2022年奥数训练——数的整除 .pdf

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1、晨曦书院第1页（共 8页）数的整除一、解答题（共15 小题，满分0 分）1判断能否被 3，7，11，13 整除2试说明形式的 6 位数一定能被11 整除3在 1998 后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7 和 8 整除， 所添的两个数字是多少？4求被 179 整除的最小和最大的四位数5一个五位数减去其各位数字之和后变为，则 x 是多少？6首位数字是9，各位上的数字互不相同的7 位数中，能被6 整除最小数是多少？7养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810 只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？8五个三位数，前四个数分别是123、345、567、789已知五个

2、数的平均数是9 的倍数，第 5 个数最大是多少？9五个数之和是308这五个数分别被2、3、5、 7、11 整除，且商相同，求这五个数10一个数乘以91 后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？11一个各位数字全是1 的自然数能被33333 整除，问这个数最小是多少？12某六位数能被 17 和 19 整除，求13五位数能被 36 整除，求这样的五位数14是 105 的倍数，求xy15给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y 的组合，使该六位数能被9 整除；（2）根据（ 1）的结果说明该六位数一定不能被72 整除；（3）试求出所有这样的x、y 的组合，使该六位数能被24 整除；（4）试求出所

3、有这样的x、y 的组合，使该六位数能被55 整除；（5）试求出所有这样的x、y 的组合，使该六位数能被91 整除精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页晨曦书院第2页（共 8页）数的整除参考答案与试题解析一、解答题（共15 小题，满分0 分）1判断能否被 3，7，11，13 整除考点：数的整除特征专题：整除性问题分析：首先判定能否被 3 整除，因为能同时被7、11、13 整除的最小数为1001，把这个数写成 1001 98666+766，探讨 766 能否被 7，11，13 整除即可解答：解：因为9+8+7+6+5+4+3

4、+2=44 ，不能被 3 整除；因为 98765432=1001 98666+766，766 不能被 7 整除；766 不能被 11 整除；766 不能被 13 整除；所以不能被 3，7，11，13 整除点评：掌握能被3，7，11，13 整除数的特征是解决问题的关键，注意问题的灵活处理2试说明形式的 6 位数一定能被11 整除考点：数的整除特征专题：整除性问题分析：根据被 11 整除数的特征： 把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11 的倍数（包括0） ，那么，原来这个数就一定能被11整除由此说明即可解答：解：=100000a+10000b

5、+1000c+100a+10b+c =100100a+10010b+1001c =1001 （100a+10b+c）因为 11 能整除 1001，所以形式的 6 位数一定能被11 整除点评：此题考查数的整除特征，掌握被11 能出数的特征是解决问题的根本3在 1998 后面添上两个数字构成一个六位数，它能够同时被7 和 8 整除， 所添的两个数字是多少？考点：数的整除特征专题：整除性问题分析：不妨设，添加的两个数字为ab，则 8ab能被 8 整除，则 ab 可以是 00，08，16，24，32，40，48， 56，64，72， 80，88，96；且 7 能整除 1998ab，也就是整除3ab，相

6、当于整除20+ab，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页晨曦书院第3页（共 8页）进一步验证得出答案即可解答：解：设添加的两个数字为ab，8 能整除 1998ab，则 ab 可以为： 00，08，16， 24，32，40，48，56，64，72，80，88，96；7 能整除 1998ab=28542 7+6+ab，也就是7 能整除 6+ab，经过验证可知，ab=08，64所以所添的两个数字是08 或 64点评：此题考查能被7，8 整除的数的特征，解答此题还要有较强的分析推理能力4求被 179 整除的最小和最大的四位数考

7、点：数的整除特征专题：整除性问题分析：先求出 1000 179 的商，该商 +1 后，与 179 相乘的积即为所求的被179 整除的最小四位数；先求出 9999 179 的商，然后用商与179 相乘的积即为所求的被179 整除的最大四位数解答：解： 1000 179=5 105，179 （5+1）=179 6 =10749999 179=55 154，179 55=9845；答：被 179 整除的最小的四位数是1074，最大的四位数是9845点评：此题考查了数的整除特征，明确倍数的求法，是解答此题的关键5一个五位数减去其各位数字之和后变为，则 x 是多少？考点：数字问题专题：数性的判断专题分析

