2022年圆锥曲线之抛物线题库含详解高考必备 .pdf

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1、5、 (安徽省皖南八校2008 届高三第一次联考)已知线段AB过y轴上一点),0(mP， 斜率为k，两端点 A，B到y轴距离之差为k4)0(k，（1）求以 O 为顶点，y轴为对称轴，且过A，B 两点的抛物线方程；（2）设 Q 为抛物线准线上任意一点，过Q 作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN 过一定点；解： （1）设抛物线方程为)0(22ppyx，AB的方程为mkxy，联立消y整理，得0222pmpkxx；pkxx221，又依题有pkkxx24|21，2p，抛物线方程为yx42；（2）设M)4,(211xx，N)4,(222xx，) 1,(0 xQ，21xkMQ，MQ的方程为)

2、(241121xxxxy042121yxxx；MQ过Q，0420121xxx，同理0420222xxx21, xx为方程04202xxx的两个根；421xx；又421xxkMN，MN的方程为)(4412121xxxxxy1421xxxy，显然直线MN过点)1 , 0(已知点R（ 3,0 ） ,点 P 在 y 轴上，点Q 在 x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上,且满足230PMMQ，0RP PM. （）当点P 在 y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；（）设1122(,) (,)A xyB xy、为轨迹C 上两点，且111,0 xy， N(1,0) ，求实数，使ABAN，且163AB.

3、解： ()设点 M(x,y) ，由 230PMMQ得 P(0 ，2y)， Q(,03x). 由0,RP PM得 (3，2y)(x，32y) 0,即xy42又 点Q在x 轴 的 正 半 轴 上 ，0 x故 点M 的 轨 迹C的 方 程 是24 (0)yx x. 6 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页（）解法一：由题意可知N 为抛物线C:y24x 的焦点，且A、 B 为过焦点N 的直线与抛物线C 的两个交点。当直线AB 斜率不存在时，得A(1,2) ，B(1,-2) ，|AB|1643，不合题意；7分当 直 线AB斜

4、 率 存 在 且 不 为0时 ， 设:(1ABlyk x， 代 入24yx得22222(2)0k xkxk则 |AB|212222(2)4162243kxxkk,解得32k10 分代入原方程得031032xx，由于11x，所以1213,3xx, 由ABAN，得2111343313Nxxxx. 10、(北京市崇文区2008 年高三统一练习一)已知抛物线2:axyC，点 P（1， 1）在抛物线 C 上，过点P 作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，且满足k1+k2=0. （I）求抛物线C的焦点坐标；（II）若点 M 满足MABM，

5、求点 M 的轨迹方程 . 解： （I）将 P（1， 1）代入抛物线C的方程2axy得 a=1，抛物线 C的方程为2xy，即.2yx焦点坐标为F（0，41） .4 分（II）设直线PA的方程为)1(11xky，联立方程.),1(121xyxky消去 y 得,01112kxkx则.1, 111111kxkx即由. 2,0)2() 1(4121121kkkk得 7 分同理直线 PB的方程为),1(12xky联立方程.),1(122xyxky消去 y 得, 01222kxkx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页则.2. 1,

6、 1122222kkxkx且即又. 2,0121kkk9 分设点 M 的坐标为（ x，y） ，由.2,21xxxMABM则.2)(22112121kkkkx又.1, 021xkk11 分.5, 2, 1) 1(2) 1() 1(2)1() 1(2212121212221222121ykkkkkkxxyyy又所求 M 的轨迹方程为：).51( 1yyx且15、(北京市十一学校2008 届高三数学练习题)如图，椭圆的中心在原点，其左焦点1F与抛物线24yx的焦点重合， 过1F的直线l与椭圆交于A、 B 两点，与抛物线交于C、 D 两点当直线l与 x 轴垂直时，2 2CDAB（）求椭圆的方程；（II

7、）求过点O、1F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（）求22F A F B的最大值和最小值解： （）由抛物线方程，得焦点1( 1,0)F设椭圆的方程：)0(12222babyax解方程组241yxx得 C（-1，2） ，D（1，-2） 由于抛物线、椭圆都关于x 轴对称，11|2 2|FCCDF AAB，12|2F A， 2(1,)2A 2 分yxDCBAOF1F2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页221112ab又1222cba，因此，2211112bb，解得21b并推得22a故椭圆的方程为2212xy 4 分（

