2022年教案直线的倾斜角与斜率教案 .pdf

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1、精心整理学习资料3.1.1直线的倾斜角与斜率教案一、教学目标（1）知识与技能 ：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。理解直线倾斜角的唯一性。理解直线斜率的存在性。斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。（2）过程与方法 ：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。（3）情感态度与价值观 ：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率， 感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。二、教学重点与难点重点： 直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式。难点：

2、 用代数方法推导斜率的过程。三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下， 让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。四、教学过程（一）创设情境，揭示课题问题 1、 （出示幻灯片）给出的两点相同吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页精心整理学习资料ylpoxypoxlpoyxlpoyxl(1) (2) (3)(4)从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）问题 2、过这两点可作什么图形？

3、唯一吗？只经过其中一点可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外， 还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的方向（倾斜角、倾斜程度）问题 3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下， 以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x 轴或 y 轴）以 x 轴或 y 轴为基准都可以，习惯上我们用x 轴。选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？（教师引导学生选取不同的方向来描述

4、角）。数学概念来刻画事物时， 讲求统一美与简洁美， 如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）1、倾斜角的定义 ：在直角坐标系下， 以 x 轴为基准， 当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角。教师引导学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页精心整理学习资料学生容易忽略与x轴平行的直线，补出图（4） ，问倾斜角在哪儿？如何规定？规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0 。自然有倾斜角的范围是 0 ，180 ）这样平面直角坐标系中每条直线都

5、有唯一一个确定的倾斜角与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。以上定义了一个从 “形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。（二）巩固旧知，引入新知生活中，我们都有过爬坡、爬梯的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）初中对坡度是如何定义的？当坡角增大时，坡度如何变化？当坡角=90 与 0 时，升高量、前进量分别是什么？坡度又分别是什么？坡角、坡度都能反映倾斜程度， 迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。2、斜率 ：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角的正切值叫做这条坡度（比） =升高量前进量（即

6、坡角的正切值 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页精心整理学习资料直线的斜率。即)90(tank问题 4、当为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角上）问题 5、当在0 ，180 ）内变化时，斜率k 如何变化？poyxlypoxlpoyxlpoyxl0 90 = 9090 180= 0k =0k 0k 不存在k 0问题 6、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度， 而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。（三）尝试推导，深化认识两点

7、确定一条直线， 可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来， 直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。x y o tan)180tan(tank)(180是锐角如：倾斜角120，则斜率3k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页精心整理学习资料问题 7、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1） ，P2（x2，y2）且 x1 x2，能否用 P1、P2的坐标来表示直线斜率k？（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1、P2及直线 P1P2，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分

8、析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量， 前进量， 用点的坐标表示线段长， 并请同学叙述各个图的推导过程与结果。P2（ x2， y2）xxyOP1（ x1， y1）Q （ x2， y1）P2（ x2， y2）P1（ x1， y1）yOQ （ x2， y1）xyOQ （ x1， y2）P2（ x2， y2）P1（ x1， y1）P2（ x2， y2）xyOQ （ x1， y2）P1（ x1， y1）解：设直线 P1 P2倾斜角为（90 ）当直线 P1 P2方向向上时，过点 P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q ，则点Q为（x2，y1）（1）当为锐角时，21

9、PQP，21xx，21yy在QPPRt21中，12121221tantanxxyyQPQPPQP0 （2）当为钝角时，180（设21PQP= ） ，21xx，21yytan=tan)180tan(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页精心整理学习资料在QPPRt21中，1212121212tanxxyyxxyyQPQP1212tanxxyy0（可让学生分组推导）同 理 ， 当直 线P2P1方向 向 上 时， 无 论为 锐 角或 钝 角 ，也 有1212tanxxyy，即1212xxyyk思考： 1、各种一般情形得出的结论

10、一致吗？与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗？2、当直线垂直于 x 轴或 y 轴时，上述结论适用吗？3、斜率公式使用时应注意什么问题？（四）例题讲解、强化认知例 1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率。（1） =45（2）030（3）0120（4）0135（5）0150例 2.已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率 , 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 例3. 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1， -1 ， 2 及 -3的直线 . （五）巩固练习、内化知识1. 如图， 若图中直线123lll、 、的倾斜角和斜率分别是32

11、1,和123kkk、，则（）(A) 213321,kkk（B) ,321213kkk(C) ,231321kkk(D) ,231132kkk2. 若 A（ 3，-2 ） ，B（-9 ，4） ，C（x，0）三点共线，则x 的值为（）A 1 B -1 C0 D7 3. 若直线的斜率为33k，则倾斜角4. 直线过点（ 2,2 ）和点)1, 1(，直线倾斜角= 5. 已知直线斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精心整理学习资料6. 已知 A(x，-2) ，B(3， 0) ， 且12ABk，求

12、 x 的值。7.求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角。（1）)4,4(),8 ,18(DC (2) )3, 1(),0,0(QP (3) )2,0(),2 ,1 (BA（六）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）1、明确了确定直线位置的几何要素。2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率） ，知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）3、 经历了代数方法刻画斜率的过程, 感受了数形结合与分类讨论的数学思想（七）作业布置（1）必做题：课本 89 页习题 3.1A 组 1 、2、3、4 （2）选做题：课本 90 页习题 3.1B 组 5、6 xxyy1212tank精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页