8、：五位数与各位数字和的差为7xxxx ，已知万位为7，那么 4x+7 应是 9 的倍数，进一步解决问题解答：解：设原来的三位数是abcde，由题意得：10000a+1000b+100c+10d+e （ a+b+c+d+e）=7xxxx ，9999a+999b+99c+9d=7xxxx ，因此，五位数减去各们数字之和一定是9 的倍数，可得4x+7=9（或 18，或 27，36）经验证，只有4x+7=27 符合题意，因此x=5 点评：设原来的三位数是abcde，五位数减去各们数字之和一定是9 的倍数，然后通过验证推出结果6首位数字是9，各位上的数字互不相同的7 位数中，能被6 整除最小数是多少？考

9、点：数的整除特征精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页晨曦书院第4页（共 8页）专题：整除性问题分析：首位数字确定，要使最小，不妨设为901234x，x 是偶数，且9+1+2+3+4+x=18+ （x+1）要能被 3 整除，求得x=2 或 8，最小且不重复就是8解答：解：要使最小，不妨设为901234x，x 是偶数，则 9+1+2+3+4+x=18+ （x+1）需能被3 整除，则 x=2 或 8，2 与前面的数字重复，所以x 取 8所以能被6 整除最小数是9012348点评：此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被2 或

10、3 整除数的特征是解决问题的关键7养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810 只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？考点：分数和百分数应用题（多重条件）专题：分数百分数应用专题分析：根据 “ 卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同” ，可知鸡 （180%）=鸭（175%） ，所以鸡： 鸭=（175%） ： （1 80%）=5：4那么鸡有810 （ 5+4） 5=450（只），进而求出鸭的只数解答：解： （175%） ： （180%）=5：4 鸡有：810 （5+4） 5 =810 9 5 =450（只）鸭有：810450=360（只）答：原来鸡养了450 只，

11、鸭养了360 只点评：此题先求出鸡鸭只数的比，是解答此题的关键8五个三位数，前四个数分别是123、345、567、789已知五个数的平均数是9 的倍数，第 5 个数最大是多少？考点：平均数问题；整除性质专题：平均数问题；整除性问题分析：123+345+567+789=1824 ，根据题意 “ 已知五个数的平均数是9 的倍数 ” 所以得出这五个三位数的能既能被5整除，又能被9 整除，因为能被5 整除，所以个位数是0 或 5，因为求这个五位数最大是900 多， 1824+900=2724 ，因为这5 个三位数的和能被9 整除，所精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

12、 - - - - -第 4 页，共 8 页晨曦书院第5页（共 8页）以各个数位上数的和能被9 整除，然后分析当这五个数的和的个位是0 或 5 时，要求的数的大小，然后进行比较，进而得出结论解答：解： 123+345+567+789=1824 ，因为能被5 整除，所以个位数是0 或 5，因为求这个五位数最大是900 多，1824+900=2724 因为这 5 个三位数的和能被9 整除，所以各个数位上数的和能被9 整除，当个位是0 时，2+7+9+0=18 ， 能被 9 整除，所以这个数的和是2790， 则要求的数为： 27901824=966；当个位是5 时，2+7+4+5=18 ， 能被 9

13、整除，所以这个数的和是2745， 则要求的数为： 27451824=921；因为 921966 所以要求的三位是最大是966答：第 5 个数最大是966点评：此题考查了数的整除特征，明确能被5 和 9 整除的数的特征，是解答此题的关键9五个数之和是308这五个数分别被2、3、5、 7、11 整除，且商相同，求这五个数考点：整除性质专题：整除性问题分析：先求出 2、3、5、7、11 的和，然后用308 除以这五个数的和，求出商，然后用商分别乘 2、3、5、7、 11，即可求出这五个数解答：解： 2+3+5+7+11=28 ，308 28=11，所以这五个数分别是：2 11=22，3 11=33，