8、）2,1,1abc，圆过点 O、1F，圆心 M 在直线12x上设1(, ),2Mt则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，13()( 2).22r由,OMr得2213(),22t解得2.t所求圆的方程为2219()(2).24xy8 分（）由12( 1,0),(1,0)FF点若AB垂直于x轴，则)22, 1(),22,1(BA，2222( 2,),( 2,)22F AF B，2217422F A F B9 分若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为)1(xky由022) 1(22yxxky得0) 1(24)21(2222kxkxk0882k，方程有两个不等的实数根设),(11y

9、xA，),(22yxB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页2221214kkxx, 222121)1(2kkxx11 分), 1(), 1(222112yxBFyxAF)1)(1()1)(1() 1)(1(21221212122xxkxxyyxxBFAF22122121)(1()1 (kxxkxxk22222221)214)(1(21)1(2)1 (kkkkkkk=)21(29272117222kkk12110, 121 ,0222kkk27, 122BFAF，所以当直线l垂于x轴时，BFAF22取得最大值27当

10、直线l与x轴重合时，BFAF22取得最小值125、(福建省莆田一中20072008 学年上学期期末考试卷)在平面直角坐标系xOy中，过定点(0)Cp，作直线与抛物线22xpy（0p）相交于AB，两点（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由解法 1： （）依题意，点N的坐标为(0)Np，可设1122()()A xyB xy，直 线AB的 方 程 为ykxp， 与22xp y联 立 得22xp yyk xp，消 去y得22220 xpkxp由韦达定理得12

11、2xxpk，2122x xp于是12122ABNBCNACNSSSp xx2121212()4p xxpxxx x222224822pp kppk，N O A C B y x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页当0k时，2min()2 2ABNSp（）假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，AC的中点为O，l与AC为直径的圆相交于点P，QPQ，的中点为H，则O HPQ，Q点的坐标为1122xyp，2222111111()222O PACxypyp，111222ypO Haayp，222PHO PO H2221111

12、()(2)44ypayp1()2paya pa，22(2)PQPH14()2paya pa令02pa， 得2pa， 此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py，即抛物线的通径所在的直线解法 2： （）前同解法1，再由弦长公式得222222212121211()4148ABkxxkxxx xkp kp22212pkk，又由点到直线的距离公式得221pdk从而2222211221222221ABNpSd ABpkkpkk，当0k时，2min()2 2ABNSp（）假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，则以AC为直径的圆的方程为11(0)()()()0 xxxypyy，将直线方程ya

13、代入得211()()0 xx xapay，N O A C B y x Ol 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页则21114()()4()2pxap ayaya pa设直线l与以AC为直径的圆的交点为3344()()P xyQ xy，则有34114()2()22ppPQxxaya paaya pa令02pa， 得2pa， 此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py，即抛物线的通径所在的直线27、 (福建省厦门市2008 学年高三质量检查)已知曲线C 上任意一点M 到点 F（0，1）的距离比它到直线2:

14、yl的距离小1。（1）求曲线C的方程；（2）过点.,)2, 2(PBAPBACmP设两点交于与曲线的直线当m求直线时,1的方程；当 AOB 的面积为24时（ O 为坐标原点） ，求的值。（1）解法一：设1|2|),(yMFyxM则由题设得， 1 分即1|2|)1(22yyx当yxyyxy4, 1)1(,2222化简得时； 3 分当, 3)1(,222yyxy时 4 分化简得3882yyx与不合故点 M 的轨迹 C 的方程是yx42 5 分（1）解法二：2:)0 , 1(ylFM的距离比它到直线到点点的距离小于1，点 M 在直线 l 的上方，点 M 到 F（1，0）的距离与它到直线1: yl的距

15、离相等 3 分为准线的抛物线为焦点是以的轨迹点lFCM,所以曲线C的方程为yx42 5 分（2）当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页设直线 m 的方程为)22(),2(2kkxyxky即，代入0) 1(84422kkxxyx得（） 6 分mRkkk直线所以恒成立对,0)22(162与曲线 C恒有两个不同的交点设交点 A，B 的坐标分别为),(),(2211yxByxA，则) 1(8,42121kxxkxx 7 分由的中点是弦得点且ABPPBAP1,，01,

