2022年圆锥曲线教案圆的标准方程和切线问题 .pdf

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1、圆的标准方程和切线问题教案教学目标1使学生掌握圆的标准方程和切线的探求过程和方法2通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑推理能力3培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质教学重点与难点圆的标准方程和切线的求法是教学重点，圆的切线的求法是教学难点教学过程师：前面我们学习了曲线和方程的关系，请同学们考虑： 如何求适合某种条件的点的轨迹？生：建立适当的直角坐标系，将曲线上任一点的坐标为(x ，y) ；探求这些点的横坐标 x 与纵坐标 y 之间的关系，列出等式并化简师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲用这个方法我们曾经求出圆心在原点，半径为 5 的圆的

2、方程，它的方程是怎样的？生：x2+y2=25，师：若半径发生变化， 圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r 的圆的方程？生：x2+y2=r2师： 你是怎样得到的？ (启发地 ) 圆上的点满足什么条件？这些条件怎样转化成圆上的点的坐标所满足的条件？生：此圆是到原点的距离等于r 的点的集合，由两点间的距离公式即 x2+y2=r2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页师：x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊，圆心在原点有时候圆心可能不在原点，若此圆的圆心移至(a，b) 点，圆的方程是怎样的？生：此圆是到点 (a，b

3、) 的距离等于 r 的点的集合， 由两点间的距离公式可得即：(x-a)2+(y-b)2=r2师： 方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫做圆的标准方程 圆的标准方程由哪些量决定？是否可以和平面几何中有关理论联系起来？生：平面几何中，圆由圆心、半径决定，圆的方程由a、b、r 决定(其中 a、b 是圆心的横、纵坐标， r 是圆半径 )师：很好！这里再一次体现了解析几何的特点用代数的方法研究几何问题由此可见，要确定圆的方程，只须确定a、b、r 这 3 个独立变量即可请同学们思考这样一个问题：例 1 已知两点 A(4，9)和 B(6，3) ，求以 AB为直径的圆的方程，并且判断点M(6，9)、N(3，

4、3)、Q(5，3) 是在圆上，在圆内，还是在圆外？师：这道题的已知、要求很明确，应怎样解？生：先求圆的方程，再判断点的位置师：要确定圆的方程需要求什么？要不要按“四步曲”来求？生：不需要，只要根据圆的标准方程，求出圆心和半径即可师：怎么求？生：用中点公式求圆心坐标，用两点间距离公式求半径师：好！请具体求出生：圆心 C(a，b)是线段 AB的中点，那么它的坐标为：a=5，b=6因此圆的方程是： (x-5)2+(y-6)2=10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页所以点 M在圆上，点 N在圆外，点 Q在圆内由此可见，若点

5、P(x0，y0) 在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上，点 P的坐标与圆的方程有什么关系？ P在圆外，圆内呢？生：点 P(x0，y0)在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2；点 P(x0，y0) 在圆内 (x0-a)2+(y0-b)2r2；点 P(x0，y0) 在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2r2师：这道题研究了点和圆的位置关系试问直线和圆有哪些位置关系？生：相交、相离、相切师：相切是直线和圆的位置关系中比较常见，也比较重要的位置关系， 在解析几何中，我们研究曲线常常要求出切线的方程，你能求出这圆上一点的切线方程吗？的方程师：你打算怎样求？生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的

6、点斜式来求师：斜率怎么求？生：师：已知条件有哪些？可以直接利用吗？不妨画张图看看如精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页生：切线与半径 OP互相垂直，故斜率互为负倒数师：哪位同学能够具体的说一说？因为圆的切线垂直于过切点的半径，出怎样的猜想？生：何关系？如果看不出来，我们可以再演算两个例子试一试谁来举例？生：圆的方程是 x2+y2=13，过其上一点 (2，3) 的切线方程是 2x+3y-13=0生：圆的方程是 x2+y2=5，过其上一点 (-2 ，1) 的切线方程是 -2x+y-5=0 师：发现规律了吗？ (学生纷纷举手

7、回答问题 ) 生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x 和一个 y，便得到了切线方程师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点 (x0，y0) ，结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！生：x0 x+y0y=r2师：这个猜测对不对？若对，可否给予证明？生：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页师：这个问题就相当于：已知圆的方程是x2+y2=r2，求过圆上一点 P(x0，y0)的切线的方程用点斜式表示方程，有什么条件？生：切线若与 x 轴垂直，则不能用点斜式表示师：要求切线的斜率，需要求半径OP的斜率， OP

8、的斜率一定存在吗？( 引导学生完成解题过程 ) 解若切线的斜率不存在，x0=r，y0=0，切线方程为 x=r，或 x=-r 若半径的斜率不存在， y0=r ，x0=0，切线的方程为y=r，或 y=-r 若切线及半径的斜率都存在，设切线的斜率为k，经过点 P的切线方程为：亦即 x0 x+y0y=r2(*) 经验证：均适合 (*) 式，故切线方程为： x0 x+y0y=r2师：对照圆的方程x2+y2=r2及点 P(x0，y0) ，看看切线方程与圆的方程有什么关系？生：圆的方程可看成xx+yy=r2，将其中一个 x、y 用切点的坐标 x0、y0替换，可得到切线方程师：按照这种方法，若圆的方程是(x-

9、a)2+(y-b)2=r2，过其上一点 (x0，y0)的切线方程会是怎样的呢？能猜到吗？生：切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2师：你的猜测对吗？可否给予证明？这实际上就是：已知圆的方程是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页(x-a)2+(y-b)2r2，求经过圆上一点 (x0，y0) 的切线方程解若切线及半径的斜率都存在，即(x0-a)(x-x0)+(y0-b)(y-y0)=r2(*) 若切线或 OP的斜率不存在时，切线方程也是(*) 式师：(*) 式与同学猜测的结果 (x0-a)(x-a

10、)+(y0-b)(y-b)=r2不同，是我们猜错了？还是算错了？哪里出了毛病？生：对比两个方程，凑出 (x-a) 项，将 (*) 式整理如下：(x-a)-(x0-a)(x0-a)+(y-b)-(y0-b)(y0-b)=0 ，即：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=(x0-a)2+(y0-b)2因为 P在圆上，故(x0-a)2+(y0-b)2=r2，所以切线方程为： (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2这与同学们猜测的结果是一致的！设计思想在教学过程中，教师遵循数学本身的发展规律， 同时注意到学生的认识规律，力求使它们同步协调，具体做法如下：在探询圆的标准方程的过程中

11、， 引导学生用代数的方法研究平面几何中常见的曲线圆从简单的、特殊的到复杂的、一般的，使用了观察、猜测、经验归纳等等合情推理的方法， 同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程， 体会数学中的美学对称、简洁精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页在探求圆的切线方程时，运用波利亚一般解题方法求出过圆x2+y2=r2上一点(x0，y0) 的切线方程，同时也提出思考：若改变条件为圆(x-a)2+(y-b)2=r2，结论将发生怎样的变化？此时引导学生通过观察、类比、联想、猜测、归纳出一般方程，并且给以证明，既教猜想，又教证明在课堂上，运用问题性，使教学富有情趣性、激励性，同时通过问题和建议控制研究的方向与进程，通过问题和提示，帮助度过难关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页