14、5 11=55，7 11=77，11 11=121；答：这五个数分别是22，33，55， 77，121点评：求出 2+3+5+7+11 的和，然后用308 除以 28，求出商，是解答此题的关键10一个数乘以91 后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？考点：最大与最小专题：整除性问题分析：因为是 193，3 只能和 1 3 才出 3所以这个数的最后一个数是3，又 3 90=270，十位9070=20，则这个数的十应是2，即后两位是23，91 23=2093，百位还差1，只要找个数与 1 相乘得 1 相乘得 1 就可以了， 1 与 1 相乘得了，则这个数最小是123，即123 91=11193

15、解答：解：由于1 3=3，则这个数个位是3，3 90=270，十位 9070=20，1 20=20，则这个数的十应是2，即后两位是23，91 23=2093，百位还差1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页晨曦书院第6页（共 8页）1 与 1 相乘得 1，则这个数最小是123，即 123 91=11193答：这个数最小是123点评：首先根据题意确定这个数的个位是3，然后逐步进行推理是完成本题的关键11一个各位数字全是1 的自然数能被33333 整除，问这个数最小是多少？考点：整除性质专题：整除性问题分析：先把 3333

16、3 分解质因数： 33333=3 11111，能被 33333 整除，那么所有的1 加起来能被 3 整除，所以可能有6，9，12，15 个 1；但是 33333 是 5 位数，很明显6 个、 9个、 12 个都不能整除，位数不合适，只能是15 个也就是111111111111111 33333=3333366667；由此解答即可解答：解：能被33333 整除，那么所有的1 加起来能被3 整除，所以可能有6，9，12，15个 1；但是 33333 是 5 位数，很明显6 个、 9 个、 12 个都不能整除，位数不合适，只能是 15 个，即这个数最小是111111111111111 ；答：这个数最

17、小是111111111111111 点评：明确能被3 和 11111整除的数的特征，是解答此题的关键12某六位数能被 17 和 19 整除，求考点：整除性质；位值原则专题：整除性问题分析：根据六位数23xy22 能被 17 和 19 整除，得出这个六位数能被17 19=323 整除， 再假设出这个六位数最大值与最小值，进而得出它们商的取值范围，进而得出符合要求的答案解答：解：因为六位数23xy22 能被 17 和 19 整除，所以这个六位数能被17 19=323 整除，这个数最小为230022，故 230022 323=712.46，这个数最大为239922，故 239922 323=742

18、256，因为 23 22 能被 323 整除，商一定为3位数，且个位数一定为4，符合要求的只有714，724，734故试一下323 714=230622，323 724=233852，323 734=237082，只有 323 714=230622 符合要求，故原数为： 230622；答： xy=06点评：此题主要考查了数的整除性，根据已知得出23 22 除以 323 商的取值范围以及个位数的特点是解题关键13五位数能被 36 整除，求这样的五位数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页晨曦书院第7页（共 8页）考点：整除

19、性质；位值原则专题：整除性问题分析：36=4 9，能被 36 整除， 就要能同时被4 和 9 整除，能被 4整除的数： 后两位能被4 整除；能被 9 整除的数：各位数字的和能被9 整除；由此可知：y 可能是 2 或 6，如果 y=2，则2+x+8+9+2 能被 9 整除， x=6；如果 y=6，则 2+x+8+9+6 能被 9 整除， x=2；由此即可求出这个五位数解答：解： 36=4 9，能被 36 整除，就要能同时被4 和 9 整除，能被 4 整除的数：后两位能被4 整除；能被 9 整除的数：各位数字的和能被9 整除；由此可知： y 可能是 2 或 6，如果 y=2，则 2+x+8+9+2