16、44,421yxmkkxx的方程是直线得则 9 分)22)(1(44)(1()()(|22122122212212kkkxxxxkyyxxAB点 O 到直线 m 的距离21|22|kkd，242) 1() 1(422|1|4|21kkkkkdABSABO 10分24)1()1(4,2424kkSABO，2) 1(1) 1( ,02)1()1(2224kkkk或（舍去）20kk或 12 分当,0时k方程（）的解为22若223122222,22,2221则xx若223222222,22,2221则xx 13 分当,2时k方程（）的解为224若223222222,224,22421则xx若22322

17、2222,224,22421则xx 14 分所以，223223或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页32、抛物线22ypx的准线的方程为2x，该抛物线上的每个点到准线2x的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以 N 为圆心，同时与直线xylxyl:21和相切的圆，（）求定点N 的坐标；（）是否存在一条直线l同时满足下列条件：l分别与直线21ll 和交于 A、 B两点，且 AB 中点为)1 ,4(E；l被圆 N 截得的弦长为2解： （1）因为抛物线pxy22的准线的方程为2x所以4p，根据抛物线的定义可知点N 是抛物

18、线的焦点，-2 分所以定点 N 的坐标为)0,2(-3 分（2）假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，-4 分设l的方程为)4(1xky，1k-5 分以 N 为圆心，同时与直线xylxyl:21和相切的圆 N 的半径为2， -6 分方法 1：因为l被圆 N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，-7 分即11122kkd，解得340或k，-8 分当0k时，显然不合AB 中点为)1 ,4(E的条件，矛盾！-9 分当34k时，l的方程为01334yx-10 分由xyyx01334，解得点A 坐标为13,13，-11 分由xyyx01334，解得点B 坐标为713,713，-12 分显然

19、 AB 中点不是)1 ,4(E，矛盾！-13 分所以不存在满足条件的直线l-14 分方法 2：由xyxky)4(1，解得点A 坐标为114,114kkkk，-7 分由xyxky)4(1，解得点B 坐标为kkkk114,114，-8 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页AGEMoyxx2=4y因为 AB 中点为)1 ,4(E，所以8114114kkkk，解得4k，-10 分所以l的方程为0154yx，圆心 N 到直线l的距离17177，-11 分因为l被圆 N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！-13

20、 分所以不存在满足条件的直线l-14 分方法 3：假设 A 点的坐标为),(aa，因为 AB 中点为)1 ,4(E，所以 B点的坐标为)2,8(aa，-8 分又点 B 在直线xy上，所以5a，-9 分所以 A 点的坐标为)5,5(，直线l的斜率为4，所以l的方程为0154yx，-10 分圆心 N 到直线l的距离17177，-11 分因为l被圆 N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！-13 分所以不存在满足条件的直线l34、(广东省揭阳市2008 年高中毕业班高考调研测试)设动点( ,)(0)P x yy到定点F(0 ,1)的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C. （

21、1）求点P的轨迹方程；（ 2）设圆M过A(0, 2)，且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长EG是否为定值？为什么？解： （1）依题意知，动点P到定点F(0,1)的距离等于P到直线1y的距离，曲线C是以原点为顶点，F(0,1)为焦点的抛物线2分12p2p曲线C方程是24xy4 分（2）设圆的圆心为( , )M a b，圆M过A(0, 2)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页1-1FQRPxyo圆的方程为2222()()(2)xaybab7分令0y得：22440 xaxb设圆与x轴的

22、两交点分别为1(,0)x，2(,0)x方法 1：不妨设12xx，由求根公式得212416162aabx，222416162aabx10分21241616xxab又点( ,)M a b在抛物线24xy上，24ab，12164xx，即EG4-13分当M运动时，弦长EG为定值 414分38、 (广东省韶关市2008 届高三第一次调研考试)在平面直角坐标系xoy中，设点F(1，0)，直线l:1x，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点 , ,RQFP PQl. ()求动点Q的轨迹的方程；() 记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为NM，求证：直

23、线MN必过定点)0, 3(R解： ()依题意知，直线l的方程为：1x点R是线段FP的中点，且RQFP，RQ是线段FP的垂直平分线.2分PQ是点Q到直线l的距离点Q在线段FP的垂直平分线，PQQF4 分故 动 点Q的 轨 迹E是 以F为 焦 点 ，l为 准 线 的 抛 物 线 ， 其 方 程 为 ：24 (0)yx x .7分( ) 设BBAAyxByxA,，NNMMyxNyxM,， 直 线AB的 方 程 为)1(xky.8分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页则)2(4) 1(422BBAAxyxy（1）（ 2）得

