与( ),( )f af b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；1212( )( )( )( )bbbaaafxfx dxf x dxfx dx( )( )()bbaakf x dxkf x dx k为常数( )( )( )()bcbaacf x dxf x dxf x dxacb其中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页名师总结优秀知识点10求曲边梯形的思想和步骤 :分割近似代替求和取极限（“ 以直代曲” 的思想）11.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出

6、定积分的如下性质：性质 1 abdxba1性质 5 若baxxf,0)(，则0)(badxxf推广：1212( )( )( )( )( )( )bbbbmmaaaafxfxfx dxfx dxfx dxfx推广 :121( )( )( )( )kbccbaaccf x dxf x dxf x dxf x dx12定积分的取值情况 :定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0. ( l ）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x 轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；（3）当位于x 轴上方的曲边梯形

7、面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积13物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。课后练习题：1. 已知函数 f(x)=ax2c,且(1)f=2,则 a 的值为（）A.1 B.2C.1 D. 0 2. 已知函数( )f x在1x处的导数为 3，则( )f x的解析式可能为（）A(x-1)3+3(x-1) B2(x-1)2C2(x-1) Dx-1 3. 已 知 函 数( )f x在1x处 的 导 数 为1 ， 则0(1)(1)3limxfxfxx= ( ) A3 B23C13D32精

8、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页名师总结优秀知识点4. 函数 y=(2x1)3在 x=0 处的导数是（）A.0 B.1 C.3 D.6 5函数)0 ,4(2cos在点xy处的切线方程是（）A024yxB024yxC024yxD024yx6.曲线3cos (0)2yxx与坐标轴围成的面积是（）A.4 B. 52C.3 D.2 7一质点做直线运动 ,由始点起经过 ts 后的距离为 s=41t4-4t3+16t2,则速度为零的时刻是（）A.4s末B.8s末C.0s与 8s末D.0s,4s,8s末8. 8 函数313yxx有

9、（）A.极小值 -1，极大值 1 B. 极小值 -2，极大值 3 C. 极小值 -1，极大值 3 D. 极小值 -2，极大值 2 9. 已知自由下落物体的速度为V=gt，则物体从 t=0 到 t0所走过的路程为（）A2012gtB20gtC2013gtD2014gt10如果 10N 的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（）A0.28J B0.12J C0.26J D0.18J 二、填空题 (共 5 小题，每小题 5 分,共 25 分)11函数32yxxx的单调区间为 _ 。12设函数32( )2fxxaxx, (1)f=9,则a_. 13. 物体的运动方程是

10、s=31t32t25,则物体在 t=3 时的瞬时速度为 _. 14.有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2. 15220(3)10,xk dxk则, 831xdx_. 三、解答题16计算下列定积分。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页名师总结优秀知识点（1）34|2|xdx（2）1211edxx17. 求221( )ln1xf xx的单调递增区间。18. 某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100 人的团体，每人收费 1000 元。如果团体的人数超过100 人，那么每超过1

11、 人，每人平均收费降低 5 元，但团体人数不能超过180 人，如何组团可使旅行社的收费最多? (不到100 人不组团 ) 19 物体 A以速度231vt在一直线上运动， 在此直线上与物体A出发的同时，物体 B在物体 A的正前方 5m处以10vt的速度与 A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体 A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为： m/s）参考答案：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页名师总结优秀知识点一选择题： 1-5：AABDD 6-10： CDCAD 二11.递增区间为：（-，13） ， （1，+

12、）递减区间为（13，1）（注：递增区间不能写成： （-，13）（ 1，+） ）12. 6 13. 3 14. 16 15. 1 ，454三16.解：(1) 34|2|xdx=234222xdxxdx（）（）=2241(2 ) |2xx+2321(2 ) |2xx=292(2) 原式=12ln(1)|ex=lnln1e=1 17. 解：由函数的定义域可知，210 x即11x又222211( )lnln(1)ln(1)12xf xxxx所以2222122( )()2 1111xxxxfxxxxx令( )0fx，得1x或01x综上所述，( )f x的单调递增区间为（ 0，1）18解：设参加旅游的人数

13、为x，旅游团收费为 y 则依题意有( )f x=1000 x-5（x-100）x （100 x180）令( )1500100fxx得 x=150 又(100)100000f，(150)112500f，(180)108000f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页名师总结优秀知识点所以当参加人数为150 人时，旅游团的收费最高，可达112500 元。19.设 A 追上 B 时,所用的时间为0t依题意有B5ASS即00200(31)105tttdxtdx3200055ttt22000(1)5(1)ttt0t=5 (s) 所以AS=2055t=130 (m) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页