2022年向量减法运算及其几何意义,向量的数乘运算及其几何意义教案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载2.2.2向量减法运算及其几何意义一知识点梳理1用“相反向量”定义向量的减法：1 “相反向量 ”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量记作a2 规定：零向量的相反向量仍是零向量，且(a) = a。任一向量与它的相反向量的和是零向量即 a + (a) = 0。如果 a、b 互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 03 向量减法的定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差即：ab = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2用加法的逆运算定义向量的减法：若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 ab 3 减法的三角形法则 ：在平

2、面内取一点O ，作OA= a, OB= b, 那么连接两个向量的终点并指向被减向量方向的向量就是两个向量的差向量. 即 ab 可以表示为从向量b 的终点指向向量 a 的终点的向量注意： 1AB表示 ab强调：差向量“箭头”指向被减数. 4. 向量减法运算的记忆口决：共起点，连终点，方向指向被减数（方向由后指前）5. 向量减法与向量加法的比较：（1）加法：首尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，方向指向被减数6. 向量减法的字母公式：CBACAB二例题讲解例 1. 已知向量 a、b、c、d，求作向量 a b、c d解：在平面上取一点O ，作OA= a, OB=

3、b, OC= c, OD= d, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载作BA, DC, 则BA= a b, DC= c d例 2. 已知，在平行四边形ABCD 中，aAB，bAD，用a，b表示向量AC、DB解： 由平行四边形法则得： D C AC= a + b,DB= ADAB = a b b A a B 例 3.若|AB|=8,|AC|=5,则 |BC|的取值范围是( ) A.3,8 B.(3,8) C.3,13 D.(3,13) 解析 :BC=AC-AB. (1) 当AB、AC同向时 ,|BC|=

4、8-5=3; (2) 当AB、AC反向时 ,|BC|=8+5=13; (3) 当AB、AC不共线时 ,3|BC| a-b|, 异向则有 | a+b|时， a的方向与a的方向相同；当0 时， a的方向与a的方向相反；特别地，当0 =或0a =时，0 a =. 2. 运算律：设a、b为任意向量，、 为任意实数，则有：（1）()a a a+=+；（2）()() aa=；（3）()ab a b+=+. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载通常将（ 2）称为结合律，（1） （3）称为分配律。3. 共线向量定理0

5、.),(,ababa向量与 共线 当且仅唯一一个当有实数使二例题讲解例 1，计算( 3)4 ;3()2();(23)(32).aababaabcabc(1)(2)(3)解：( 3) 412aa=-(1)3()2()3223 2 15ababaabab aabb=+3 -+-=- -+=(2)（） （3 2）(23)(32)52abcabcab c cabc=-+- -=- +-(3)（2 3）（3 2）例 2 如图 3, 已知任意两个非零向量a、b, 试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b. 你能判断 A、B、C三点之间的位置关系吗 ?为什么 ? 图 3 解: 如图 3 分别作向量O

6、A、OC、OB过点 A、C作直线 AC.观察发现 , 不论向量 a、b 怎样变化 , 点 B始终在直线AC上, 猜想 A、B、C三点共线 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载事实上 , 因为AB=OB-OA=a+2b-( a+b)=b, 而AC=OC-OA=a+3b-( a+b)=2b, 于是AC=2AB. 所以 A、B、C三点共线 . 点评: 关于三点共线问题 , 学生接触较多 , 这里是用向量证明三点共线, 方法是必须先证明两个向量共线, 并且有公共点 . 例 3 如图 4, ABCD 的两条

7、对角线相交于点M,且AB=a,AD=b, 你能用 a、b 表示MC、MB、MA和MD吗? 图 4 解: 在ABCD 中, AC=AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a- b, 又平行四边形的两条对角线互相平分, MA=21AC=21( a+b)=21a-21b, MB=21DB=21( a- b)=21a-21b, MC=21AC=21a+21b, MD=MB=-21DB=-21a+21b. 点评: 结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则, 将两个向量的和或差表示出来 , 这是解决这类几何题的关键. 例 4. 如下图所示， 凸四边形ABCD的边AD、BC 的中点分别为E、 F, 求证