24、kyyBA4，即kyM2，9分代入方程)1(xky，解得122kxM所以点的坐标为222(1,)kk10分同理可得：N的坐标为2(21,2 )kk直线MN的斜率为21kkxxyykNMNMMN，方程为)12(1222kxkkky，整理得) 3()1(2xkky，12分显然，不论k为何值，(3, 0)均满足方程，所以直线MN恒过定点R(3, 0) 1442、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008 年高三联考 )已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，A 是抛物线上横坐标为4、且位于 x 轴上方的点， A 到抛物线准线的距离等于5，过 A 作 AB垂直于 y 轴，垂足为B，OB 的中点为 M. (1

25、)求抛物线方程；(2)过 M 作 MNFA，垂足为N，求点 N 的坐标。解： (1)抛物线 y2=2px 的准线为x= -2p，于是 4+2p=5， p=2. 抛物线方程为y2=4x6 分(2)点 A 是坐标是 (4， 4)， 由题意得B(0，4)，M(0，2)，又 F(1，0)， kFA=34； MN FA， kMN=-43，则 FA的方程为y=34(x-1)，MN 的方程为y-2= -43x，y=34(x-1) x=58解方程组，得y-2= -43xy=54精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页N 的坐标 (58

26、，54) .12 分56、(黑龙江省哈尔滨九中2008 年第三次模拟考试)已知)0 ,3(P,点R在y轴上，点Q在x的正半轴上，点M在直线RQ上，且0RMPRMQRM23,. （1）当R在y轴上移动时，求M点轨迹 C；（2）若曲线C的准线交x轴于N，过N的直线交曲线C于两点AB，又AB的中垂线交x轴于点E，求E横坐标取值范围；（3）在（ 2）中，ABE能否为正三角形. 解： (1)设MQRMyxM23),(11则由得)28,0(R又由0RMPR得.0)23,). (28,3(yx即xy424 分(2)由(1)知 N（ 1，0）设得：) 1(xky由0)2(2) 1(.422222kxkxkxk

27、yxy得由0102kk且得设),(),(2211yxByxA对kxxkyykkkxx4)2(221212221AB的中点为)2,2(22kkkAB的中点为)2(1222kkxkky令312020kxy得即 x03. 57、(湖北省八校高2008 第二次联考 )已知 A,B是抛物线220 xpy p上的两个动点，O 为坐标原点，非零向量,OAOB满足 OAOBOAOB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页（）求证：直线AB经过一定点；（）当 AB 的中点到直线20yx的距离的最小值为2 55时，求p的值解 ：O AO

28、 BO AOB , OAOB .设A,B 两 点的 坐标为（11,xy） ， （22,xy）则2211222,2xpyxpy. （1）经过 A，B两点的直线方程为211211()()()().xxyyyyxx由221212,22xxyypp，得22212111()()()().22xxxxyyxxpp211211()2xxxxyyxxp. 令0 x，得2111()2xxyyxp, 122x xyp. 12120,OAOBx xy y从而221212204x xx xp. 120 x x(否则 , ,OA OB有一个为零向量 ), 2124x xp. 代入，得2yp，AB始终经过定点0,2 p

29、. （ 6分）（2 ）设AB中点的坐标为(,x y) ，则12122,2,xxxyyy22121212222()xxpypyp yy. 又2222212121212()2()8xxxxx xxxp, 22484xppy，即212yxpp.AB 的中点到直线20yx的距离25yxd. 将代入，得22211122()()555xpxxppxpppppd. 因为 d 的最小值为2525,2555pp. （12 分）66、 (湖南省十二校2008 届高三第一次联考)已知抛物线x24y 上的点 P(非原点 )处切线与x、y 轴分别交于Q、R点， F为抛物线的焦点。（）的取值范围；求若,PRPQ（）若抛物

30、线上的点APR.求满足FAPFA面积的最小值，并写出此时过 P点的切线方程。解： （）设所在直线的方程为：则PRtttP),0)(4,(2P Q R F A x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页txtty242令4t0,-R0 x,0,202得令得tQy2,PR,4,222ttttPQ21,21的取值范围为即PRPQ。（）)( 由知xttyPA1412的方程为：2224,t4-A4141tyxxtty的坐标为得点联立tttxxRFSAPAPR44121212而=ttt424213显然只需考查函数时的最小值。