20、 能被 9 整除， x=6；如果 y=6，则 2+x+8+9+6 能被 9 整除， x=2；所以这个五位数是26892 或 22896答：这个五位数是26892 或 22896点评：明确能被4 和 9 整除的数的特征，是解答此题的关键14是 105 的倍数，求xy考点：数的整除特征专题：整除性问题分析：首先 105=3 5 7，能被 3 整除则 2+7+x+y 能被 3 整除，能被 5 整除，则末尾是0 或 5，进一步验证是否能被7 整除得出答案即可解答：解：因为105=3 5 7，则 2+7+x+y 能被 3 整除，能被 5 整除，则末尾是0 或 5，当 y=0 时， 2+7+x+0 能被

21、3 整除，则x=0，3，6，9；当 y=5 时， 2+7+x+5 能被 3 整除，则x=1，4，7；则能被 7 整除的只有200760所以 x=6，y=0点评：此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被 3、 5、 7 整除数的特征是解决问题的关键15给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、y 的组合，使该六位数能被9 整除；（2）根据（ 1）的结果说明该六位数一定不能被72 整除；（3）试求出所有这样的x、y 的组合，使该六位数能被24 整除；（4）试求出所有这样的x、y 的组合，使该六位数能被55 整除；（5）试求出所有这样的x、y 的组合，使该六位数能被91 整除考点：整除性质；位值原则精

22、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页晨曦书院第8页（共 8页）专题：整除性问题分析：（1）由已知要求需（8+7+3+2x+y ）能被 9 整除，即 2x+y 能被 9 整除，且0 x， y10，由此列举即可；（2）验证（ 1）中的 11 组结果，容易得到没有结果符合条件；（3）欲使该6 位数被 24 整除，则首先必须是偶数，且2x+y 能被 3 整除，即要求2x+y能被 6 整除，这样的组合只可能如下（0，6） （1，4） （2，2） （3，0） （2，8） （3，6） （4，4） （ 5，2） （6，0） （5，8）

23、（6，6） （7，4） （8，2） （9，0） （8，8） （9，6） ，又要求该六位数能被8 整除，即要求3xy 被 8整除，这样可以得到（2，8） ， （3，6） ， （4，4） ， （5，2） （ 6，0）几个组合；（4）为使能整除55，首先 y 只可能是0 或者 5，其次偶数位减奇数位整除11因此即2x y2 能被 11 整除，这样组合仅有（9，5）一组；（5）为使能整除91，则要求87x3xy 能被 91 整除，则 87x=x+51 ，3xy=10 x+y+27 ，即要求 x+51=10 x+y+27 ，由此得出（x，y）=（2，6） 解答：解： （1）由已知要求需（8+7+3+2x

24、+y ）能被 9 整除，即2x+y 能被 9 整除，且0 x，y10，因此（ x，y）只能是如下组合（0，9） 、 （1，7） 、 （2，5） 、 （ 3，3） 、 （4，1） 、 （5，8） 、（6，6） 、 （7，4） 、 （8，2） 、 （9，9） ；（2）验证（ 1）中的 11 组结果，容易得到没有结果符合条件；（3）欲使该6 位数被 24 整除，则首先必须是偶数，且2x+y 能被 3 整除，即要求2x+y能被 6 整除，这样的组合只可能如下（0，6） （1，4） （2，2） （3，0） （2，8） （3，6） （4，4） （ 5，2） （6，0） （5，8） （6，6） （7，4）

25、（8，2） （9，0） （8，8） （9，6） ，又要求该六位数能被8 整除，即要求3xy 被 8整除，这样可以得到只有（2，8） ， （3，6） ， （4，4） ，（5，2） （6，0） ；（4）为使能整除55，首先 y 只可能是0 或者 5，其次偶数位减奇数位整除11因此即2x y2 能被 11 整除，这样组合仅有（9，5）一组；（5）为使能整除91，则要求87x3xy 能被 91 整除，则 87x=x+51 ，3xy=10 x+y+27 ，即要求 x+51=10 x+y+27 ，由此得出（x，y）=（2，6） 点评：此题考查了整除的性质，明确能被9 整除及能被11 整除的特征，是解答此题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页