8、:EF=21(AB+DC). 分析: 能否构造三角形 , 使 EF 作为三角形中位线 , 借助于三角形中位线定理解决, 或创造相同起点 , 以建立向量间关系 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载图 5 解: 方法一 : 过点 C在平面内作CG=AB, 则四边形 ABGC 是平行四边形 , 故 F 为 AG中点.( 如图 5) EF是ADG 的中位线 . EF21DG. EF=21DG. 而DG=DC+CG=DC+AB, EF=21(AB+DC). 方法二 : 如图 6, 连接 EB 、EC,则有E

9、B=EA+AB,EC=ED+DC, 图 6 又E是 AD之中点 , 有EA+ED=0, 即有EB+EC=AB+DC. 以EB与EC为邻边作EBGC, 则由 F是 BC之中点 , 可得 F也是 EG之中点 . EF=21EG=21(EB+EC)=21(AB+DC). 点评: 向量的运算主要从以下几个方面加强练习:(1) 加强数形结合思想的训练, 画出草图帮助解决问题;(2) 加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习,做到准确熟练运用 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载三课堂练习1. 在ABC中，B

10、C =a， CA =b，则AB等于( )A.a+b B.-a+(- b). C.a- b D.b- a2在ABC中， , ABcACb ，若点 D 满足2BDDC，则AD=（） A. 2133bc. B. 5233cb C. 2133bc D. 1233bc3、如图 ABCD是一个梯形 ,ABCD且 AB=2CD,M,N 分别是 DC和 AB的中点 , 若= a , = b, 试用 a,b 表示和 . 四内容小结本节我们主要学习的内容是：1. 向量的数乘运算的定义2. 向量的数乘运算的运算法则（运算律）3. 两个向量共线的基本定理五课后作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

11、归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载【知识梳理、双基再现】1、相反向量：规定与a_的向量， 叫做a的相反向量， 记作 _，向量a与a互为相反向量，于是a+a=_。2、向量的减法我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即与ab是互为相反的向量，那么a=_，b=_，ab=_。3、向量减法的几何意义：已知a，b，在平面内任取一点O，作,OAa OBb，则_=ab，即ab表示为从减向量_的终点指向被减向量_的终点的向量。【小试身手、轻松过关】1、在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是（）AACABBCBADBDABCBDACBCDBDCDBC2、下

12、列各式中结果为O的有（）ABBCCAOAOCBOCOABACBDCDMNNQMPQPABCD3、下列四式中可以化简为AB的是（）ACCBACCBOAOBOBOAABCD4、在下面各式中，不能化简为AD的是（）A()ABCDBCB()()ADMBBCCMCMBADBMDOCOACD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载【基础训练、锋芒初显】5、在 ABC 中，向量BC可表示为（）ABACACABBAACBACAABCD6、已知 ABCDEF 是一个正六边形， O 是它的中心， 其中,OAa OBb OCc

13、则EF=（）AabBbaCcbDbc7、当 C是线段 AB的中点，则ACBC=（）AAB BBA CAC D O8、在平行四边形ABCD 中，BCCDAD等于（）ABA BBD CAC DAB【举一反三、能力拓展】9、化简：ABDABDBCCA=_。10、一架飞机向北飞行300km后改变航向向西飞行400km ，则飞行的总路程为_，两次位移和的和方向为_，大小为 _。11. 已知ABCD 的两条对角线AC与 BD交于 E，O是任意一点，求证： OA+OB +OC +OD =4OE12. 如图， OA， OB 不共线，AP=tAB (tR) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载(1) 用 OA，OB 表示 OP . (2) 设OA、 OB不共线， 点 P在 O 、 A、 B所在的平面内，且(1)()OPt OAtOB tR.求证： A、B、P三点共线 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页