31、当0424213tttttf3320,424321/22/ttftttf得令因为0,332,0332,0/tfttft时，时，当9316332332fttf时取得最小值当且仅当所以332424213ttttt的偶函数，同样当是关于又因为时 ， 也 取 得 最 小 值9316。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页故此时过P点的切线PR的方程为：133y3133xxy或抛物线 C的方程为)0)(,(),0(0002xyxPCaaxy上一点过抛物线，作斜率为21,kk的两条直线，分别交抛物线C于 A),(),(2211y

32、xByx两点（ P、A、B三点互不相同） ，且满足).10(012且kk（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）设直线AB上一点 M 满足,MABM证明：线段PM 的中点在y 轴上；（3）当1时，若点P的坐标为（ 1， 1） ，求 PAB为钝角时，点A 的纵坐标的取值范围 . 解： （1）由抛物线C的方程)0(2aaxy得，焦点坐标为.41),41,0(aya准线方程为2 分（2）设直线PA的方程为)(),(020010 xxkyyPBxxkyy的方程为直线点20101100)(),(),(axyxxkyyyxAyxP的坐标是方程组和点的解将式代入式，得000112yxkxkax，于是01

33、1101,xakxakxx故4 分又点20102200)(),(),(axyxxkyyyxByxP的坐标是方程组和点的解将式代入式，得000222yxkxkax，于是022202,xakxakxx故4 分由已知得，.,01212xkaxkk则设点 M 的坐标为.1,),(12xxxMABMyxMMM则则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页将式和式代入上式，得. 0,10000 xxxxxxMM即所以线段PM 的中点在y 轴上（3） 因为点 P （1， 1）在抛物., 1,22xyaaxy所以抛物线的方程为所以上由式

34、知211211)1(, 1kyxykx得代入将1代入式得211212) 1(, 1kyxykx得代入因此，直线PA 、PB分别与抛物线C的交点 A、B 的坐标为21111111111211111112111211121)1(.02120,),12)(2(2)2(4)2(2)4,2(),2,2(,).12, 1(),12, 1(kyyAkkkABAPBAPPABkkkkkkkkABAPkkABkkkAPkkkBkkkA满足的纵坐标又点或的取值范围是求得故必有三点互不相同为钝角且因为所以于是故当411,021; 1,2111ykyk时当时即)41, 1()1,(1y在平面直角坐标系xOy中，直线

35、l 与抛物线xy42相交于不同的,A B两点 . （）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB的值；（）如果4,OA OB证明直线 l 必过一定点，并求出该定点. 解： （）由题意：抛物线焦点为（1，0）设,41:2xytyxl代入抛物线消去 x 得),(),(,04422112yxByxAtyy设则4,42121yytyy，212122212121212(1)(1)()1OA OBx xy ytytyy yt y yt yyy y=3414422tt（）设xybtyxl4:2代入抛物线消去 x，得21122440,(,),(,)ytybA xyB xy设，则 y1+y2=4t ， y1y2=

36、4b。2212121212121212()()()OA OBx xy ytyb tyby yt y ybt yyby y=bbbbbtbt44442222。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页令2044,4422bbbbb，直线l 过定点（ 2，0） 。79、设 A、B 是抛物线y=2x2上两点，求证：AB 的垂直平分线l经过抛物线焦点的充要条件是线段 AB的中点落在y 轴上。证明：设A（x1,y1）,B(x2,y2)，AB 的中点落在y 轴上即 x1x2=0；抛物线y=2x2的焦点1(0,)8F3充分性：当AB

37、的中点落在y 轴上即 x1x2=0时， y1=y2，A、B关于 y 轴对称，直线l即为 y轴，经过抛物线的焦点。6必要性：（1）直线l的斜率不存在且经过1(0,)8F时，直线l即为 y 轴， A、B 关于 y 轴对称， AB 的中点落在y 轴上。（2）直线l经过1(0,)8F且斜率存在，设斜率为k（显然 k0） ，截距为18，即直线l： y=kx+18由已知得：12121212()yyxxxxk0 即l的斜率存在时，AB的中点不可能落在y 轴上即题设A、B点不存在。综上所述，l经过抛物线焦点的充要条件是线段AB的中点落在y 轴上。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页